资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．对于反比例函数y=（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（ ）
A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上
B．当k＞0时，y随x的增大而减小
C．过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为k
D．反比例函数的图象关于直线y=﹣x成轴对称
2．对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象和y轴交点的纵坐标为﹣3
C．x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x=﹣1
3．已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
5．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西方升起
B．打开电视机，正在播放广告
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．任意一个三角形，它的内角和等于180°
6．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．图象开口方向向下； B．图象与y轴的交点坐标是（0，-3）；
C．图象的顶点坐标为（1，-3）； D．抛物线在x＞-1的部分是上升的．
7．方程x2=x的解是（ ）
A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=0
8．如图，在正方形中，为边上的点，连结，将绕点逆时针方向旋转得到，连结，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数 (m是常数)，当时，，则m的取值范围为( )
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
10．二次函数y＝x1+bx﹣t的对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x1+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣4≤t＜5 B．﹣4≤t＜﹣3 C．t≥﹣4 D．﹣3＜t＜5
11．对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像在第一、三象限
B．它的函数值y随x的增大而减小
C．点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．△POA的面积是
D．若点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则＜
12．如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为___．
14．已知点P是正方形ABCD内部一点，且△PAB是正三角形，则∠CPD＝_____度．
15．已知函数（为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为___________.
16．如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中这一结果的实验可能是_______（填序号）．
①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；
③四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机
取出一张，数字是1．
17．有一块长方形的土地，宽为120m，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形，现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开辟成面积为3200m2的公园．若设这块长方形的土地长为xm．那么根据题意列出的方程是_____．（将答案写成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式）
18．已知：，则 的值是_______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
若k为负整数，求此时方程的根．
20．（8分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．
（1）写出点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点M是边AD上一点（与点A，D不重合），射线ME与BC的延长线交于点N．
（1）求证：△MDE≌△NCE；
（2）过点E作EF//CB交BM于点F，当MB＝MN时，求证：AM＝EF．
22．（10分）如图，点A，C，D，B在以O点为圆心，OA长为半径的圆弧上， AC=CD=DB，AB交OC于点E．求证：AE=CD．
23．（10分）如图，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于，两点.
（1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式.
（2）当反比例函数的值大于一次函数的值时，请根据图象直接写出的取值范围.
24．（10分）如图，海上有A、B、C三座小岛，小岛B在岛A的正北方向，距离为121海里，小岛C分别位于岛B的南偏东53°方向，位于岛A的北偏东27°方向，求小岛B和小岛C之间的距离.（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
25．（12分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
26．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．
他们在一次实验中共掷骰子次，试验的结果如下：
朝上的点数
出现的次数
①填空：此次实验中“点朝上”的频率为________；
②小红说：“根据实验，出现点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？
小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；
详解：A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）不在其图象上，故本选项不符合题意；
B．当k＞0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不符合题意；
C．错误，应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为|k|；故本选项不符合题意；
D．正确，本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2、C
【解析】试题分析：A、y＝2(x－1)2－3，
∵a＝2＞0，
∴图象的开口向上，故本选项错误；
B、当x＝0时，y＝2(0－1)2－3＝－1，
即图象和y轴的交点的纵坐标为－1，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减少，故本选项正确；
C、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．
故选：C．
点睛：本题考查了二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，用了数形结合思想．
3、D
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程的二次项系数不为零、根的判别式的值大于零，从而列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的取值范围．
【详解】根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，能够准确得到关于的不等式组是解决问题的关键．
4、C
【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b24ac≥1，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为1．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴k的取值范围是且；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
5、D
【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依次判断即可.
【详解】A、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意；
B、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故不符合题意；
C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
D、任意一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题是对必然事件的考查，熟练掌握必然事件知识是解决本题的关键.
6、D
【解析】二次函数y=2（x+1）2-3的图象开口向上，顶点坐标为（-1，-3），对称轴为直线x=-1；当x=0时，y=-2，所以图像与y轴的交点坐标是（0，-2）；当x＞-1时，y随x的增大而增大，即抛物线在x＞-1的部分是上升的，故选D.
7、C
【解析】试题解析：x2-x=0，
x（x-1）=0，
x=0或x-1=0，
所以x1=0，x2=1．
故选C．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
8、D
【分析】根据旋转的性质可知，然后得出，最后利用即可求解．
【详解】∵绕点逆时针方向旋转得到，
∴，
，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
9、D
【分析】根据二次函数的性质得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】∵二次函数，
∴图像开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0),(m-1,0),
∵当时， ，
∴m-1>0,
∴m>1.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
10、A
【解析】根据抛物线对称轴公式可先求出b的值，一元二次方程x1+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解相当于y＝x1﹣bx与直线y＝t的在﹣1＜x＜3的范围内有交点，即直线y＝t应介于过y＝x1﹣bx在﹣1＜x＜3的范围内的最大值与最小值的直线之间，由此可确定t的取值范围.
【详解】解：∵抛物线的对称轴x＝＝1，
∴b＝﹣4，
则方程x1+bx﹣t＝0，即x1﹣4x﹣t＝0的解相当于y＝x1﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∵方程x1+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝3时，y＝9﹣11＝﹣3，
又∵y＝x1﹣4x＝（x﹣1）1﹣4，
∴当﹣4≤t＜5时，在﹣1＜x＜3的范围内有解．
∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程
的解相当于 与直线y=k的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.
11、B
【分析】根据反比例函数图象与系数的关系解答．
【详解】解：A、反比例函数中的>0，则该函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确．
B、反比例函数中的>0，则该函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项说法错误．
C、点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．，∴△POA的面积=，故本选项正确．
D、∵反比例函数，点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则y1<y2，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；还考查了k的几何意义．
12、C
【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数．
【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图：
∵，
∴
∴
∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心
∴，
∵
∴
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到，设，于是得到AE=-m，，从而得到，，于是求得结果．
【详解】解：过作轴于过作轴于，
，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
．
故答案为1．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.
14、1
【解析】如图，先求出∠DAP＝∠CBP＝30°，由AP＝AD＝BP＝BC，就可以求出∠PDC＝∠PCD＝15°，进而得出∠CPD的度数．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB，∠PAB＝∠PBA＝60°，
∴AP＝AD＝BP＝BC，∠DAP＝∠CBP＝30°．
∴∠BCP＝∠BPC＝∠APD＝∠ADP＝75°，
∴∠PDC＝∠PCD＝15°，
∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣15°﹣15°＝1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用三角形内角和定理是关键．
15、
【分析】根据“随增加而减小”可知，解出k的取值范围，然后根据概率公式求解即可.
【详解】由“随增加而减小”得，
解得，
∴具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，以及概率的计算，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系和概率公式是解题的关键.
16、②
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是 =0.5，故本选项错误；
在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率是 ，故本选项符合题意；
四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1的概率是0.25
故答案为②.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
17、x2﹣361x+32111=1
【分析】根据叙述可以得到：甲是边长是121米的正方形，乙是边长是（x﹣121）米的正方形，丙的长是（x﹣121）米，宽是[121﹣（x﹣121）]米，根据丙地面积为3211m2即可列出方程．
【详解】根据题意，
得（x﹣121）[121﹣（x﹣121）]=3211，
即x2﹣361x+32111=1．
故答案为x2﹣361x+32111=1．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意找到合适的等量关系是解题的关键．
18、
【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
【详解】解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0),
故：，
故答案：.
【点睛】
此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（）；（）时，，．
【解析】试题分析：
（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可；
（2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可.
试题解析：
(1)由题意得Δ＞0，
即9－4(1－k)＞0，
解得k＞.
(2)若k为负整数，则k＝－1，
原方程为x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.
20、（1）点B的坐标为（1，3）；（2）点D的坐标为（，0）；（3）存在，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．
【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标；
（2）根据△ABC∽△ADB，得到=，代入计算求出AD，得到点D的坐标；
（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC＝4，
∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，
∴＝，即＝，
解得，BC＝3，
∴点B的坐标为（1，3）；
（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，
则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∴＝，
解得，AD＝，
则OD＝AD﹣AO＝，
∴点D的坐标为（，0）；
（3）存在，
由题意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，
当PQ⊥AB时，PQ∥BD，
∴△APQ∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得，t＝，
当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得，t＝，
综上所述，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，可证明△MDE≌△NCE（AAS）；
（2）过点M作MG⊥BN于点G，由等腰三角形的性质得出BG＝BN＝BN，由中位线定理得出EF＝BN，则可得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△MDE≌△NCE（AAS）；
（2）证明：过点M作MG⊥BN于点G，
∵BM＝MN，
∴BG＝BN＝BN，
∵矩形ABCD中，∠A＝∠ABG＝90°，
又∵MG⊥BN，
∴∠BGM＝90°，
∴四边形ABGM为矩形，
∴AM＝BG＝，
∵EF//BN，E为DC的中点，
∴F为BM的中点，
∴EF＝BN，
∴AM＝EF．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22、证明见解析
【解析】试题分析：连接OC，OD，根据弦相等，得出它们所对的弧相等，得到=,再得到它们所对的圆心角相等，证明 得到
又因为 即可证明.
试题解析：证明：方法一：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB，=,
∴，
∴，
∵，∴，
，
，
，
，
，
，．
方法二：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB，=,
∴，
∴，
∵，∴，
∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，
∴∠CAO=∠AEC，
在中，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠ACO=∠AEC，，
，.
方法三：连接AD，OC，OD，
∵AC=DB，=,
∴∠ADC=∠DAB，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠DCO，
∵AC=CD，AO=DO，
∴CO⊥AD，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，
∵AC=CD，∴AE=CD．
23、（1），；（2）或
【分析】（1）将点A的坐标代入中求出k的值，即可得出反比例函数的表达式；再将点B的坐标代入反比例函数中求得m的值，得出点B的坐标，用待定系数法便可求出一次函数的解析式.
（2）根据函数图象可直接解答.
【详解】（1）∵在（）的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为.
∵在的图象上，
∴，
∴，
∴.
∵点、在的图象上，
∴
解得
∴一次函数的表达式为.
（2）根据图象即可得出的取值范围：或.
【点睛】
本题考查了一次函数及反比例函数的交点问题，能够正确看图象是解题的关键.
24、小岛B和小岛C之间的距离55海里.
【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（121-x）海里，在Rt△BCD中，根据，求出CD，再根据，求出BD，在Rt△BCD中，根据，求出BC，从而得出答案．
【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，AB=121海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D．
设BD=x海里，则AD=（121-x）海里，
在Rt△BCD中，
则
CD=x•tan53°≈
在Rt△ACD中，则CD=AD•tan27°≈
则
解得，x=1，
即BD=1．
在Rt△BCD中，
则
答：小岛B和小岛C之间的距离约为55海里.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
25、1m
【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=15°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【详解】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=15°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=15°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴，
，
解得：x=1．
经检验：x=1是原方程的解．
答：围墙AB的高度是1m．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．
26、（1）①；②说法是错误的．理由见解析；(2)．
【解析】（1）①让5出现的次数除以总次数即为所求的频率；②根据概率的意义，需要大量实验才行；
（2）列举出所有情况，比较两枚骰子朝上的点数之和的情况数，进而让最多的情况数除以所有情况数的即可．
【详解】解：①；
②说法是错误的．在这次试验中，“点朝上”的频率最大并不能说明“点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．
由表格可以看出，总情况数有种，之和为的情况数最多，为种，
所以（点数之和为）．
【点睛】
考查用列表格的方法解决概率问题及概率的意义;用到的知识点为:概率是大量实验下一个稳定的值;数学中概率等于所求情况数与总情况数之比.
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