导数解答题含标准答案.doc

一、导数与单调性
（一）含参数函数的单调性
1.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间。
解： 的定义域为.

(1)

(2)
①若即时，>0, 故在单调递增.
②若0<,即时，
由得，；由得，
故在单调递减，在单调递增.
③若,即时，
由得，；由得，
故在单调递减，在单调递增.
2．（文）讨论的单调性
解：的定义域为
(它与同号)
I） 当时，恒成立 （此时没有意义）
此时在为单调增函数，即的增区间为
II） 当时，恒成立，
（此时不在定义域内，没有意义）
此时在为单调增函数，即的增区间为
III) 当时, 令
此时在为单调增函数，在是单调减函数，
即的增区间为;的减区间为.
2.（理）设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
3. 已知函数，讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。
解析 的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。
①当,即时，仅对有,对其余的都有
,此时在上也是增函数。
当，即时，
方程有两个不同的实根,,.
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
4．已知函数．
讨论函数f（x）的单调性．
解：．
①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
②当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
③当﹣1＜a＜0时，由f'（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在单调递增，在上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当﹣1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减．
当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
（二）单调性的逆用
1．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：函数的定义域为，所以即，，令，得或（不在定义域内舍），由于函数在区间（k-1，k+1）内不是单调函数，所以即，解得，综上得，答案选B.
2．已知函数，在x＝1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）m满足什么条件时，区间为函数的单调增区间？
解析： (1)已知函数=，. ………………2分
又函数在x=1处取得极值2，即 …4分
当a=4,b=1, ，
当，.
. ……………6分
(2)由. ……………8分
所以的单调增区间为. …………………10分
若为函数的单调增区间，则有 解得
即时，为函数的单调增区间. ………………12分
3．已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）；．
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，根据题意解关于a的等式，即可得到实数a的值；
（2）由题意，不等式在（0，+∞）内恒成立，等价转化为在（0，+∞）内恒成立，求出右边的最小值为-1，即可得到实数a的取值范围；（3）原方程化简为，设，利用导数研究g（x）的单调性得到原方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围．
试题解析：（1）由可得；
（2）函数的定义域是
函数在定义域内单调递增
在上恒成立
即在上恒成立

二、含参数函数的极值与最值，恒成立问题
1．已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）求证：对任意、，都有．
【答案】(1)a=1；（2）；(3)见解析
【解析】
试题分析：(1), 1分
由已知得，即，解得a=1. 3分
当a=1时, f(x)在x=1处取得极小值,所以a=1. 4分
（2），，
令得x>1，令得x<1，
所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 5分
①当时，在上单调递增，；
②当0<m<1时，，在上单调递减，在上单调递增，
；
③当时，，f(x)在上单调递减，.
综上，f(x)在上的最小值 8分
(3)由(1)知, .
令，得x=1，因为，
所以，时，. 10分
所以,对任意,都有. 12分
2．（12分）已知函数f(x)＝lnx－mx（mR）．
（1）若曲线y＝f(x)过点P(1,－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；
（2）若f(x)0恒成立求m的取值范围.
（3）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；
【答案】（1）,（2）,（3）参考解析
【解析】
试题分析：（1）由，对求导，再求出的值即为过点P的斜率，再根据点斜式表示出结论.
（2）由恒成立即等价于恒成立，求出，的最大值，即为m的最小值，通过新建立函数利用求导可得的最大值.
（3）对函数求导，根据m的取值情况得出导函数的正负，即可得到函数相应区间的单调性，由此可到函数的最大.
试题解析：（1）过点 1分
2分
过点的切线方程为 3分
（2）恒成立，即恒成立
又定义域为 恒成立 4分
设 当x=e时，
当时，为单调增函数，
当时，为单调减函数
当时，恒成立 7分
（3）
①当时， 在为单增函数
在上， 8分
②当时，即时
时，，为单增函数，
时，，为单减函数
上 9分
③当时，在为单减函数
上， 10分
④当时，即时，在为单增函数
时， 11分
综上所述
当时，
当时，
当时， 12分
3（12分）已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．
解答：
解：（Ⅰ）将x=﹣1代入切线方程得y=﹣2
∴，化简得b﹣a=﹣4． …（2分）
． …（4分）
解得：a=2，b=﹣2∴． …（6分）
（Ⅱ）由已知得在[1，+∞）上恒成立
化简得（x2+1）lnx≥2x﹣2
即x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立． …（8分）
设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，
∵x≥1∴，即h'（x）≥0． …（10分）
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立． …（12分）
4．（本小题满分14分）已知函数.
（1）若a>0,试判断在定义域内的单调性;
（2）若在上的最小值为,求a的值;
（3）若在上恒成立,求a的取值范围
【答案】（1）在上是单调递增函数；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（1）由题意知的定义域为,求导数知, 在上是单调递增函数；
（2）讨论①；②；③等几种情况，通过研究函数的单调性、确定最小值，建立方程求解.
（3）由已知得到，
令.
通过讨论函数的单调性明确 得解.
试题解析：（1）由题意知的定义域为,且,
∴, 故在上是单调递增函数 4分
（2）由（1）可知, .
①若,则,即在上恒成立, 此时在上为增函数,
∴ (舍去) 6分
②若,则,即在上恒成立, 此时在上为减函数,
∴ (舍去) 8分
③若令得
当时, ∴在上为减函数;
当时, ,∴在上为增函数,
∴.综上所述, 10分
（3）∵.又，
令.
∵时, 在上是减函数.
∴,即在上也是减函数.
,∴当时, 在上恒成立 14分
5．（本小题满分13分）
（1）求的单调区间和极值
（2）若及不等式恒成立，求实数的范围.
【解析】
试题分析：（1），应用“表解法”，讨论，，的对应关系，即得.
单调递减区间为，单调递增区间为，极小值是，无极大值.
（2）由（1）可知在上单调递增
从而对恒成立，解，即得所求.
试题解析：（1）
列表如下：

0

极小值

所以，单调递减区间为，单调递增区间为，极小值是，无极大值.
（2）由（1）可知在上单调递增
所以即对恒成立
所以，解得.
6．（本小题满分14分）已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）函数的极小值为, 无极大值；（3）.
【解析】
试题分析：（1）先求出，再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即可得出曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可；（2）令导数大于0解出函数的增区间；令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定极值即可；（3）由恒成立，得到在上恒成立，于是构造函数，即可将所求问题转化为.
试题解析：（1）函数的定义域为， ，，，
曲线在点处的切线方程为，
即,
（2）令，得，
列表：

-
0
+

↘

↗
函数的极小值为, 无极大值。
（3）依题意对恒成立
等价于在上恒成立
可得在上恒成立，
令,
令，得
列表：

-
0
+

↘

↗
函数的最小值为,
根据题意，.
三、图像交点个数问题
1．（12分）（2012•威海一模）已知函数f（x）=．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=2时，关于x的方程f（x）=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．
解：（I）由已知可知f（x）的定义域为{x|x＞0}
f'（x）=x﹣a﹣1+（x＞0）
根据题意可得，f'（2）=2﹣a﹣1+=，
∴a=﹣1．
（II）∵f'（x）=x﹣a﹣1+=（x＞0）
①当a＞1时，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；
③当a=1时，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．
∴当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
（III）当a=2时，f（x）=，
由（II）问知，f（x）在（0，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减；
∴f（x）的极大值为f（1）=﹣，f（x）的极小值为f（2）=2ln2﹣4，
当m∈（2ln2﹣4，﹣），函数方程f（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，
因此实数m的取值范围是（2ln2﹣4，﹣）．
2．（本小题满分12分）已知函数图象上点处的切线方程为2x－y－3=0.
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；单调增区间为（0，），减区间为[，+ ；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由导数的几何意义知切线的斜率为点P处导数，点P也在切线上，构造方程组可得函数的解析式，再由函数的解析式进行求导，判断导数大于零和小于零的区间，即函数的单调区间；（2）易知函数，令，分离变量，构造新的函数，对新函数求导判断函数的单调性，再求出新函数的端点值和极值，从而可得实数m的取值范围．
试题解析：∵切点在直线2x－y－3=0上，∴f（1）=－１．
,由已知得a=4,b=-1.
∴．
∴单调增区间为（0，），减区间为[，+
（2）f（x）的定义域为.=4lnx-x2+m-ln4.
令g（x）=0, 得4lnx-x2+m-ln4.=0m=x2-4lnx+ln4．
记.则,
当时,, 单调递减;
当时,, 单调递增.
, .
由题意,．
3. 设函数，。
（Ⅰ）当a=0时，在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=2时，若函数在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数m，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）由a=0，可得，
即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分
记，则在（1，+∞）上恒成立等价于.
求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分
当时；；当时， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（Ⅱ）函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根．┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令，则 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
当时，，当时，
g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数．
故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）>g（3），∴只需g（2）<a≤g（3），
故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3） ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

14 / 14