湖北省部分重点中学2013—2014学年度上学期高二期中考试数学试卷.doc

湖北省部分重点中学2013—2014学年度上学期高二期中考试
数 学 试 卷(文)
命题人：市49中 唐和海 审题人： 洪高 高珺

一、选择题
1、通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是( ).
A．样本的结果就是总体的结果
B．样本容量越大，可能估计就越精确
C．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D．数据的方差越大，说明数据越稳定
2、下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（　　）
（A)
(B)
(C）
（D）

3、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为,，中位数分别为，,则 （　　）
A．, B．，
C．， D．，
4、函数，在定义域内任取一点，使的概率是（　　）.
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、对学生进行某种体育测试，甲通过测试的概率为,乙通过测试的概率为，则甲、乙至少1人通过测试的概率为（ )
A． B． C． D．
6、一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）
A． B． C． D．
7、将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．

8、设，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，,则； ②若,，,则；
③若，，则； ④若,,则。
其中正确命题的序号是 ( ）。
A．①和④ B．①和② C．③和④ D．②和③
9、圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足O·O＝0，则圆C的方程为（　　)．
A.＋(y－3）2＝ B。 ＋(y－3)2＝
C。2＋(y－3)2＝ D。2＋（y－3)2＝
10、设a, b是方程的两个不等实根,那么过点A（a , a2）和B(b , b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（ ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、随θ的值而变化
二、填空题
11、下图l是某校参加2013年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：）在内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180(含160,不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 _

12、书架上有4本不同的语文书，2本不同的数学书,从中任意取出2本，能取出数学书的概率为 .
13、甲，乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为 。
14、将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，折后连结BD,构成三棱锥D-ABC，若棱BD的长为a．则此时三棱锥D-ABC的体积是
15、设集合A＝，B＝{(x，y）|2m≤x＋y≤2m＋1，x,y∈R｝，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．
16、已知、取值如下表:

0
1
4
5
6
8

1。3
1.8
5。6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：与线性相关，且,则
17、将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3,4,5，6)先后抛掷两次，将得到的点数分别记为。则直线与圆相切的概率为 。

三、解答题
18、（本小题满分12分)某中学从参加高一年级上期期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图。观察图形的信息，回答下列问题:
（Ⅰ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
(Ⅱ） 从成绩是70分以上（包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率（第一名学生只一人）.

19、(本小题满分12分）在棱长为2的正方体中,设是棱的中点.
⑴ 求证:；⑵ 求证：平面；
⑶．求三棱锥的体积.

20 、(本小题满分13分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示,其中，，，．
E

A
侧（左）视图
A
O
D

E
A1
D1
A
D11
A11
E
B
C
O
D
（1)求证:；（2）求三棱锥的体积．

21、（14分)已知圆M：x2＋（y－2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1）若Q(1,0），求切线QA，QB的方程． （2）求四边形QAMB面积的最小值．
(3)若｜AB｜＝,求直线MQ的方程．
22、(14分)已知：以点C （t， )(t∈R ， t ≠ 0）为圆心的圆与轴交于点O， A，与y轴交于点O, B,其中O为原点．
(Ⅰ）当t=2时，求圆C的方程;（Ⅱ）求证：△OAB的面积为定值；
（Ⅲ)设直线y =－2x+4与圆C交于点M， N，若，求圆C的方程．

答案
1、B 2、D 3 B 4、A 5、D 6、C 7、A 8、B 9、C 10、B
11、 （或） 12、 13、 14、a3 15、≤m≤2＋　
16。 1.45 17。 1/18

18、解：（Ⅰ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 ,
所以，抽样学生成绩的合格率是％ 。 .。。。...。。。.。。6分
（Ⅱ）， ，”的人数是18,15,3。 ―――9分
所以从成绩是70分以上(包括70分）的学生中选一人，
选到第一名的概率。 。..。。。。。。。。..12分
19、

【证明】连接BD，AE. 因四边形ABCD为正方形，故，
因底面ABCD，面ABCD，故，又，
故平面，平面，故。 -———-——---- 4分
⑵。 连接，设，连接，
则为中点,而为的中点，故为三角形的中位线，
，平面，平面，故平面.———-——-——-— 8分
⑶。 由⑵知，点A到平面的距离等于C到平面的距离，
故三棱锥的体积，
而，三棱锥的体积为。——- 12分
A
D11
A11
E
B
C
O
D
20（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系,三视图等知识,考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）
（1）证明：因为,，所以，即．
又因为，，所以平面．
因为，所以．………………………………………………………………3分
(2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．
设圆的半径为,圆柱高为，根据正（主)视图、侧（左）视图的面积可得，
…………………………………………5分
解得
所以,．…………………………………………………7分

以下给出求三棱锥体积的两种方法：
方法1：由(1）知，平面,
所以．……………………………………………9分
因为，,
所以，即．
其中，因为，，
所以．
所以．………………………………………12分
方法2：因为,
所以．
其中,因为,，
所以．
所以．……………………………………………12分

21、解　(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1,则圆心M到切线的距离为1,∴＝1，∴m＝－或0,∴QA,QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1. ………（3分）
（2）∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·｜QA|＝|QA｜＝＝≥＝.∴四边形QAMB面积的最小值为。…………………………………(6分）
(3）设AB与MQ交于P,则MP⊥AB,MB⊥BQ，
∴｜MP｜＝ ＝.在Rt△MBQ中,|MB|2＝｜MP||MQ｜，
即1＝｜MQ｜,∴|MQ|＝3。 ∴x2＋(y－2)2＝9.
设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x＝±,∴Q（±，0），
∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0。 ……………………（13分）
22（Ⅰ）圆的方程是 ………（3分）
（Ⅱ），．设圆的方程是
令，得;令，得
，即：的面积为定值．………(7分）
(Ⅲ）垂直平分线段．
,直线的方程是．，解得：
当时,圆心的坐标为，， 此时到直线的距离，
圆C与直线y=－2x+4相交于两点。
当t=－2时，圆心C的坐标为（－2,－1），，此时C到直线的距离
，圆C与直线不相交,t=－2不符合题意舍去。
圆C的方程为……………………（14分）