资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（）
A． B． C． D．
4．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥
5．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的箱子中有3张红卡和若干张绿卡，它们除了颜色外其他完全相同，通过多次抽卡试验后发现，抽到绿卡的概率稳定在75%附近，则箱中卡的总张数可能是（ ）
A．1张 B．4张 C．9张 D．12张
7．如图，在⊙O中，弦AB＝6，半径OC⊥AB于P，且P为OC的中点，则AC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
8．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
9．2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是（ ）
书面家庭作业时间（分钟）
70
80
90
100
110
学生人数（人）
4
7
20
7
2
A．众数是90分钟 B．估计全校每天做书面家庭作业的平均时间是89分钟
C．中位数是90分钟 D．估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人
10．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝2，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A．（1，0） B．（1，8） C．（1，﹣1） D．（1，﹣6）
11．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
12．若反比例函数图象上有两个点，设，则不经过第( )象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在双曲线的每个分支上，函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围是________．
14．如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C1 ,它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2 ， 交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3 ， 交x轴于点A2 ． ．．．．．如此进行下去，直至得到C2018 ， 若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为________．
15．已知直线y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则2x₁y₂+x₂y₁的值是_____．
16．若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 .
17．一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为_____．
18．把二次函数变形为的形式，则__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于点P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）若AB＝10，DP＝2，
①求线段CP的长；
②过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，求△ADF的面积．
20．（8分）已知反比例函数，（k为常数，）．
（1）若点在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围．
21．（8分）平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为，，点D是经过点B，C的抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB的周长最小时点E的坐标；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD上移动，若平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标的值或取值范围．
22．（10分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1、2、3、4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀.
（1）从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是 ；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于5的概率（请用画树状图或列表等方法求解）.
23．（10分）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑. 位于太原市城区东南向山脚畔.数学活动小组的同学对其中一塔进行了测量.测量方 法如下：如图所示，间接测得该塔底部点到地面上一点的距离为，塔的顶端 为点，且，在点处竖直放一根标杆，其顶端为，在的延长 线上找一点，使三点在同一直线上，测得．
（1）方法 1，已知标杆，求该塔的高度；
（2）方法 2，测得，已知，求该塔的高度.
24．（10分）如图，，，，．求和的长．
25．（12分）如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是(0,3)、(-4,0)．
(1)将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点O、B对应点分别是E、F,请在图中面出△AEF；
(2)以点O为位似中心，将三角形AEF作位似变换且缩小为原来的在网格内画出一个符合条件的
26．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆．
求证：（1）AC是⊙D的切线；
（2）AB+EB=AC．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.
【详解】如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴，，
设，则，如图，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
2、C
【分析】连接，即，又，故，所以；又因为为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
【详解】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．
3、A
【分析】根据应用题的题目条件建立方程即可.
【详解】解：由题可得：
即：
故答案是：A.
【点睛】
本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.
4、B
【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．
【详解】由题意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t＞．
故选：B．
点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
5、C
【分析】由已知条件2x=3y，根据比例的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵2x=3y，
∴=.
故选C.
【点睛】
本题考查比例的性质，本题考查比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
6、D
【分析】设箱中卡的总张数可能是x张，则绿卡有(x-3)张，根据抽到绿卡的概率稳定在75%附近，利用概率公式列方程求出x的值即可得答案.
【详解】设箱中卡的总张数可能是x张，
∵箱子中有3张红卡和若干张绿卡，
∴绿卡有(x-3)张，
∵抽到绿卡的概率稳定在75%附近，
∴，
解得：x=12，
∴箱中卡的总张数可能是12张，
故选：D.
【点睛】
本题考查等可能情形下概率的计算，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键.
7、A
【分析】根据垂径定理求出AP，根据勾股定理求出OP，求出PC，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接OA，
∵AB＝6，OC⊥AB，OC过O，
∴AP＝BP＝AB＝3，
设⊙O的半径为2R，则PO＝PC＝R，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2＝OP2+AP2，
（2R）2＝R2+32，
解得：R＝，
即OP＝PC＝，
在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2＝AP2+PC2，
AC2＝32+（）2，
解得：AC＝2，
故选：A．
【点睛】
考核知识点：垂径定理.构造直角三角形是关键.
8、C
【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论．
【详解】解：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键．
9、D
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义分别确定后即可得到本题的正确的选项．
【详解】解：A、书面家庭作业时间为90分钟的有20人，最多，故众数为90分钟，正确；
B、共40人，中位数是第20和第21人的平均数，即＝90，正确；
C、平均时间为：×（70×4＋80×7＋90×20＋100×8＋110）＝89，正确；
D、随机调查了40名同学中，每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有8＋1＝9人，故估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人说法错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于统计基础题，比较简单．
10、A
【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
【详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=2，
∴该定弦抛物线过点(0，0)、(2，0)，
∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣2)2﹣2．
将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到新抛物线的解析式为y=(x﹣2+2)2﹣2+3=x2﹣2．
当x=2时，y=x2﹣2=0，
∴得到的新抛物线过点(2，0)．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
11、B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
12、C
【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断．
【详解】解：∵，
∴a-1＞0，
∴图象在三象限，且y随x的增大而减小，
∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，
∴m=（x1-x2）（y1-y2）＜0，
∴y=mx-m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、m＜﹣1
【分析】根据在双曲线的每个分支上，函数值y随自变量x的增大而增大，可以得到m+1＜0，从而可以求得m的取值范围．
【详解】∵在双曲线的每个分支上，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴m+1＜0，
解得，m＜﹣1，
故答案为m＜﹣1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14、-1
【解析】每次变化时，开口方向变化但形状不变，则 ，故开口向上时a=1，开口向下时a=-1；与x轴的交点在变化，可发现规律抛物线Cn与x轴交点的规律是（2n-2，0）和（2n，0），由两点式 求得解析式，把x=4035代入解析式，即可求得m的值.
【详解】由抛物线C1：y=-x(x-2)，
令y=0，∴-x(x-2)=0，解得
∴与x轴的交点为O（0,0），A（2,0）.
抛物线C2的开口向上，且与x轴的交点为∴A（2,0）和A1（4，0），
则抛物线C2：y= （x-2）（x-4）；
抛物线C3的开口向下，且与x轴的交点为∴A1（4，0）和A2（6，0），
则抛物线C3：y= -（x-4）（x-6）；
抛物线C4的开口向上，且与x轴的交点为∴A2（6，0）和A3（8，0），
则抛物线C4：y=（x-6）（x-8）；
同理：
抛物线C2018的开口向上，且与x轴的交点为∴A2016（4034，0）和A2017（4036，0），
则抛物线C2018：y=（x-4034）（x-4036）；
当x=4035时，y= 1×（-1）-1.
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出第2018段抛物线的解析式．
15、1
【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁．由A（x₁，y₂）在双曲线y＝﹣上可得x₁y₁＝﹣5，然后把x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁代入2x₁y₂+x₂y₁的就可解决问题．
【详解】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝﹣都是以原点为中心的中心对称图形，
∴它们的交点A、B关于原点成中心对称，
∴x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁．
∵A（x₁，y₁）在双曲线y＝﹣上，
∴x₁y₁＝﹣5，
∴2x₁y₂+x₂y₁＝2x₁（﹣y₁）+（﹣x₁）y₁＝﹣3x₁y₁＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键．
16、0或－1．
【解析】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：
当k=0时，函数是一次函数，与x轴仅有一个公共点．
当k≠0时，函数是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则有两个相等的实数根，即．
综上所述，若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或－1．
17、或
【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长
【详解】分两种情况：
①若，则， ，
连接，则，
，，
设，则，
中，
，
解得，
；
②若，则，，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，
综上所述，的长为或，
故答案为或．
【点睛】
此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形
18、
【分析】利用配方法将二次函数变成顶点式即可.
【详解】,
∴h=2,k=-9,即h+k=2-9=-7.
故答案为:-7.
【点睛】
本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于将一般式转换为顶点式.
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）①PC＝；②S△ADF＝．
【分析】（1）利用等角对等边证明即可；
（2）①利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；
②作FH⊥AD于H，首先利用相似三角形的性质求出AE，DE，再证明AE=AH，设FH=EF=x,利用勾股定理构建方程解决问题即可.
【详解】（1）证明：∵＝，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）
①解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
②解：作FH⊥AD于H．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝，DE＝，
∵∠FEA＝∠FEH，FE⊥AE，FH⊥AH，
∴FH＝FE，∠AEF＝∠AHF＝90°，
∵AF＝AF，
∴Rt△AFE≌Rt△AFH（HL），
∴AH＝AE＝，DH＝AD﹣AH＝，设FH＝EF＝x，
在Rt△FHD中，则有（﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝，
∴S△ADF＝•AD•FH＝×8×＝．
故答案为①PC＝；②S△ADF＝．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识. 属于圆的综合题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
20、（1）k=9；（2）k<3
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-3=2×3，然后解方程即可；
（2）根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可；
【详解】解：（1）∵点在这个函数的图象上，
，
解得；
（2）∵在函数图象的每一支上，随的增大而增大，
，得．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数的性质．
21、（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）根据题意可得出点B的坐标，将点B、C的坐标分别代入二次函数解析式，求出b、c的值即可．
（2）在对称轴上取一点E，连接EC、EB、EA，要使得EAB的周长最小，即要使EB+EA的值最小，即要使EA+EC的值最小，当点C、E、A三点共线时，EA+EC最小，求出直线AC的解析式，最后求出直线AC与对称轴的交点坐标即可．
（3）求出直线CD以及射线BD的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如图：①当抛物线经过点B时，将点B的坐标代入二次函数解析式，求出m的值，写出m的范围即可；②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x的一元二次方程，要使平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即，列式求出m的值即可．
【详解】（1）矩形OABC，
OC=AB，
A(2，0)，C(0，3)，
OA=2，OC=3，
B(2，3)，
将点B，C的坐标分别代入二次函数解析式，
，
，
抛物线解析式为：．
（2）如图，在对称轴上取一点E，连接EC、EB、EA，当点C、E、A三点共线时，EA+EC最小，即EAB的周长最小，
设直线解析式为：y=kx+b，
将点A、C的坐标代入可得：
，
解得：，
一次函数解析式为：．
=，
D(1，4)，
令x=1，y==．
E(1，)．
（3）设直线CD解析式为：y=kx+b，
C(0，3)，D(1，4)，
,
解得，
直线CD解析式为：y=x+3，
同理求出射线BD的解析式为：y=－x+5(x≤2)，
设平移后的顶点坐标为(m，m+3)，
则抛物线解析式为：y=－(x－m)2+m+3，
①如图，当抛物线经过点B时，
－(2－m)2+m+3=3，
解得m=1或4，
当1<m≤4时， 平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H时，
将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x－m)2+m+3=－x+5，
即x2－(2m+1)x+m2－m+2=0，
要使平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点，
即要使一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
综上所述，或时，平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点．
【点睛】
本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．
22、（1）；（2）
【分析】（1）用标有奇数卡片的张数除以卡片的总张数即得结果；
（2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出2张卡片标有数字之和大于5的结果数，然后利用概率公式计算即可.
【详解】解：（1）标有奇数卡片的是1、3两张，所以恰好抽到标有奇数卡片的概率=.
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于5的结果数有4种，
所以抽取的2张卡片标有数字之和大于5的概率=.
【点睛】
本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，属于常考题型，掌握求解的方法是解题的关键.
23、（1）55m；（2）54.5m
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案；（2）根据锐角三角函数的定义列出，然后代入求值即可.
【详解】解：
则
即
解得：
答：该塔的高度为 55 m.
在中
答：该塔的高度为
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质及解直角三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边的比相等和角的正切值的求法是本题的解题关键.
24、，．
【分析】过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，则可判断四边形AQCD为平行四边形，所以AQ=CD=6，同理可得EM=EM=CD=6，则BQ=AB-AQ=6，再利用平行线分线段成比例定理得到DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，然后根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到MF：BQ=CF：CB=3：12，NH：BQ=CH：CB=7：12，则可计算出MF和NH，从而得到GH和EF的长
【详解】解：过作，交于点，交于点，交于，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，
同理可得．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴，．
∴，．
故答案为，．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
25、（1）图详见解析，E（3，3），F（3，﹣1）；（2）详见解析．
【分析】（1）利用网格的特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，再顺次连接可得到，然后写出E、F的坐标即可；
（2）先连接OE、OF，然后分别取OA、OE、OF的三等分点可得点，再顺次连接可得到．
【详解】（1）利用网格的特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，再顺次连接可得到，如图即为所求，点E、F的坐标为；
（2）先连接OE、OF，然后分别取OA、OE、OF的三等分点可得点，再顺次连接可得到，如图即为所求．
【点睛】
本题考查了图形的旋转、位似中心图形的画法，掌握理解旋转的定义和位似中心的定义是解题关键．
26、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线；
（2）根据HL先证明Rt△BDE≌Rt△DCF，再根据全等三角形对应边相等及切线的性质得出AB=AF，即可得出AB+BE=AC．
【详解】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC，
∴BD=DF，
∴AC为⊙D的切线．
（2）∵AC为⊙D的切线，
∴∠DFC=∠B=90°，
在Rt△BDE和Rt△FCD中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC．
【点睛】
本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；以及及全等三角形的判断与性质，角平分线的性质等．
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