一题多解在几何中的应用.doc

绥化学院
本科毕业设计（论文）

一题多解在解析几何中的应用

学生姓名：
学 号：
专 业： 数学与应用数学
年 级： 2010级
指导教师： 田 欣 讲 师

Suihua University Graduation Paper

Application of the Symmetry Thought in Solving

Student name
Student number
Major Mathematics and Applied Maths
Supervising teacher Tian Xin

Suihua University

摘 要

一题多解能够培养学生从不同角度、不同侧面分析问题﹑解决问题的能力．掌握数学就意味着善于解题，从解题的过程中来体会知识体系的建构和各类知识之间的相互联系.但解题就需要对数学思想和数学方法能够融会贯通的掌握，有较宽的数学视野对解题而言也是很重要的.下面就以解析几何中的常规题的不同解法来浅谈如何拓宽学生的数学视野.
关键词：一题多解；解析几何；平面几何

Abstract

A given problem can train students from different angles, the ability to analyze different aspects of the problem, and includes addressing the problem. A given problem to seek a variety of problem-solving approach requires a thorough knowledge of mathematics communication, flexible application of mathematical methods, which facilitates students 'divergent thinking skills and problem-solving skills; help improve students' ability to solve the integrated problems.
　　Key words: a given problem; analytic geometry; plane geometry

目 录
摘 要 I
Abstract II
第1章 一题多解的意义及其作用 1
第1节 一题多解的意义 1
第2节 一题多解的作用 2
第2章 一题多解在平面解析几何中的应用 4
第1节 一题多解在向量计算中的应用 4
第2节 一题多解在解方程中的应用 7
第3节 一题多解在三角形证明中的应用 10
第3章 一题多解在空间解析几何中的应用 12
第1节 一题多解在二面角中的应用 12
第2节 一题多解在柱面中的应用 14
第3节 一题多解在曲面中的应用 16
结 论 17
参考文献 18
致 谢 19

III

绥化学院2012届本科生毕业论文

绥化学院2014届本科生毕业论文

第1章 一题多解的意义及其作用
第1节 一题多解的意义
　　数学从其源头看，是生动活泼、富有生机的．任何数学知识、数学思想、数学方法的背后，总是凝结并积淀着人类漫长的数学探索进程中一个又一个坚韧的步伐、一次又一次前进的脚步．作为儿童，学生本身就是生机勃勃，充满思考与想像的激情．我们的数学教育，尤其是儿童数学教育，不能只是“数学”（科学意义上的）与“教育”的简单结合，从某种意义上，它应该和童话、诗歌一样，善于点燃孩子想像的火花、善于激活孩子思维的萌芽．
“数学里有诗画那样美的境界”．如果我们让每一位学生如观赏风景般地来学习数学，当然就其乐无穷，兴趣盎然．但实际上传统的定势思维却在很大程度上禁锢了学生思维空间的拓展．让数学失去了生动性，增添了枯燥性．而注重思维多元化，提倡一题多解就可以克服此弊端，它可以有效地磨砺学生的思维，给他们自由思考的空间，在探索中提高思维的能力．
注重思维多元化，提倡一题多解，对于同一题目，多次运用所学基础知识和基本技能，对于所学知识可起到融会贯通的作用，形成新的知识网络，增强知识的系统性，再次强化双基的学习，并且可提高驾驭知识和综合运用知识的能力，使知识结构更加完善．一题多解还可以提高自我验算的能力，一题多解是多角度思考分析，使用多种解法，殊途同归，答案是相同的．可以用一题多解来判断原来解法是否正确．另外一题多解还可以提高自己灵活运用知识，灵活转换角度来解题的能力，可以敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大有利于培养学生的创造性思维．
如何培养学生一题多解的能力，拓宽数学思维呢？
（一）熟练掌握基础知识和基本技能．基础知识和基本技能是解决数学问题的基础，又是一题多解必须具备的前提．如果不夯实基础，一题多解，拓展思维就是无源之水，无本之木．只有熟练掌握双基，并能灵活运用到具体问题中，才能一题多解．各种解法相互转化，从而达到运用基础知识，活跃思维的效果．
（二）多途径分析数量关系．特别是数学应用题，要善于分析它们相互依存，相互转化的数量关系，就可以为思维打开多扇大门，这也是培养一题多解能力的一种极为重要的方法．运用多种不同的数学知识对数量关系进行分析，获取各种不同的解法，有利于锤炼学生的思维．
（三）充分利用知识的横向和纵向联系来提高一题多解的能力．小学数学中的整数、分数、小数、百分数等知识是相互联系的．数论，数的运算，文字题以及应用题中的行程问题，分数问题，工程问题，和倍差倍问题等也是相互联系的．这些联系为一题多解提供了思维的宽带网络和迅速反映的机制、思维训练也达到了多元化．
（四）做完题后勤反思．“自己的答案正确吗？”督促自己利用一题多解来检验；“自己的解答最巧吗？”督促自己深入思考、寻求最佳解法．经常进行这方面的训练，就可以找到解这一类问题的方法和规律，从而不断总结解题经验，让数学思维真正活跃起来，把学到的分析法、综合法、假设法、替换法、逆推法、图示法等等再与一题多解结合起来，就能在数学领域纵横驰骋，所向无敌．
“数学是思维的体操”，多元化的思维训练，能唤起学生学习数学的兴趣，在揭示知识的发展过程中，学生大胆尝试，主动愉快地获取知识，巧思妙想，视野更加开阔，思维更加活跃，思维多元化也将逐渐形成．学生的创造性欲望得到极大的培养，创造性的个性也得到极大的弘扬，对他们一生的发展，都大有裨益．
第2节 一题多解的作用
中学阶段，是思维最为活跃的阶段之一．在中学阶段，学生的求知欲最为强烈，并且理解能力和学习能力是最为活跃的，因此，对中学生进行创新能力的培养，从某种意义上来讲，是最有成效的．而数学作为一门应用最为广泛、最能培养创造性思维和问题解决能力的基础课程，其在培养学生的创新能力上具有独特的优势．因此，应当注重在中学数学教育中，将培养学生的创新能力放在突出的位置上．在整个中学数学过程中，怎样来培养学生的创新能力？教者的做法是:在数学的题解过程中，提倡一题多解，通过一题多解来培养学生的创新能力．然而很大部分的中学生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣．但由于考试“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学，如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做题．固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥．要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力．考试中数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学．这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径．一题多解的题目要具有代表性，能包容大部分所学知识点，不能过于复杂，但也不能过于简单．过难挫伤学生学习的积极性，过于简单学生没有兴趣，以此，一题多解对激发学生的学习兴趣起到很重要的作用．
培养学生的创新精神与创新能力是数学的重要目标之一，研究表明是否具有良好的发散思维能力是，衡量学生是否具有创新能力的重要标志．因而培养学生的发散思维能力就成为数学解题教学的重要任务之一．一题多解是培养学生发散思维能力的好方法，对于解法不仅限于一种的数学问题，在学生用常规的方法解决之后鼓励他们从其他不同角度不同的方向试着对问题展开另一层分析思考其他的方法，久而久之学生的思维就不会局限于原有的定势，而能够从其他思维方向考虑，达到训练发散思维的目的．

第2章 一题多解在平面解析几何中的应用
第1节 一题多解在向量计算中的应用
一道数学题，往往可以从不同角度，运用不同方法、不同思路和不同的运算过程去解答.这种“一题多解”的训练，不仅可以使学生拓展思维，开阔思路，灵活地掌握各知识点间的纵横联系，培养创新意识；而且有利于调动学生的学习兴趣，培养主动探究意识. 下面就借助于探究“一题多解”在向量问题中的应用来说明这个问题.

　　图2-1

例1 如图，平行四边形中，点是(靠近点)的三等分点，点是(靠近点)的三等分点，是与的交点，问如何用表示．
解法1 （向量法） 由于与共线，
所以设
， （1）
由于与共线，所以设
．
又
， （2）
由（1），（2）得
，
解得
，
所以
．
此解法是“向量法”，首先选择一组适当的向量做基底（此题已经明确了基底），然后两次运用向量共线定理，设法用基底表示同一向量，最后根据平面向量基本定理，列方程组进行求解.
联系初中平面几何中的“辅助线法”，也可以尝试下面的三个思路：
图2-2

解法2 (平行线法一)
过作，交于点．则为
的
三等分点，所以

，
因此为的三等分点，则

，

则
.
又
，
有
，
则
，
所以

．

图2-3

此解法是“辅助线法”， 本题是过一个分点做平行线得到相似三角形，然后利用相似三角形对应边成比例的几何性质和向量加法的三角形法则，最终达到用已知向量表示未知向量的目的.

解法3　(平行线法二)
过作，交于点，
过作，交 于点．　　　　
此法与解法2的区别是：分别过两个分
点做相应线段的平行线.然后利用相似三角形对应
边成比例的几何性质 ，达到解决问题目的.
　　以上方法都是综合法，是通过引入“辅助线”，利用已知条件和大量的几何定理、公理等解决问题，有利于培养学生的逻辑思维能力 .
解法4　（坐标法）

E

x
y
图2-4
假设为正方形，边长为3，建立
如图2-4所示直角坐标系，则．
、所在直线方程分别为
，，
得交点，令
，
则
，
即可求得
．
此法进行了图形特殊化处理，把平行四边形看成正方形，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算，从而解决几何问题，体现了几何问题代数化的特点.
在上述实例的解析中，运用了数学中最常用的三种方法：向量法，综合法，坐标法.实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔，就越有利于促进其思维的发展.当然，由于学生构建知识的方式和程度不同，对知识的的掌握和使用也有所差异，分析问题的角度不一样，因此在遇到一道题时，不同学生完全可以“解中择优”，从几种解题方法中，挑选出适合自己的解题方法和途径，从而提高自己的解题能力和解题速度，最终达到高效学习的目的.
第2节 一题多解在解方程中的应用
　　数学由于语言表达抽象，逻辑严密，思维严谨，知识的连贯性和系统性强，致使数学这门学科成为学习的瓶颈，究其原因主要是因为这些学生没有掌握好常用的数学思想和数学．下面以一道例题的解法谈谈教学中对数学思想和方法的具体运用．
例1 已知圆和点，求所有过点的弦的中点的轨迹方程．

图2-5
y
　　解法1 （参数法）设过点的直线交圆于，，当弦垂直于轴时，易知点即为点当弦垂直于轴时，易知点即为点当弦不垂直于坐标轴时，设点的坐标为．
　　设直线的方程为，设
　　　　　　　，．
联立圆消去得
　　　　　　，
由韦达定理可得：
，，，
又因为是弦的中点，由中点公式可得：
，
消去参数可得到
，
即
．
经检验当点位于点和点时也满足于上述方程．所以所求点轨迹方程为，
这种解法的优点是思路比较自然，缺点是代数变换的繁琐、冗长，需要较强的运算能力．解题过程中，许多学生都是因为不能顺利进行代数变换而导致失败．所以作为老师，为了使学生把握解析几何的基本思想，在教学中一定要注意控制代数变换的难度和技巧．同学们在用这种方法解完题目时终于有一种如释重负的感觉，因为它的计算量实在是比较大，完成它是一件不容易的事，并因此对它此产生了敬畏之心．似乎就觉得眼前有一座不可逾越的大山，总认为自己力不从心，技不如人，没有攻克堡垒的能力和信心．我就马上予以引导：解这道题还有没有其他的思路和方法？把注意力集中到直线与直线的斜率的关系上，看当运动时会不会影响这种关系？
解法2 （代数法）设过点的直线交圆于，，当弦垂直于轴时，易知点即为点（1，0）．
当弦垂直于轴时，易知点即为点；当弦不垂直于坐标轴时，设点的坐标为．由题意可知
，．

图2-6
因为是弦的中点，由垂径定理可知
直线垂直直线，所以
，
即
　　　　　，
则
　　　　　，
即
　　　　．
经检验当点位于点和点时也满足于上述方程．所以所求点轨迹方程为
．
方法1是从整体来思考中点的轨迹，方法二是由整体转化到局部，揪住直线与直线的斜率之间的内在联系，形中觅数，体现了解析几何的数形结合思想．但需要敏锐的观察力，不少学生一旦思维受阻，破题无门，就会烦躁不安，心慌意乱，做为老师要善于发现，并予以引导．
解法3 （几何法）
设过点的直线交圆于，，当弦垂直于轴时，易知点即为点．当弦垂直于轴时，易知点即为点，

图2-7
当弦不垂直于坐标轴时，设点的坐标为
．如图，由垂径定理可知：直线垂直
直线，所以是直角三角形，所以就有
　　　　 ，
即
，
即
，，
经检验当点位于点和点时也满足于上述方程．所以所求点轨迹方程为
．
　　通过一题多解，学生的思维如泉涌动，特别是这四种方法，一种比一种优越，一种比一种简洁明了，一种比一种直观形象．解这样的题目学生已经不再觉得是在做作业了，而是觉得这是一种精神需要和心理需求，学生学习数学的兴趣已经充分调动，学生学好数学的信心已经完全建立，学生的思维已经得到全面发散．通过一题多解，我觉得在解析几何部分，要强调“先行组织者”的使用．认知心理学认为，“先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能够为学生的学习建立一个“导游图”，避免学习的盲目性，同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁．解析几何具有“方法论”的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是“先行组织者”的“强项”．所以，在解题时，我们赋予“先行组织者”以重要地位，特别注重从代数和几何多角度思路的引导．实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学．
第3节 一题多解在三角形证明中的应用
一题多解在三角形中的应用，所用方法性质不同，解法也就不同，下面利用同高的两个三角形面积之比的关系，利用“平行线间距离处处相等”得到两个三角形同高等性质来研究三角形证明．
例1 如图，已知是等腰三角形，，点是边上任意一点，，，，求证．
图2-8

解 解法1 如图2-9，过点作交于点，易证四边形是矩形，知
，
再利用
，
得到，原题得证．

图2-9

说明 利用三角形全等的方法证明，很容易找到这种方法，而且也符合线段之和的一般证法“截长补短”．
解法2 如图2-10，由已知易证
，
得到
， (1)
，
得到
， (2)
由（1）（2）得到
，
再由等比性质得
，
即
，
原题得证．
说明 由角与角之间的关系很容易想到三角形的相似，然后利用相似三角形的基本性质，得到对应线段成比例，但是等比性质的利用可能会难倒一部分学生．
解法3 如图2-11，由得，在中，

图2-10
，
在中，
，
在中，
，
所以
，
其他步骤同解法2.
说明 这种解法需要学生对数学的基本概念很熟悉，对三角比之间关系很清楚，
其实这种解法的实质与解法二无异，但是这种解法看上去更加简洁明了，便于学生的理解与模仿．
广泛地运用图形自身的特点，直接地、形象地揭示题目中的数量关系，引导学生从不同的角度、不同的侧面去观察、捕捉一题多解的“影踪”，促使学生有所发现，有所创造，从而发现问题的实质．
第3章 一题多解在空间解析几何中的应用
第1节 一题多解在求二面角中的应用
二面角是立体几何的一个难点，对于解题来说，找二面角的平面角是最大的困难，从以下几种解法中，若能够灵巧的应用，对任何一个有关二面角的题都能解决．
下面通过一个例子多种解法理解立体几何中的二面角的求法．
例1 平面，求二面角的大小．　
解法1 利用空间直角坐标系，求异面直线所成的角以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，则

图3-1

设的中点为，则

因为

所以

作

又因为

设二面角，则
，
二面角的大小是
分析 这也是将二面角转化为两异面直线所成的角，建立空间直角坐标系，在二面角的两个半平面内，分别从棱上点（不要求共点）出发作出与棱垂直的两个向量，将求二面角转化为求两个向量所成的角．若此二个向量易求，则此法简单易行，因为只要把向量作出，用垂直于棱的垂足作为向量的起点，不要再去判断向量的方向．
图3-2

解法2 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，则

设平面的法向量为则
，
，
那么
，
令设平面PBC的法向量为则
，
，
得

令
．
二面角的大小是
分析 将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角，通过建立空间直角坐标系来解决．利用两个向量的数量积运算求其夹角．此法要注意平面的法向量的两种方向的指向，应结合图形决定取向，或由图形决定两个法向量所成的角与二面角是相等还是互补．这种方法对法向量方向的确定比较难．
第2节 一题多解在柱面中的应用
在空间直角坐标系下，柱面准线方程
，
（1）母线的方向数，，，即．
（2）任取柱面准线上一点则过此点的母线方程为
，
且有，.从而消去参数最后得到一个三元方程 ，这就是以为准线，母线的方向数，，的柱面方程．
例1 已知圆柱面的轴为，点在此圆柱上，求这柱面的方程．
解法1 因为圆柱面的母线平行于其轴，所以母线的方向数即为轴的方向数，若能求出圆柱面的准线圆，问题即解决了．
空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线，此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点为中心，点到已知点的距离为半径的球面与过知点且垂直于轴的平面的交线，即准线圆的方程为
．
　　设为准线圆上的点，那么
，，
且过的母线为，消去参数即得所求的圆柱面方程
．
解法2 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹，这里的距离就是圆柱面的半径．
　　轴的方向矢量为，轴上的定点为，而圆柱面上的点为，所以
，
因此到轴的距离为
．
再设为圆柱上任意点，那么有
，
即
．
化简整理得
.
第3节 一题多解在曲面中的应用
　　如果是曲面的正常点，那么在处曲面的切平面方程是:

例1 求二次曲面在点的切平面方程．
解法1 因为，所以点在二次曲面上，又因为
，
所以
，，，
这说明是已知曲面上的正常点，所以得曲面在点处的切平面方程为
，
即

解法2 由解法一知是已知曲面上的正常点，所以根据公式得所求切平面的方程是

即
．
立体几何是高中数学教学的重点和难点，其难就难在它不能直接度量，需借助于它的角和方程来度量．而平面角既“死”又“活”，说它“死”，是指其三个条件：(1)顶点在棱上；(2)边分别在两个半平面内；(3)边与棱垂直．三者缺一不可，尤其是线线垂直不直观，难以把握，说它"活"，就是指它的顶点在棱上没有固定位置，具有开放性．为突破这一难点，从一例多解来谈谈常见的在立体几何中的应用．

结 论
综上所述，通过一题多解的训练开阔了视野同时又取得了举一反三、触类旁通的效果，一题多解不仅巩固基础知识而且能深刻提示问题的内在本质性，多层次，多角度地培养和锻炼发散思维能力，在解题教学中进行一题多解教师首先应明确其目的之所在不要盲目的追求一题多解，尤其应防止纯粹为追求一题多解得“作秀”味．为体现令一种解法的巧妙而故先设置一种繁解，这样不仅不利于学习反而会使学数学信心受到打击，此外进行解题教学时首先应注意常规解法的讲授，做好正常的双击教学，掌握一种基本的方法以后再发散他们的思维适当引导他们寻求其他巧解、秒解等，找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路而有利于加深学生对多种解题方法的认识，真正培养学生对多种解题方法的认识，真正培养学生的数学学习能力，促进学生的学习．

参考文献
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[2] 喻平，如何评课：数学教学目标层面的透视 [J]，中学数学教学参考，2006，7(5)：
2-8
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[4] 吴振奎，数学解题中的物理方法 [M]，河南科学技术出版社，1998，3（4）：10-11
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[7] 刘富悦，河北机电学院学报 [J]，1995，3（12）：4-5

致 谢

在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，但都在同学和老师的帮助下度过了．首先我要衷心感谢我的指导老师田欣老师．在撰写论文的过程中，田老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，田老师严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示衷心的感谢．同时感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我很多帮助．
最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢！

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