概率测验题(测验一是我们老师给的-就一份)(1).doc

练习三
一、选择题
1．设，则（ ）
（A）且 （B）或 （C） （D）
2．设是某连续型随机变量的分布密度，则是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设随机变量，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4．用雪比晓夫不等式估计概率，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．若，，且与独立，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1． 设，，，则
， ．
2．投掷均匀的五枚硬币，已知至少出现一个正面，则正面的次数刚好为的概率为 ．
3．设，若，则 ， ．
4．设（均匀分布），则 ， ，
．
5．已知随机变量的概率密度函数，则常数 ，
．
三、计算题
1．盒子中放有个乒乓球，其中个是未用过的新球，第一次比赛时，从中任取个来用，练习后仍放回盒子中，第二次比赛时，再从盒子中任取个，求第二次取出的球都是新球的概率（必须写出设题和已知的概率，并写出所用的概率公式）．
2．袋子中有把黑色笔、把蓝色笔，从中随机取把，（1）求所取的把笔中所含的黑色笔数的分布列；（2）求；（3）求所取把笔中黑色笔比蓝色笔多的概率．
3．设连续型随机变量的分布函数，求：（1）系数；（2）的概率密度；（3）．
4．设的概率密度为，求的分布函数和分布密度．
四、计算题
1．设的分布列为，（1）求；（2）关于的边缘概率分布，判别与是否独立？（3）．
2．设与相互独立，概率密度分别为，，求（1）的联合概率密度；（2）；（3）的概率密度.
五、证明题 设的联合概率密度为，求证服从标准正态分布。
练习三答案：
一、选择题
1．C； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C．
二、填空题
1．，；2．；3．，；4．，，； 5．，．
三、计算题
1．解：设表“第一次取出的个球有个新球”，表“第二次取出的个球都是新球”，则，，
利用全概率公式得
．
2．解：（1）因的实际取值为，且
，，，
故的分布列为；
（2），
，
；
（3）．
3．解：（1）由，
且，得
；
（2）；
（3）
．
4．解：由的实际取值为，得的实际取值为．
因时，
，，
故的分布函数，
分布密度．
四、计算题
1．解：（1）由，得；
（2）由，，与
，，，得
与的分布列为与，
因，故与不独立；
（3）.
2．（1）因与独立，故的联合概率密度
；
（2）因与独立，故
；
（3）因与独立，故的概率密度，
因为，
所以的实际取值为，且此时，
故.
五、证明题
证：因，得的概率密度

（奇偶性） ．故．
练习四
一、选择题
1．设，则下述结论正确的是（ ）
（A）与必同时发生 （B）发生，必发生
（C）不发生必不发生 （D）不发生必不发生
2．设是连续型随机变量的分布函数，则分别为（ ）
（A）， （B）， （C）， （D），
3．设随机变量，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．用雪比晓夫不等式估计概率，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．设为标准正态分布函数，若，且，则常数满足（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．设，是随机事件，，，则 ，
．
2．在这一百个正整数中任取一个，则它能被或整除的概率为 ．
3．设，若，则 ， ．
4．设（均匀分布）， ，则 ， ，
．
5．设连续型随机变量的分布函数为，则分布密度 ， ．
三、计算题
1．某商品店销售电子产品，进货件，其中有件正品，件次品，已经售出件．某人要从剩下的件中任意购一件，求这人能购到正品的概率（必须写出设题和已知的概率，并写出所用的概率公式）
袋中有个红球、个白球和个黄球，从中任意取出个，记为所取的红球数，的分布函数为（1）求的分布列；（2）求；（3）求．
3．设随机变量的概率密度为，且．（1）求常数的值；（2）求；（3）对进行三次独立观测，求其中恰好有一次的绝对值小于的概率．
4．设的概率密度为，求的分布函数和分布密度．
四、计算题
1．设二维随机变量的概率分布为，求：（1）；（2）关于的边缘概率分布，判别与是否独立？（3）；（4）求．
2．设与相互独立，概率密度分别为，，求（1）的联合概率密度（2）；（3）的概率密度．
五、证明题 设二维随机变量的联合概率密度为
，求证：．
练习四答案：
一、选择题
1．C； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C．
二、填空题
1．； 2．； 3．； 4．； 5．，．
三、计算题
1．解：设表“已经售出的件中件正品”，表“从剩下的件中任购一件是正品”，则，，
利用全概率公式得
．
2．解：（1）因的实际取值为，且
，，
，，
故的分布列为；
（2）；
（3），
，
．
3．解：（1）由是概率密度得…①
由 …②
联立①②，解得；
（2）；
（3）设表示三次观测中的绝对值小于的次数，则，故所求概率
．
4．由的实际取值，得的实际取值为．
因时，
，
故所求的分布函数为，
分布密度为．
四、计算题
1．解：（1）由，得；
（2）由，，与
，，，得
与的分布列为与，因，故与不独立；（3）；
（4）．
2．解：（1）因与独立，故的联合概率密度
；
（2）；

（3）因与独立，故的概率密度，

所以的实际取值为，且
当时，，，
当时， ，，
故的概率密度．
五、证明题 因，，故独立，且，
，于是 ，。
练习五
一、选择题
1．三个事件，，不都发生的正确表示法是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．一部五卷的选集，按任意顺序放在书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．连续型随机变量的分布函数与分布密度必满足（ ）
（A）都是连续的函数 （B）都是单调不减的函数
（C）定义域都是 （D）值域都是
4．设（均匀分布）， ，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．随机变量与互相独立，且，，则
服从的正态分布是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1．设，则 ，
．
2．设（二项分布），，则最大值为 ．
3．设（泊松分布），已知，则 ， ， ．
4．若的概率密度，则系数 ， ，
．
5．设，．由雪比晓夫不等式，若，则 ．
三、计算题
1．袋子中有个正品硬币，个次品硬币（次品硬币两面都印有国徽）．在袋子中任取一只硬币，将它抛掷次．（1）求所抛掷的次都是国徽朝上的概率；（2）已知所抛掷的次都是国徽朝上，求所取的硬币是正品的概率（必须写出设题和已知的概率，并写出所用的概率公式）．
2．三张外表相同的纸上各写上数字，随机取出两张，设为所取的两张纸上数字之和，（1）求的分布列；（2）求，；（3）定义，求．
3．设随机变量的概率密度为，且，求：（1）；（2）．
4．设~，即概率密度，求的概率密度．
四、计算题
1．若，，且相互独立，求：（1）；
（2）；（3）．
2．设二维随机变量的联合概率密度为
，
（1）求和的边际概率密度，并判别和是否相互独立；（2）求的概率密度．
五、证明题
对任意的，，求证：．
练习五答案：
一、选择题
1．D； 2．A； 3．C； 4．B； 5．B．
二、填空题
1．，；2．；3．，，；4．，，；5．．
三、计算题
1．设“所取的一只是正品硬币”，“抛掷三次恰有三次国徽朝上”，则
，，
利用二项概率公式得：，，
（1）利用全概率公式得：
；
（2）利用逆全概率公式得所求概率为．
2．（1）因的可能取值为，且
，，，
故的分布列为；
（2），，
；
（3）因的可能取值为（当为奇数）和（当为偶数），故
奇数偶数
．
3．（1）因为为概率密度，所以
；
又，
联立解得；
（2）．
4．因为的实际取值为，所以的实际取值为，且当时，

，
此时，，
故．
四、计算题
1．（1）由，得；
（2）因为相互独立，，得的联合分布列为

于是
；
（3）…
．
2．（1）当时，，
当时，，
故，
因，故和不相互独立；
（2）由的实际取值，得的实际取值为，此时
，
当时，，
；
当时，，

故．
五、证明题

．
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