D9-5多元复合函数的求导法则(ppt文档).ppt

26-1一元复合函数求导法则微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.1.(1)(1)若函数若函数处偏导连续处偏导连续,则复合函数则复合函数在点在点t可导可导,证证:设设 t 取增量取增量t,则相应中间变量则相应中间变量且有链式法则且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量有增量u,v,(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1的的结论可推广到中间变量多于两个的情况结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.(全导数公式全导数公式)定理定理1还还可推广到中间变量不是一元函数而可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：是多元函数的情况：链式法则如图示链式法则如图示链式法则口诀链式法则口诀:“分线相加分线相加,连线相乘，连线相乘，一元全导一元全导,多元偏导多元偏导.”例例3.3.设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似解解例例5.5.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.解解令令记记同理有同理有于是于是26-1826-19(当 在二、三象限时,)例例7.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解:已知极坐标系下的形式(1),则机动 目录 上页 下页 返回 结束 题目 目录 上页 下页 返回 结束 注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得题目 目录 上页 下页 返回 结束 26-24全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.验证下面的全微分四则运算法则也成立验证下面的全微分四则运算法则也成立:对于多元函数对于多元函数u,v，利用全微分形式不变性可，利用全微分形式不变性可例例1.例例 8 8.利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1.1.解解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分线相加 连线相乘,一元全导,多元偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知求解解:由两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求在点处可微,且设函数解解:由题设(考研题考研题)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设设其中其中f具有二阶连续具有二阶连续偏导数，偏导数，g具有二阶连续导数具有二阶连续导数,求求(考研题考研题)4.4.设函数设函数其中其中f具有二阶连续具有二阶连续偏导数，偏导数，g可可导且在导且在x=1处取得极值处取得极值g(1)=1,求求(2011(2011考研考研)5.设设其中其中F,f及及 对各自的变量对各自的变量具有连续偏导数，具有连续偏导数，思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案定理定理1推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.(复习)2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 若定理1中 说明说明:例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.