上海市区届高模数学试题分类汇编：圆锥曲线-Word含答案.doc

上海市区届高模数学试题分类汇编：圆锥曲线 Word含答案

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20

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上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编9：圆锥曲线

一、选择题
．(上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）直线与双曲线的渐近线交于两点,设为双曲线上的任意一点，若(为坐标原点），则下列不等式恒成立的是 (　　)
A． B．
C． D．
．(上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）过点作直线与双曲线交于 (　　)
A．B两点,使点P为AB中点,则这样的直线 (　　）
A．存在一条,且方程为 B．存在无数条
C．存在两条,方程为 D．不存在
二、填空题
．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学(文）试题）已知椭圆内有两点为椭圆上一点,则的最大值为_______。
．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题)若双曲线:的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为_________。
．(上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是_____。
．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学（文）试题）设双曲线的左右顶点分别为、 ,为双曲线右支上一点,且位于第一象限,直线、的斜率分别为、，则的值为_______________.

．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学（文)试题)已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为__________。
．（上海市黄浦区2013年4月高考(二模）模拟考试数学（文)试题）已知点是双曲线上一点,双曲线两个焦点间的距离等于4，
则该双曲线方程是___________.

．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）设、是椭圆的两个焦点,点在椭圆上，且满足，则的面积等于____________。
．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文)试卷)已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且渐近线方程为,则此双曲线方程为______________________.
．（上海市奉贤区2013届高考二模数学(文)试题 )已知椭圆:,左右焦点分别为，过的直线交椭圆于 两点，则的最大值为_______
三、解答题
．(上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文）试卷)本题满分18分,第1小题满分8分,第2小题满分10分
在平面直角坐标系中，已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹，曲线是由曲线绕坐标原点按顺时针方向旋转形成的.
(1）求曲线与坐标轴的交点坐标,以及曲线的方程;
（2)过定点的直线交曲线于、两点，点是点关于原点的对称点.若，证明:.

．(上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量。
（1） 求双曲线的方程；
(2) 若过点（)任意作一条直线与双曲线交于两点 （都不同于点)，
求的值;
(3) 对于双曲线G:,为它的右顶点，为双曲线G上的两点（都不同于点）,且，求证:直线与轴的交点是一个定点。

．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文)试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分，第2小题满分6分 ,第3小题满分6分。
在平面直角坐标系中,方向向量为的直线经过椭圆的右焦点,与椭圆相交于、两点
（1）若点在轴的上方,且,求直线的方程;
(2）若,,求△的面积;
(3）当（且）变化时，试求一点,使得直线和的斜率之和为.
第22题

．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 )本题共有3个小题，第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3）小题满分8分。
(1)设椭圆:与双曲线:有相同的焦点,是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为,求椭圆的方程;
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图,已知“盾圆”的方程为。设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为,求证:为定值；

（3）由抛物线弧:(）与第(1)小题椭圆弧:(）所合成的封闭曲线为“盾圆”。设“盾圆”上的两点关于轴对称，为坐标原点，试求面积的最大值。
x
y
o
3

浦东新区2013年高考预
．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文）试题）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分,第(2)小题满分8分.
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上,且经过两点。
（1)求椭圆的方程；
(2)若平行于的直线在轴上的截距为,直线交椭圆于两个不同点,直线与的斜率分别为，求证：。
解：
．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知椭圆。
(1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点,是它的右顶点,当直线的斜率为时，
求△的面积；
（2)设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴
负半轴的交点,求实数的值.

．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文)试题)本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小
题满分6分。
设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于
两点，且。
（1)求抛物线的方程;
（2)若直线平分线段，求直线的倾斜角。
(3)若点是抛物线的准线上的一点,直线的斜率分别为。求证：当时，为定值。

．(上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知抛物线:，直线交此抛物线于不同的两个点、。
（1)当直线过点时，证明为定值;
（2）当时,直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点,请说明理由;
（3)记，如果直线过点,设线段的中点为,线段的中点为.问是否存在一条直线和一个定点,使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在,请说明理由.

．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）动圆过定点,且与直线相切。 设圆心的轨迹方程为
(1)求;
（2）曲线上一定点,方向向量的直线(不过P点）与曲线交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为,，计算；
(3)曲线上的一个定点,过点作倾斜角互补的两条直线分别与曲线交于两点，求证直线的斜率为定值；

．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)
如图,已知点，直线:,为平面上的动点,过点作的垂线,垂足为点，且。
(1)求动点的轨迹的方程;
（2）（文）过轨迹的准线与轴的交点作方向向量为的直线与轨迹交于不同两点、，问是否存在实数使得？若存在,求出的范围;若不存在，请说明理由;
（3）（文)在问题（2)中，设线段的垂直平分线与轴的交点为,求的取值范围.

上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编9：圆锥曲线参考答案
一、选择题
B
D
二、填空题
;

；
;
；
；
1；
;
（每空2分）
三、解答题
解（1）设，由题意,可知曲线为抛物线,并且有
，
化简,得抛物线的方程为：.
令，得或,
令，得或，
所以，曲线与坐标轴的交点坐标为、和.
点到的距离为，
所以是以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为：.
(2)设,，由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为，代入得
,。
由得

，

。
故。

本题共有3个小题,第(1)小题满分4分，第(2）小题满分6分, 第（3)小题满分6分.
解：(1)设双曲线C的方程为，则,
又 ，得,所以,双曲线C的方程为
(2） 当直线垂直于轴时,其方程为,的坐标为（，）、(,），
，所以=0
当直线不与轴垂直时，设此直线方程为,
由得.
设,则， ,
故

++=0 。综上，=0
（3) 设直线的方程为:，
由，得，
设，则， ，
由，得,
即，
,
化简得， 或 （舍），
所以，直线过定点(,0）
【解】
(1）由题意,得，所以
且点在轴的上方,得
，
直线：,即直线的方程为
(2）设、，当时，直线:
将直线与椭圆方程联立,
消去得，，解得,
，所以
(3）假设存在这样的点,使得直线和的斜率之和为0,由题意得，
直线:（)
,消去得,
恒成立，
,

所以

解得，所以存在一点，使得直线和的斜率之和为0
解:(1）由的周长为得，
椭圆与双曲线：有相同的焦点,所以,
即,,椭圆的方程；
(2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，
当时，,，
即；
当时,，,
即;
所以为定值；
（3）因为“盾圆”关于轴对称,设于是，
所以面积，
按点位置分2种情况：
①当在抛物线弧（)上时,
设所在的直线方程(),
联立，得,同理,
面积，所以；
②当在椭圆弧上时，
于是联立,得；
即，由,
当且仅当等号成立,所以，
综上等腰面积的最大值为.

[解]（1）设椭圆的方程为
将代入椭圆的方程，得 理2分,文3分
解得,所以椭圆的方程为 理2分，文3分
设点的坐标为，则.
又是上的动点,所以，得,代入上式得
，
故时,。的最大值为. 理2分
（2)因为直线平行于,且在轴上的截距为,又，所以直线的方程为.由 得 文理2分
设、,则.
又
故。文理2分
又，
所以上式分子 文理2分

故.文2分
所以直线与直线的倾斜角互补.理2分
本题共有2小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分 。
解：（1）依题意，,， 由，得，
设,∴；
(2）如图，由得，
依题意，，设,线段的中点,
则，，,
由,得，∴
本题共有3个小题,第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分。
解:（1)设直线的方程为，代入，可得
(＊)
由是直线与抛物线的两交点，
故是方程(*)的两个实根,
∴，又，所以,又，可得
所以抛物线的方程为
【另法提示：考虑直线l垂直于x轴这一特殊情形，或设直线l方程为点斜式】
(2）由（1)可知,
设点是线段的中点,则有
,，
由题意知点在直线上，
∴,解得或，
设直线的倾斜角为，则或,又，
故直线的倾斜角为或
【另法提示:设直线l方程为点斜式】
(3）,可得，
由（2）知又,
∴

,
所以为定值
【另法提示：分直线l斜率存在与不存在两种情形讨论,斜率存在时设直线l方程为点斜式】
解：(1）过点与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设，其中（若时不合题意)，由得，
注：本题可设，以下同。
(2）当直线的斜率存在时,设,其中（若时不合题意）.
由得.
，从而
假设直线过定点，则，从而，得，即,即过定点
当直线的斜率不存在，设,代入得，,,从而,即，也过。
综上所述,当时,直线过定点
（3）依题意直线的斜率存在且不为零，由(1)得点的纵坐标为，代入得,即
设，则消得
由抛物线的定义知存在直线，点,点到它们的距离相等
(文）
(1）过点作直线的垂线,垂足为，由题意知:，
即动点到定点与定直线的距离相等,
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线
其中为焦点，为准线,所以轨迹方程为;
(2）证明：设 A(）、B（）
由题得直线的斜率
过不过点P的直线方程为
由得
则.

==
==0
(3）设,
== （＊**）
设的直线方程为
由 ,
则 15分
同理,得
代入（*＊*）计算得:

（本题满分18分，第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分）
（文)(1)设，由题意，，，,
,,
由，得，
化简得。所以,动点的轨迹的方程为
（2)轨迹为抛物线,准线方程为，即直线，所以,
当时，直线的方程为，与曲线只有一个公共点，故
所以直线的方程为,由 得，
由△,得
设，,则，,
所以,,
若,则，即，
，,
解得。所以
（3）由（2）,得线段的中点为,线段的垂直平分线的一个法向量为,所以线段的垂直平分线的方程为,
令,，
因为，所以.
所以的取值范围是