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一、导数与单调性（一）含参数函数的单调性1.已知函数f(x)=xax+(a1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间。解： 的定义域为.(1) (2) 若即时，0, 故在单调递增.若01，令得x1，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 5分当时，在上单调递增，；当0m0,试判断在定义域内的单调性;（2）若在上的最小值为,求a的值;（3）若在上恒成立,求a的取值范围【答案】（1）在上是单调递增函数；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由题意知的定义域为,求导数知, 在上是单调递增函数；（2）讨论；等几种情况，通过研究函数的单调性、确定最小值，建立方程求解.（3）由已知得到， 令.通过讨论函数的单调性明确 得解.试题解析：（1）由题意知的定义域为,且, 故在上是单调递增函数 4分（2）由（1）可知, .若,则,即在上恒成立, 此时在上为增函数, (舍去) 6分若,则,即在上恒成立, 此时在上为减函数, (舍去) 8分若令得 当时, 在上为减函数; 当时, ,在上为增函数, .综上所述, 10分（3）.又， 令.时, 在上是减函数.,即在上也是减函数. ,当时, 在上恒成立 14分5（本小题满分13分）（1）求的单调区间和极值（2）若及不等式恒成立，求实数的范围.【解析】试题分析：（1），应用“表解法”，讨论，的对应关系，即得.单调递减区间为，单调递增区间为，极小值是，无极大值.（2）由（1）可知在上单调递增从而对恒成立，解，即得所求.试题解析：（1）列表如下：0极小值所以，单调递减区间为，单调递增区间为，极小值是，无极大值.（2）由（1）可知在上单调递增所以即对恒成立所以，解得.6（本小题满分14分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）函数的极小值为, 无极大值；（3）.【解析】试题分析：（1）先求出，再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即可得出曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可；（2）令导数大于0解出函数的增区间；令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定极值即可；（3）由恒成立，得到在上恒成立，于是构造函数，即可将所求问题转化为.试题解析：（1）函数的定义域为， ， 曲线在点处的切线方程为，即, （2）令，得， 列表：-0+函数的极小值为, 无极大值。 （3）依题意对恒成立等价于在上恒成立可得在上恒成立， 令, 令，得列表：-0+函数的最小值为, 根据题意，.三、图像交点个数问题1（12分）（2012威海一模）已知函数f（x）=（）若曲线f（x）在点（2，f（2）处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；（）讨论函数y=f（x）的单调性；（）当a=2时，关于x的方程f（x）=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围解：（I）由已知可知f（x）的定义域为x|x0f（x）=xa1+（x0）根据题意可得，f（2）=2a1+=，a=1（II）f（x）=xa1+=（x0）当a1时，由f（x）0可得xa或0x1；由f（x）0可得0x2af（x）在（2a，+）上单调递增，在（0，2a）上单调递减当0a1时，由f（x）0可得x1或0xa；当a=1时，在区间（0，+）上f（x）0恒成立当a1时，f（x）在（0，1），（a，+）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当0a1时，f（x）在（0，a），（1，+）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a=1时，f（x）在（0，+）上单调递增当a0时，f（x）在（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减（III）当a=2时，f（x）=，由（II）问知，f（x）在（0，1），（2，+）上单调递增，在（1，2）上单调递减；f（x）的极大值为f（1）=，f（x）的极小值为f（2）=2ln24，当m（2ln24，），函数方程f（x）=m在（0，+）上有三个不同的实数根，因此实数m的取值范围是（2ln24，）2（本小题满分12分）已知函数图象上点处的切线方程为2xy3=0.（1）求函数的解析式及单调区间；（2）若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围【答案】（1）；单调增区间为（0，），减区间为，+ ；（2）.【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义知切线的斜率为点P处导数，点P也在切线上，构造方程组可得函数的解析式，再由函数的解析式进行求导，判断导数大于零和小于零的区间，即函数的单调区间；（2）易知函数，令，分离变量，构造新的函数，对新函数求导判断函数的单调性，再求出新函数的端点值和极值，从而可得实数m的取值范围试题解析：切点在直线2xy3=0上，f（1）=,由已知得a=4,b=-1. 单调增区间为（0，），减区间为，+ （2）f（x）的定义域为.=4lnx-x2+m-ln4.令g（x）=0, 得4lnx-x2+m-ln4.=0m=x2-4lnx+ln4 记.则,当时, 单调递减;当时, 单调递增., .由题意, 3. 设函数，。（）当a=0时，在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）当m=2时，若函数在1，3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；（）是否存在实数m，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由 解：（）由a=0，可得，即 1分记，则在（1，+）上恒成立等价于.求得 2分当时；当时， 3分故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. 4分（）函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根5分令，则 6分当时，当时，g（x）在1，2上是单调递减函数，在上是单调递增函数故 8分又g（1）=1，g（3）=3-2ln3g（1）g（3），只需g（2）ag（3），故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3） 9分14 / 14