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第十二章 联立方程模型
§12。1 联立方程模型的概念
一。 变量之间的双向关系：
1. 单向因果关系：在单方程模型中，一个因变量总是表示成其他几个变量（自变量）的函数，即 ，称为单向因果关系.
2. 双向因果关系:变量之间相互依赖相互交错的因果关系，称为双向因果关系。双向关系不能由单一方程来描述，而要由若干个相互有联系的方程构成方程组模型，称为联立方程模型。如果方程组（模型）中的方程都是线性的，称为线性联立方程模型。
例如，在讨论消费与收入的关系时，静止地看，显然是收入决定消费，但从社会再生产的动态过程看问题，消费水平和消费结构的变化会导致生产规模和行业结构的调整变化，进而影响到国民收入。因此，消费又决定收入.
由于经济问题中，各种构成因素之间错综复杂，单一方程很难真实反映复杂经济系统的特征，甚至使模型存在严重缺陷（多重共线），所以应采用联立方程模型。
例 供求模型

、、、、分别表示需求量、供给量、价格、消费者收入、气候。
这是某种农产品的供求平衡模型,描述了该农产品的交易系统。
二. 变量分类:由于不同的经济变量在一个经济系统中的地位作用特征有所不同,可分为
（一）内生变量：由模型本身决定的变量。若把模型视为系统，内生变量即为由系统内部决定的变量。如，、、.它们不仅影响着系统,决定着系统的状态，同时也受到系统内的其它（非主要)因素的影响,因此都呈现为随机变量。若用表示内生变量，则。
（二）外生变量：模型外部决定的变量。如,、。若把模型视为系统，外生变量的影响可视为环境对系统影响，但不受系统的影响。若用表示外生变量，则 。
(三)前定变量（预定变量）:
内生变量的滞后值，称为前定内生变量。所谓滞后值是指事前发生,事后产生影响.例如，对 有影响。
前定内生变量和外生变量统称前定变量.在联立方程模型中前定变量都是解 释变量，与模型中的随机干扰项无关。
三. 方程的分类：
（一）行为方程：以经济理论为基础，用以描述政府、企业、个人等的经济行为的数学表达式.由于经济活动中各因素间并非确切数量关系,所以行为方程是带有随机项的随机方程.如前例中的需求方程和供给方程。
（二）技术方程（工艺方程）：由技术因素确定的关系.如人、财、物的投入量与产出之间的关系。这种关系有确定性的，也有非确定性的，通常在处理时视为行为方程。
（三）制度方程：是由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的函数关系，如税收方程等。制度方程一般为确定性的,偶尔也用随机方程.
（四）恒等式：主要包括两类方程,定义方程和平衡方程，一般为确定性方程，且系数是已知的.
⑴定义方程：由经济理论或假说所规定的经济变量之间的关系。如
销售收入=单价×销售量， 消费+储蓄=国民收入，等
⑵平衡方程：表示变量之间的平衡关系,通常系数已知。
四. 一个简单宏观经济模型的例子:
Keynesian宏观经济模型:

消费，国民收入，投资,政府开支，税收， 是的滞后值.
第一个方程是消费方程，表明消费主要取决于收入;第二个方程是投资方程，表明社会总投资不仅取决于收入，还受上一期收入的影响；第三个方程叫税收方程，主要与收入有关；第四个方程是定义方程。、、、是内生变量，和是前定变量。
§12.2 偏倚性和不一致性的产生
同时方程模型：每个内生变量必须由方程组中所有方程同时决定的模型称为同时方程模型。对于同时方程模型，任一随机项的变化都将导致所有内生变量变化，所以作为解释变量的内生变量与随机项相关,这就违背了假定5,其后果是参数的OLS估计量是有偏的和不一致的.看一个简单的供求模型的例子：

、、是商品的需求量、供给量和销售价格，它们是由供求系统决定的，所以是内生变量;是消费者收入,是外生变量.并假定

利用平衡方程简化模型,得
在简化的结构模型中，内生变量的个数等于方程的个数，称为在数学上是完备的.如果模型在数学上是完备的,形式上讲内生变量可由前定变量表示.对上式进行代数运算解出解释变量 ； 显然是随机变量，即模型中有随机解释变量,不满足假定5.

与相关，这将导致参数估计量有偏和不一致。对简化模型中的第一个方程直接用OLS估计参数

1.有偏:
，因为与相关，所以是有偏的。
2. 不一致：

所以也不是一致估计量。
§12。3 联立方程模型的类别
一. 模型的结构型：
根据经济理论和经济体行为规律建立的,用以描述经济结构或经济变量之间直接关系的联立方程模型。联立方程模型主要是由随机方程（含有随机项和未知参数)和恒等式（不含随机项且参数已知）联立而成.结构模型中的每一个方程都称为结构方程。结构方程中的参数称为结构参数，主要表现为边际倾向、弹性或其他经济意义明确的参数，表示解释变量对被解释变量的直接影响程度。

把内生变量表示为其他内生变量、前定变量和随机项的函数形式，叫做结构方程的正规形式。模型中方程的个数等于内生变量的个数，在数学上才是完备的，模型只有是完备的，才有实际应用的意义。
二. 模型的约简型:
将全部内生变量表示成前定变量和随机项的函数的模型形式叫做模型的约简型（也叫简化型，约化型).
例如供求模型
化简后,得
由于模型在数学上是完备的，一定可通过代数运算化为约简型

在约简型中，参数称为约简参数。约简参数与结构参数之间的关系：

称为参数关系体系。
约简参数又称为影响乘数，表现了对应的前定变量对内生变量的全部影响，即包含了直接影响,也包含了间接影响.例如
（直接影响)（间接影响）
由于前定变量被假定为非随机的,可用OLS估计约简参数。
三. 递归模型：
还有一类特殊的模型,看似联立模型，但却有特殊的关系：
统一用,表示内生变量，共有个内生变量；
用,表示前定变量,共有个前定变量。
若模型的结构型如下，称为递归模型

模型满足的条件 ，即同期不同方程的随机项无关。
可对上式逐一方程进行OLS估计。显然递归模型并不是真正意义上的联立方程模型，即不是同时方程模型.
例，一个供需模型，其中
§12。4 同时方程模型的识别问题
一。 识别的概念：
一个例子. 三方程简单宏观经济模型

、、分别表示GDP、居民消费总额和投资总额。并假定进出口贸易平衡.
⑶+⑵整理后得 ，与⑴的形式相同,或者说形式上不能与⑴区别，若估计参数，不能区分是哪个方程的参数.说明方程⑴不可识别。
二. 识别的定义：
如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式,则称该方程不可识别.结构方程的“统计形式”是指变量和关系式。“具有确定的统计形式”是指模型中其它方程或所有方程的任意线性组合所构成的新的方程都不再具有这种统计形式.
可识别的另一种说法：如果结构方程的参数可通过参数关系体系由约简参数确定，称该方程可识别。
若模型中(恒等式除外）所有结构方程都可识别，称模型可识别。

如果约简参数能唯一确定结构参数，称为恰好识别（也叫正确识别）.
如果由约简参数可确定不只一组结构参数，称为过度识别。
如果结构方程的结构参数不能由约简参数所确定，则称方程不可识别。
应该注意，若模型中的某方程的所有参数均为已知，则该方程不存在识别问题。
或认为其可识别。
例1。 供求模型

、为内生变量，无前定变量,模型完备.化成约简型

参数关系体系
“体系”中两个方程，四个结构参数，不能由简约参数确定,所以模型中的两个结构方程都不可识别,模型不可识别。
例2.

消费者收入，是外生变量，数学上完备。化成约简型

参数关系体系

供给方程可识别且恰好识别。但、、无法确定，所以需求方程不可识别,模型不可识别。
例3.

是替代产品的价格，外生变量，模型完备。化成约简型

参数关系体系

有 ， 同时又有
可确定、，但形式不唯一,所以供给方程过度识别。、、无法确定,所以需求方程不可识别,模型不可识别。
例4。
是期的价格，是前定内生变量。化成约简型

参数关系体系

模型中的两个结构方程都恰好识别，模型恰好识别。
§12.5 结构方程的识别规则
对联立方程模型的估计，首先要对其进行识别.虽然可以用“统计形式的唯一性”或“结构参数是否可由约简参数确定”来判断,但判断过程很繁琐,如果变量较多，操作上几乎不可能。因此，应寻求更好的识别方法。这里应明确的是，讨论模型是否可识别是在假定模型是完备的前提下，识别模型中的方程。
一. 识别的阶条件:
对于一个完备的联立方程模型，设内生变量个数为，则模型中方程个数也为G，用表示模型的变量（不区分内生或前定）,表示所有变量；用表示系数矩阵，则模型可表示为，

这是一个齐次线性方程组.讨论模型的识别性，实际上是讨论方程的识别性。不失一般性，讨论第个结构方程的识别性并假设该方程包含M个变量(内生和前定),
不妨假定，则该结构方程（待识别方程）为

；其中 是该方程所包含的全部变量；
是该方程不包含的所有变量。
表示除去待识别方程外，其他个方程的系数矩阵，将其写成

是阶的，是的。所有剩余的方程组可表示为

这里，有G—1个方程且包含N个变量,可变形为 (*）
若，在(*)式中一定有N个方程，并从中导出中变量

并代入另外某个方程，使其与待识别方程的统计形式完全相同，表明不可识别.用和分别表示包含在模型中但中不包含的前定变量个数和内生变量个数，有 ，则，即
当时，方程不可识别。 （识别的阶条件)
这是方程不可识别的充分条件。它的等价命题（逆否命题）为
若方程可识别，则；
这是方程可识别的必要条件.更进一步有
若方程可识别，且，则方程恰好识别；
若方程可识别，且，则方程过度识别。
在应用中,⑴判断不可识别；
⑵若已知方程可识别，判断是恰好识别
还是过度识别。

例1。

模型中，、、是内生变量，和是前定变量。
对需求方程,，，

所以需求方程不可识别.
对供给方程，,，

用阶条件不能判断其不可识别。如果可识别，应为过度识别。
平衡方程的识别性无需判断,因为平衡方程中的系数都是已知的，所以平衡方程被认为可识别.又因为需求方程不可识别，所以模型不可识别。
例2.

为了简便可先消除平衡方程

和是内生变量，和是前定变量。
对需求方程,，，则，还需进一步判断识别性。若需求方程可识别，应为恰好识别.
对供给方程，,，则，还需进一步判断识别性.若供给方程可识别，应为恰好识别。
二。 识别的秩条件—--——-充分必要条件
（＊）
式中Δ成为判别矩阵(或识别矩阵）。
若方程可识别;
若已断定方程可识别：
当，方程恰好识别；因为虽然的形式唯一，但(＊）式中无多余方程可代入；
当，方程过度识别.不仅（*）式中无多余方程可代入，而且的形式也不唯一。
应用说明：⑴判断不可识别用阶条件；
⑵判断可识别，先用秩条件，若可识别，再用阶条件判断恰好或过度.

例3.

先用阶条件判断，不能判断模型不可识别，见例2.
再用秩条件判断
第一步,先将模型改写成如下形式

列出系数矩阵(常数项可不列在内）
G=3，K=2
常数项也可看作变量与系数相乘，如,每个方程中都有，因此可不列入.
第二步，划去待识别方程所在行和该方程中非零系数所在列（该方程包含的变量所在列）,剩下的子块就是，称为识别矩阵。如需求方程
;
第三步，计算的秩,
由识别的秩条件，需求方程可识别。
第四步，因为
，
根据阶条件，需求方程恰好识别。

对供给方程，可重复二、三、四步:
; ，供给方程可识别。
又因为

供给方程恰好识别。
平衡方程的识别性无需讨论，因此模型是可识别的，且恰好识别。
例4.

方程⑴ ,,由阶条件知，需求方程不可识别；
⑵ ，,由阶条件知，供给方程不可识别.
模型不可识别.
例5.

方程⑴ ,,由阶条件知，需求方程不可识别；
⑵ ，，由秩条件不能得出结果,还需进一步判断，
；，，
供给方程可识别且恰好识别，模型不可识别。
也可将原模型消除恒等式后再作判断.

例6.

消除平衡方程

方程⑴ ，，由阶条件知，需求方程不可识别；
方程⑵ ,，还需进一步判断，
, ，
供给方程可识别且过度识别,模型不可识别。
课堂练习：简单国民经济模型
其中，C、Y、I分别是消费、收入和投资，都是内生变量；
和G为利润和政府开支，且是外生变量。
讨论模型各方程的识别性。

三. 零约束条件：
(一）零约束条件
在前段的例题中我们会发现有些不可识别的方程包含了模型中的所有变量，如
例4中的方程⑴⑵、例5中的方程⑴、例6中的方程⑴等.实际上,一个结构方程中如果包含了模型中的所有变量,那末该方程一定不可识别.也就是说，一个方程可识别，模型中的某些变量一定不出现在该放程中。或者说，方程不包含模型的所有变量是方程可识别的必要条件。方程中缺少某些变量相当于在方程中令这些变量的系数为零,所以又称为零约束条件。零约束条件的一个直接应用就是在建模时尽量保证方程的可识别。
(二）实际应用中的经验方法
零约束条件多用于构建联立方程模型时，尽量避免出现不可识别的情况。通常的作法是：构建模型中的某个方程时，尽量让该方程不包含的前定变量数不少于方程中内生变量数减1.即

这就是阶条件（可识别的必要条件）.
必须说明的是，允许或不允许某些变量在某个特定方程中出现，在经济学上必须是合理的，不能为使方程可识别而对其中变量的个数作随意的增减。具体使用时可按如下方法:
列表——--横栏标题是方程名称；
纵栏标题是模型中所有变量；
表中内容为系数。
并按下列原则进行：
1. 在表中逐行（方程）引入变量（在须引入的变量对应的位置上填入参数）；
2. 在建立某个方程时,要使该方程包含前面每一个方程中都不含的至少1个变量（内生或前定变量）；
3. 同时使前面每一个方程中都包含至少1个该方程所未包含的变量,且互不相同.

变量

方程

方程1

方程2

方程m

说明:

§12。6 联立方程模型的估计方法概述

由于联立方程模型（结构型）的参数OLS估计量是有偏和不一致的，其根本原因是在模型中出现了随机解释变量（即模型不满足假定5），通常不能直接使用OLS法,但也有例外，如递归模型的估计就可直接采用OLS法，因为递归模型不是通常所说的同时方程模型.
递归模型可直接使用OLS

由于递归模型的特殊结构，在模型中不同方程的同期随机项彼此不相关，即
，
所以每个方程内作为解释变量的内生变量与该方程的随机项无关，满足假定5。

对真正的同时方程模型，OLS法就不在适用，要采用其他的估计方法。常用的主要有两类—-单方程估计法和系统估计法。
单方程估计法（有限信息估计法）：对模型中每一个方程进行估计而不考虑其余方程的约束。主要方法有
⑴普通最小二乘法（OLS）；
⑵间接最小二乘法（ILS）；
⑶工具变量法(IV）
⑷两阶段最小二乘法（2SLS）；
⑸有限信息最大似然法(LI/ML）等.
系统估计法(完全信息估计法）：对模型中的所有方程同时估计决定所有参数的估计值。主要方法有三阶段最小二乘法（3SLS)和完全信息最大似然估计法（FI/ML)。
我们以介绍单方程估计法为主.
§12.7 间接最小二乘法（ILS）
一。 ILS的基本思想:
将恰好识别的结构模型化为约简型；
对约简型的每个方程进行OLS估计,得到约简参数的OLS估计量;
由参数关系体系推算模型的结构参数估计量。
要注意的是ILS法要求：
1。结构方程(模型）必须恰好识别，这样才能由约简参数通过参数关系体系唯一确定结构参数；
2.约简型的各随机项应满足经典假定（主要是假定5）；
3.前定变量之间不存在高度多重共线性。
二. 举例说明具体作法：
农产品供求模型
降雨量；
内生变量、、，外生变量、,随机干扰项满足假定，、的相关性很弱。化简 ,数学上完备，模型恰好识别（略）。
化成约简型
参数关系体系

对约简型中两个方程进行OLS估计,得和,
由参数关系体系,得

这就是结构参数的间接最小二乘估计量。
三。 间接最小二乘估计量的特性：
间接最小二乘估计量是有偏的但是一致的。

供求模型

方程(1）包含所有变量,根据零约束条件,不可识别.
方程（2）为恰好识别（略)。
化成约简型
由参数关系体系有

对约简型进行OLS估计，得

的ILS估计量为
因为

⒈ 显然,所以的ILS估计量是有偏的。
⒉

所以的ILS估计量的一致估计量(渐进无偏）。
§12.8 工具变量法（IV）
在结构方程中，如果解释变量是内生变量,则假定5被破坏.若能选择一个变量Z
与内生解释变量强相关，同时与随机项无关,从而消除解释变量与随机项的相关关系，
变量Z称为工具变量.由此可看出,工具变量应该是真正的前定变量.
一。 工具变量法的步骤：
对恰好识别的结构方程选择适当的工具变量，工具变量应满足的要求：
a. 与被考虑的内生解释变量强相关;
b。 是真正的前定变量，与结构方程中的随机项无关；
c. 与其它前定变量相关性很小（避免多重共线性）；
d. 如果在一个方程中使用多个工具变量，这些工具变量也应几乎不相关（避免多重共线性）.
如果结构方程中含有前定变量，应首先考虑选择这些变量作为工具变量.
分别用工具变量去乘结构方程,并对所有样本值求和，以替换OLS法正规方
程中的对应方程，得到拟正规方程。
解此拟正规方程，得到参数的IV估计量。
二. 举例说明该方法及工具变量估计量的统计性质
1。 设有模型 ，与有关,即；
设有工具变量与高度相关，且与无关,即
用乘原方程（原模型）,然后对所有样本求和,有

对于样本有
因为， ，这样有 （＊)
又因为，,有，那末
(**)
将（＊）和（＊*）联立，得方程组

这就是拟正规方程.和是参数和的工具变量（法）估计量，

这是一种近似估计，模仿OLS法，在极值存在的必要条件中用工具变量代替作内积.
2。 参数的工具变量估计量是有偏的但是一致的。

⑴ ，
，（因为是随机解释变量）
所以的IV估计量是有偏的。
⑵
(因为)
所以的IV估计量是一致的(渐进无偏）。
3。 多个随机解释变量的情况:
设被估计的结构方程为 ,恰好识别,其中、 为随机解释变量，即,；假设找到两个工具变量、，满足条件:与强相关,与强相关且,，与相关性很弱。
分别用和乘结构方程，并对样本求和，得

因为，
, 则上面两个和式可写成

用这两个方程换替OLS法正规方程中的对应方程，

其它方程不变，就得到拟正规方程，解出即为参数的工具变量估计量.
4. 举例：供求模型

方程（1）包含所有变量，根据零约束条件，不可识别。
方程(2）为恰好识别（略)。
供给方程，是随机解释变量
引入消费者收入作为价格的工具变量，则拟正规方程为

的IV估计量为，这与ILS法的估计量相同。
三。 工具变量法的有效性(效果）:
假设联立模型中第一个结构方程可识别且具有如下形式

方程中有(）个内生变量，其中个为解释变量，（）个前定变量。
1。 若方程恰好识别：

不包含在方程中的前定变量数恰好等于随机解释变量(作为解释变量的内生变量）数,可用这个前定变量作为随机解释变量的工具变量，利用全部前定变量的信息求出结构参数唯一的IV估计值。所以，IV估计法对恰好识别的方程是有效的。
2。 若方程过度识别:

首先，可供选择用来作为工具变量的前定变量多于方程中随机解释变量，工具变量的选择不同，参数的估计值也不同，估计值不唯一；另外，只需不包含在方程中的前定变量的一部分作为工具变量，在估计时并未利用所有前定变量的信息.所以，IV估计法对过度识别的方程不是一种有效的方法。

还须说明的是：对恰好识别的方程,“参数估计值唯一”只是数学意义上的。在实
际应用中，由于不同的随机解释变量的经济含义不同,不能随意
搭配工具变量。
四. 简单评述：
⑴适用恰好识别的方程；
⑵选出合适的工具变量有时很困难（因为内生变量与很多前定变量有关)；
⑶在实用中,要求前定变量之间不相关也不现实；
⑷在实际中,确定工具变量与独立也很困难(因为不可观察）;
⑸参数的IV估计量是有偏的,但是一致的。
由于以上原因，在实际应用中人们很少直接使用IV法对结构参数进行估计,但IV法为二阶段最小二乘法（2SLS)提供了思路。
§12。9 二阶段最小二乘法（2SLS）
一。 基本思路：
ILS法要求恰好识别,对于过度识别的方程IV法又不是有效的（工具变量选择的任意性以及未被选用的前定变量所携带信息的损失）。
一个想法：若模型中每个内生说明变量（随机解释变量）的工具变量都能考虑所有前定变量的影响，此时，既没有工具变量选择的任意性也没有未被选用的前定变量所携带信息的损失。为此可先将模型化为约简型，并对约简型进行估计，用约简型的样本回归方程作为内生说明变量的“工具变量”。这样的工具变量与内生说明变量的相关性最强.
二. 步骤：
设可识别的结构模型为
、是内生变量，、是外生变量且、满足经典假定。
第一阶段:模型在数学上完备,化成约简型

用OLS法估计约简参数（i，j=1,2）,并得出约简型的样本回归方程

上式中内生变量的估计量与内生变量只差一个残差,即
（*）
是对的估计。因此与强相关;由于是前定变量、的线性组合，所以，包含了所有前定变量的信息，用作为的“工具变量”。
第二阶段：用（*)式替换结构式中的随机解释变量，模型变为
其中
然后用OLS求出结构参数的一致估计量，称为二阶段最小二乘估计量。这就是二阶段最小二乘法(2SLS）。
三。 应用举例： 314页。
四。 2SLS估计量的统计性质：
参数的二阶段最小二乘估计量是有偏但一致的。

是内生变量，是前定变量。
对第二个方程，且，所以过度识别。
第一阶段：化成约简型 ,对其施以OLS法。
样本回归方程 ，作为特殊工具变量。
第二阶段：将代入第二个方程，得
，
用OLS估计,参数的二阶段最小二乘估计量

1. 因为与有关;与有关；与有关。
， 有偏。
2.
因为是的一致估计（渐进无偏）;

又因为 是对的估计；

这样，且

所以 ， 是一致估计量（渐进无偏）。

五。 2SLS法使用时应满足的条件：
1。 被估计的结构方程必须是可识别的.
2。 结构方程的随机干扰项应满足零期望、等方差、无自相关且与前定变量无关。
3. 模型中的前定变量必须正确设定，且前定变量之间不存在高度多重共线性。
4。 要求样本容量足够大，观测值的数目至少要大于前定变量数,以确保约简参数
的估计量有意义.

IV法和2SLS法也适用于单方程模型的参数估计;在联立方程模型的参数估计时，若方程恰好识别，2SLS法的估计结果与ILS法和IV法的估计结果相同；2SLS法还可估计过度识别的结构方程；但2SLS法要求样本容量足够大且该法对误差很敏感。