重庆市2014年高2014级高三考前模拟数学试题.doc

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重庆市2014届高三考前模拟
数学（理）试题
满分150分。考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
【试卷综析】本试卷是高三考前模拟理科数学试卷，命题模式与高考一致，紧扣考纲,考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题。试题重点考查:函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量、极坐标与参数方程、推理与证明等,涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题题目新颖，导向性强,非常适合备战高考的高三学生使用.
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)己知i为虚数单位，复数的虚部是
（A） （B）一 （C）一i （D）i
【知识点】复数的代数形式；复数的除法运算
【答案解析】A 解析：，其虚部为，
故选：A
【思路点拨】根据复数的除法运算把复数化成一般形式，再根据虚部的定义即可得到答案。

（2）设集合A= {-1，0，2），集合，则B=
（A){1｝ （B）｛一2} （C){—1，—2｝ （D）｛—1，0｝
【知识点】元素与集合的关系
【答案解析】A 解析：当时，，所以满足题意，此时；当时，,所以不满足题意;当时，，所以不满足题意，所以=，
故选:A
【思路点拨】根据已知知集合B中的元素属于集合A，因为集合A中的元素不多,可以把各个元素分别代入检验，从中选出符合条件的元素即可。
（3)若p是q的必要条件,s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是

【知识点】充分条件和必要条件;推理与证明
【答案解析】C 解析：解：因为p是q的必要条件,s是q的充分条件
所以q⇒p，s⇒q，
所以s⇒p,
所以
故选：C
【思路点拨】因为p是q的必要条件，s是q的充分条件,所以q⇒p，s⇒q，所以s⇒p,再由逆否命题与原命题的真假一致得到答案。

【知识点】频率分布直方图
【答案解析】D 解析：由图可知，平均气温在和的频率相等，且组距为1，所以平均气温在的频率是,低于的频率是0.10+0.12=0.22,而低于的采集点个数是11，所以样本容量为,则平均气温不低于的采集点个数为个,
故选：D
【思路点拨】由频率分布直方图的意义可知，小矩形的面积表示频率，且面积和为1，据此可计算出未知的两个小矩形的面积，即频率,进而算出样本容量，再根据平均气温不低于的频率和样本容量计算出频数。

【知识点】含循环结构的程序框图
【答案解析】A 解析:第一次循环：成立，10不是奇数,所以,，进入下一次循环；
第二次循环：成立，5是奇数，所以，，进入下一次循环；
第三次循环：成立,14不是奇数,所以，，进入下一次循环;
第四次循环：成立，7是奇数，所以,,进入下一次循环
第五次循环:成立，20不是奇数,所以，，进入下一次循环
第六次循环：成立，10不是奇数,所以，，进入下一次循环
从中可以发现的值成周期性变化，周期为5，当不成立即时，循环停止，此时循环已经进行了2014次，2014除以5余数为4，所以最后输出的的值与第四次循环里的值一致，所以输出的的值为20,
故选：A
【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是反复计算变量的值,对前几次循环中各变量的值进行分析，从中可以发现的值成周期性变化，周期为5，根据周期计算停止循环时的与第几次循环一致,就可得到正确答案。

(6）某几何体的三视图如题（7）图所示,其侧视图是一个边长为l的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成

【知识点】由三视图求几何体的体积、表面积
【答案解析】C 解析:由几何体的三视图可知:此几何体是两个相同的三棱锥拼接而成的，由侧视图知三棱锥的高为，底面三角形是正三角形,边长就是侧视图三角形的底边长，即1，所以底面三角形的面积为,所以所求几何体的体积为，
故选:C
【思路点拨】先由三视图想象几何体的结构特征，由正视图和侧视图可知几何体为椎体，再结合俯视图可判断其为两个相同的三棱锥拼接而成，求出一个三棱锥的底面积和高,带入三棱锥的体积公式中，再乘以2就是所求几何体的体积。

（7）设A、P是椭圆两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP、BP分别交x轴于点M、N,则
（A)0 （B)1 （C） (D）2
【知识点】椭圆的性质；向量的数量积运算
【答案解析】D 解析:不妨设点P是椭圆的右顶点,即P，因为A,B关于x轴对称，所以直线AP、BP与x轴的交点都是点P,即M,N，P重合，则=,
故选：D
【思路点拨】本题若用常规方法来解，需要大量的运算,故可采取“特殊值”法，给点P一个特殊位置，即可快速的解出的值。
（8）对任意的实数x，y，定义运算值是
(A）a （B）b （C）c （D）不确定
【知识点】函数的单调性与导数；单调性的应用
【答案解析】A 解析：由运算的规则知：的作用是取两个实数中较大的值,
所以就是取三个数中的最大值，令，则，当即时，，函数单调递减,所以，即是中的最大值，所以的值是,
故选：A
【思路点拨】先读懂新运算的意思，再将转化成求三个数中的最大值，接下来就是比较的大小，观察三个数的特点，可构造一个函数，通过函数的单调性比较大小。

(9）已知△ABC中，D是BC边的中点,过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F,若
的最小值是
（A)1 (B） (C） （D）
【知识点】向量的加法；共线向量定理；基本不等式
【答案解析】A 解析：由已知得：,,
所以，即,
因为D,E，F三点共线,
所以,
又，由基本不等式可得：
所以，即的最小值是1，
故选：A
【思路点拨】由D是BC的中点可得,然后转化成，再由共线向量定理得，由基本不等式“和定积最大”可得的最大值为，从而的最小值是1。

【知识点】零点的定义；指数幂的运算
【答案解析】B 解析：由题知，，，，
，
又
，
故选B．

【思路点拨】由零点的定义及已知得，,，，从而得到，根据计算出的范围,进而解出的最小值。

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相对应位置上．
(11）己知________________
【知识点】三角函数的诱导公式；同角三角函数的基本关系式
【答案解析】 解析：，，
，
，
故答案为:
【思路点拨】由三角函数的引导公式可求出的值，再根据同角三角函数的基本关系式先计算出，进而计算出.

(12）等比数列{｝满足：对任意
【知识点】等比数列的定义、通项公式
【答案解析】2 解析:由已知得:,
两边约掉并整理得：,
解得:，
，
，
，
故答案为:2
【思路点拨】依据等比数列的通项公式化简已知条件,可得到一个关于公比q的一元二次方程，解出q,舍去不符合条件的答案，即可得到正确的答案。

(13）已知平面区域,直线有两个不同的交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M)，若，则实数所的取值范围是 。
【知识点】几何概型；函数的单调性
【答案解析】 解析：如右图所示，设直线与曲线交于两点，的大小 为，
∴的面积
扇形的面积
∴阴影部分面积
∴
显然，且关于递增,易得当时，
，此时；当时，，此时;∴
故答案为：
【思路点拨】根据题意可判断这是一个几何概型，画出图示，确定区域M和区域Ω的形状，计算出各自的面积，即可得到，根据的范围即可得到m的范围。

考生注意：（14)、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．

【知识点】切割线定理
【答案解析】3 解析：
，解得:
，
,解得：
故答案为：3
【思路点拨】在两个圆中分别利用切割线定理,分析各线段之间的关系，列出所求线段的方程，解方程即可得到答案.

【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线和圆的位置关系
【答案解析】 解析：直线的普通方程为：，将曲线的极坐标方程分别转化为直角坐标方程为:，解和
,得点，所以,
故答案为:
【思路点拨】将直线的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出两圆的直角坐标方程，分别与直线方程联立，解出A，B的坐标，代入两点间距离公式即可。
(16）函数若不等式f（x）≥6的解集为（—∞，—2］［4,+∞），则实数a的值为 ．
【知识点】绝对值不等式
【答案解析】3 解析：不等式f（x)≥6的解集为（—∞，-2］［4,+∞)
时,=6都成立，
将代入,得或,
将代入,得或，
故答案为：3
【思路点拨】根据题意可判断：时,=6成立，代入即可计算出a的值.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17)(本小题满分13分）
已知向量的最小正周期为．
(I）求ω的值； ．
（II）设△ABC的三边a、b、c满足:b2=ac,且边b所对的角为x,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数解,求实数k的取值范围．
【知识点】向量的数量积；三角恒等变换；三角函数的图像和性质
【答案解析】
解：（Ⅰ)
；
(Ⅱ)
所以
，
由函数的图象知，要有两个不同的实数解，需，
即．
【思路点拨】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算列出关系式，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式，由已知周期即可求出ω的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosx，将b2=ac代入并利用基本不等式化简求出cosx的范围，进而确定出x的范围，求出的范围,根据f(x)=k，得到，利用正弦函数图象即可确定出k的范围。
（18）(本小题满分13分)
某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制．已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为；
（I)若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率;
(II）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球．规定胜一局记2分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及数学期望E.
【知识点】随机事件的概率;离散型随机变量的分布列、期望
【答案解析】
解:（Ⅰ）甲在第一局获胜包括两种情况：先发球获胜和后发球获胜,
第一种情况下的概率为：，
第二种情况下的概率为：，
故甲获胜的概率为
（Ⅱ）由题知,的取值为，
=0，即甲前两局都未得分,比赛结束，所以其概率为:
=2，即甲在第一或2局获胜,其余两局输，比赛进行了三局，所以其概率为：
=4，即甲胜两局，其概率为：1--=
分布列如下：

．
【思路点拨】（Ⅰ)甲在第一局获胜包括两种情况：先发球获胜和后发球获胜，分别计算两种情况下的概率,相加就是所求；
（Ⅱ）由题知，的取值为，分别对应甲前两局都输、甲在第一或2局获胜,其余两局输、甲胜两局三种不同的比赛结果，分析每局比赛的甲获胜或输的概率,相乘即可得到对应的的概率,列出表格，再代入期望的计算公式即可解得期望。
（19)(本小题满分13分）
如题（19）图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=3,
AC=BC=2，D为AB中点，E为BB1上一点，且．
（I)当时，求证：CE⊥平面A1C1D；
（II）若直线CE与平面A1DE所成的角为30°，求的值．

【知识点】直线和平面垂直；直线和平面所成角
【答案解析】
解：（Ⅰ）建立空间直角坐标系如图所示,则 ，

又

平面；
（Ⅱ)由题知，，，
，
平面的一个法向量为

即
解得．
【思路点拨】（Ⅰ）由直三棱柱的特征可建立适当的坐标系，用坐标表示需要的点,求出向量,的坐标，证明，从而，由线面垂直的判定定理即可证明平面；
(Ⅱ）直线CE与平面A1DE所成的角的正弦就是和平面的一个法向量所成角的余弦的绝对值，所以可求出平面的一个法向量,利用直线CE与平面A1DE所成的角为30°列出关于的方程，解方程即可.

（20）（本小题满分12分)’

【知识点】函数的单调性与导数；函数的极值与导数
【答案解析】
解:（Ⅰ） ,
显然当时，，，当时，，
在上单减，在上单调递增；
（Ⅱ)，令，
则，在上单减，在上单增，
而，所以与轴有两个不同的交点，不妨记为，
若在处取得极小值，则在包含的某个区间内恒正，即或，
所以,即 ．
【思路点拨】（Ⅰ)把代入函数解析式，得,求出的导数，解出和的解集就可得单独区间。
（Ⅱ）在出取得极小值，则在左侧为负，右侧为正，求出，令,讨论的情况，若在处取得极小值，则在包含的某个区间内恒正，所以，即可得出的范围。

（21）（本小题满分12分）
已知椭圆和椭圆的离心率相同,且点
(，1）在椭圆C1上．
(I）求椭圆C1的方程；
（II）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．
求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数.
【知识点】椭圆的性质和标准方程；直线与椭圆的位置关系
【答案解析】
解：（Ⅰ）由题知,且 即，
椭圆的方程为；
（Ⅱ)当直线的斜率不存在时，必有，此时,
当直线的斜率存在时，设其斜率为、点，则
与椭圆联立，得，设 ,
则 即
又

综上，无论怎样变化,的面积为常数．
【思路点拨】（Ⅰ）由已知可得，且点（，1）在椭圆C1上，代入椭圆方程中可得，又,解得，就可得到椭圆方程；
(Ⅱ）因为直线的情况不定，需要分类讨论，首先考虑斜率不存在时,必有,此时，在讨论斜率存在时，可设其斜率为、点，由点斜式求出,与椭圆联立,消去，由韦达定理得出，,代入求，化简即可得出也成立，所以无论怎样变化，的面积为常数．
（22)(本小题满分12分）
如题（22）图所示的两个同心圆盘均被刀等分（n∈N＊,n2）,在相重叠的扇形格中依次同时填上1,2，3，…，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格,格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.
（I)求，2个不同位置的“旋转和"的和；
当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形
（II）当，z为偶数时，求聍个不同位置的“旋转和”的最小值；
（III）设刀=4m（m∈N＊），．在如图所示的初始位置将任意而
对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明:当m≤4时，
通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0。

【知识点】等差数列前n项和；推理与证明;反证法
【答案解析】
解:（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故个不同位置的“旋转和”的和为

；
（Ⅱ）设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为
则

所以当时,，当时，，所以时，最小，
最小值
；
（Ⅲ)证明:将图中所有非数改写为,现假设任意位置,总存在一个重叠的扇形格中两数同时为，则此位置的“旋转和"必大于或等于,初始位置外的个位置的“旋转和"的和为
，则有,即,这与矛盾，故命题得证．
【思路点拨】（Ⅰ）由题意：内盘中的任一数都会和外盘中的每个数作积，则个不同位置的“旋转和”的和为,利用等差数列前n项和公式化简即可；
（Ⅱ）设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为，求出和，通过做差法探讨的单调性,进而求出不同位置的“旋转和”的最小值；
（Ⅲ)要证明当m≤4时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0这一命题，直接证明比较困难,故采取反证法,先假设原命题不成立，即总存在一个重叠的扇形格中两数同时为，在这个假设下，通过推导可得出,这与矛盾，故命题得证。