资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数y=a(x+1)2+b(a≠0)有最大值1，则a、b的大小关系为（ ）
A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定
2．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．110°
3．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．任意一个四边形的外角和等于360°
C．早上太阳从西方升起
D．平行四边形是中心对称图形
6．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
7．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，4）
9．一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为4，已知，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比是（ ）
A． B． C． D．
10．对于不为零的两个实数a，b，如果规定a★b，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则一元二次方程的根为______________．
12．在中，，如图①，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间变化的关系图象如图②所示，则的长为__________．
13．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_____．
14．如图，在扇形中，，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为_________.（结果保留）
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为_____．
17．如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:EC=m:n，则AF:FB=
18．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）一个不透明的口袋中装有个分别标有数字，，，的小球，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字为；再在剩下的个小球中随机摸出一个小球，记下数字为，得到点的坐标．
请用“列表”或“画树状图”等方法表示出点所有可能的结果；
求出点在第一象限或第三象限的概率．
20．（6分）如图，是⊙的直径，是⊙的弦，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．（6分）把二次函数表达式化为的形式.
22．（8分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，1．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，2．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．
（2）求点A落在第三象限的概率．
23．（8分）已知在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．
（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过A，C两点；
（2）在（1）中所作的图中，求证：BC是⊙O的切线．
24．（8分）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)．
①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.
已知：在四边形ABCD中，____________．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
25．（10分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点，点，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上一动点，过P作交BC于D，当面积最大时，求点P的坐标；
（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，求点M的坐标.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据二次函数的性质得到a＜0，b=1，然后对各选项进行判断．
【详解】∵二次函数y=a（x-1）2+b（a≠0）有最大值1，
∴a＜0，b=1．
∴a<b，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值
2、C
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠D=100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3、D
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵共6个数，大于3的有3个，
∴P（大于3）=.
故选D．
点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4、A
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可．
【详解】解：∵×1=1，
∴的倒数是1．
故选A．
【点睛】
本题考查了倒数的概念，熟记倒数的概念是解答此题的关键．
5、A
【分析】根据随机事件的概念对每一事件进行分析.
【详解】选项A,只有当两条直线为平行线时,同位角才相等，故不确定为随机事件.
选项B，不可能事件.
选项C，不可能事件
选项D,必然事件.
故选A
【点睛】
本题考查了随机事件的概念.
6、C
【解析】试题分析：设这个小组有人，故选C．
考点：一元二次方程的应用．
7、D
【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是，
∴，
∴，
解得：AC＝，
故AB＝＝＝8（m），
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．
8、C
【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．
【详解】解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（1，），∴AE=，OE=1．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=1OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得，即，
∴O′F=．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求BF=，∴OF=．
∴O′的坐标为（）．
故选C．
【点睛】
本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．
9、A
【分析】分别求出扇形和圆的半径，即可求出比值．
【详解】如图，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∵=，
∴OB＝AB＝3，∴CO=7
由勾股定理得：OD＝=r1；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC＝90°，MB＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝45°，
∵BC＝4，
∴MC＝MB＝=r2
∴扇形和圆形纸板的半径比是：=
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形性质、圆内接四边形性质；解此题的关键是求出扇形和圆的半径，题目比较好，难度适中．
10、C
【分析】先根据所给新定义运算求出分段函数解析式，再根据函数解析式来判断函数图象即可.
【详解】解：∵a★b，
∴
∴当x>2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四象限.
故应选C.
【点睛】
本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、，
【分析】将x＝2，y＝1代入抛物线的解析式可得到c＝−8a，然后将c＝−8a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．
【详解】解：将x＝2，y＝1代入得：2a＋2a＋c＝1．
解得：c＝−8a．
将c＝−8a代入方程得：
∴．
∴a（x−2）（x＋2）＝1．
∴x1＝2，x2＝-2．
【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，求得a与c的关系是解题的关键．
12、
【分析】由图象，推得AD=7，DC+BC=6，经过解直角三角形求得BC、DC及BD．再由勾股定理求AB．
【详解】过点B作BD⊥AC于点D
由图象可知，BM最小时，点M到达D点．
则AD=7
点M从点D到B路程为13-7=6
在△DBC中，∠C=60°
∴CD=2，BC=4
则BD=2
∴AB=
故答案为：
【点睛】
本题是动点问题的函数图象探究题，考查了解直角三角形的相关知识，数形结合时解题关键．
13、
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：标号小于4的有1，2，3三个球，共5个球，
任意摸出1个，摸到标号小于4的概率是．
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
14、
【分析】连结OC，根据等腰三角形的性质可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】解：连接OC，
∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC=CD=4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积
=-×4×4
=4π-1，
故答案为4π-1．
【点睛】
考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
15、
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．
【详解】∵，
∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，
∵，，
∴点M的坐标为：，半径为1，
过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：
此时取得最小值，
∵直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．
16、3﹣
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，F是AB中点，
∴BF＝BG＝1，
∴S1＝S矩形ABCD-S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，
∴S1-S2＝2×--＝3-，
故答案为：3﹣．
【点睛】
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握矩形的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键．
17、
【分析】由折叠得，AF：FB=EF：FB．证明△BEF∽△CDE可得EF：FB=DE：EC，由BE：EC=m：n可求解．
【详解】∵BE=1，EC=2，∴BC=1．
∵BC=AD=DE，∴DE=1．
sin∠EDC=；
∵∠DEF=90°，∴∠BEF+∠CED=90°．
又∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BFE=∠CED．又∠B=∠C，
∴△BEF∽△CDE．
∴EF：FB=DE：EC．
∵BE：EC=m：n，
∴可设BE=mk，EC=nk，则DE=（m+n）k．
∴EF：FB=DE：EC=
∵AF=EF，
∴AF：FB=
18、
【解析】分析：首先确定阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，
故答案为．
点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）通过列表展示即可得到所有可能的结果；
（2）找出在第一象限或第三象限的结果数，然后根据概率公式计即可．
【详解】解：列表如下：
从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相同，其中点在第一象限或第三象限的结果有种，所以其的概率．
【点睛】
考查概率公式计算以及用频率估计概率，比较简单，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，用概率公式计算，比较即可.
20、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）先根据垂径定理得出，然后再利用圆周角定理的推论即可得出；
（2）先根据勾股定理求出AB的长度，然后利用的面积求出CE的长度，最后利用垂径定理可得CD=2CE，则答案可求．
【详解】（1）证明：∵为⊙的直径，，
，
；
（2）解：∵为⊙的直径，
∴，
，
，
又∵
∴．
∵，
即，
解得，
∵为⊙的直径，，
∴．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理，掌握垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键．
21、
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【详解】解：
=x2-4x+4-4+c
=（x-2）2+c-4，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
22、（1）（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2），（1，﹣2），（﹣7，1），（﹣1，1），（1，1），（﹣7，2），（﹣1，2），（1，2）；（2）.
【分析】列表法或树状图法，平面直角坐标系中各象限点的特征，概率．
（1）直接利用表格或树状图列举即可解答．
（2）利用（1）中的表格，根据第三象限点（－，－）的特征求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．
【详解】解：（1）列表如下：
﹣7
﹣1
1
﹣2
（﹣7，﹣2）
（﹣1，﹣2）
（1，﹣2）
1
（﹣7，1）
（﹣1，1）
（1，1）
2
（﹣7，2）
（﹣1，2）
（1，2）
点A（x，y）共9种情况．
（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2）两种情况，
∴点A落在第三象限的概率是．
23、（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)作AC的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
(2)根据题目中给的已知条件结合题(1)所作的图综合应用证明∠OCB＝90°即可解决问题．
【详解】(1)解：如图，⊙O即为所求．
(2)证明：连接OC．
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵MN垂直平分相对AC，
∴OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠OCB＝90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
【点睛】
本题主要考查的是尺规作图的方法以及圆的综合应用，注意在尺规作图的时候需要保留作图痕迹.
24、已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析．
【解析】试题分析：根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明．
其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；
解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；
解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形．
试题解析：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D．
∴四边形ABCD是平行四边形．
解法二：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法三：
已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法四：
已知：在四边形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．
25、 (1)w＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)；(2)当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
【解析】分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
详解：（1）由题意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）.
(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.对称轴为：x=35，又∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，
∴当x＝32时，w最大＝2160.
答：当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
点睛：二次函数的应用.重点在于根据题意列出函数关系式.
26、（1）；（2）当时，S最大，此时；（3）或
【分析】（1）先根据射影定理求出点，设抛物线的解析式为：，将点代入求出，然后化为一般式即可；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设，用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况求解：当时和当时.
【详解】（1）∵，，
∴，.
∵，
∴由射影定理可得：，
∴，∴点，
设抛物线的解析式为：，将点代入上式得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设，
设，
把，代入得
，
∴，
∴，
∴，
同样的方法可求，
故可设，把代入得，
联立解得：，
∴，
，
故当时，S最大，此时；
（3）由题知，，
当时，，
∴点C与点M关于对称轴对称，
∴；
当时，过M作于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，
∵∠，BFM=∠BGF，
∴△MFK∽△FGB，
同理可证：，
∴，，
设，则，
∴，
∴，代入，
解得
，或（舍去），
∴，
故或.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的图像与性质，一次函数图像交点坐标与二元一次方程组解的关系，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，难度较大，属中考压轴题.
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