2023届上海市周浦中学数学高一上期末联考试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知，则（）
A. B.
C. D.3
2．已知，则下列说法正确的是（）
A.有最大值0 B.有最小值为0
C.有最大值为－4 D.有最小值为－4
3．若是三角形的一个内角，且，则的值是（ ）
A. B.
C.或 D.不存在
4．已知函数，若f（a）=10，则a的值是（　　）
A.-3或5 B.3或-3
C.-3 D.3或-3或5
5．已知为锐角，且，，则
A. B.
C. D.
6．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ）
A.（－1，1） B.
C. D.（2，4）
7．下列命题中，其中不正确个数是
①已知幂函数的图象经过点，则
②函数在区间上有零点，则实数的取值范围是
③已知平面平面，平面平面，，则平面
④过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若有，则点是的内心
A.1 B.2
C.3 D.4
8．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）

A.②①③④ B.②③①④
C.④①③② D.④③①②
9．设函数则　　
A.1 B.4
C.5 D.9
10．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A. B.±
C.0或1 D.
11．若定义域为R的函数满足，且，，有，则的解集为（　　）
A. B.
C. D.
12．已知函数在上单调递减，则实数 a的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．如图所示，中，，边AC上的高，则其水平放置的直观图的面积为______

14．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15．如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是_____

①∥平面；
②平面⊥平面；
③三棱锥的体积为定值；
④存在某个位置使得异面直线与成角°
16．茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲，乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是______

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
18．已知全集，，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求
19．已知函数.
（1）若是定义在R上的偶函数，求a的值及的值域；
（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.
20．函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（1）求A，ω，φ的值；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递增区间；
（3）若α∈[0，π]，且f（α）=，求α的值

21．函数（其中）的图像如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
22．已知函数，
（1）求的解集；
（2）当时，若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
2、B
【解析】由均值不等式可得，分析即得解
【详解】由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
3、B
【解析】
由诱导公式化为 ， 平方求出，结合已知进一步判断角范围，判断符号，求出 ，然后开方，进而求出的值，与联立，求出，即可求解.
【详解】，
平方得，，
是三角形的一个内角，，
，
，
.
故选:B
【点睛】本题考查诱导公式化简，考查同角间的三角函数关系求值，要注意，
三者关系，知一求三，属于中档题.
4、A
【解析】根据分段函数的解析式，分两种情况讨论分别求得或.
【详解】若,则舍去）,
若，则,
综上可得，或,故选A .
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求自变量，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
5、B
【解析】∵为锐角，且
∴
∵，即
∴，即
∴∴
故选B
6、C
【解析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.
【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且
函数的草图如图，或，
由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为
故选：C

7、B
【解析】①

②因为函数在区间上有零点，所以 或,即
③平面平面，平面平面，，在平面内取一点P作PA垂直于平面与平面的交线, 作PB垂直于平面,则所以平面
④因为,且,所以,即是的外心
所以正确命题为①③,选B
8、D
【解析】根据指数函数、幂函数的性质进行选择即可.
【详解】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；
②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；
③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；
④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，
故选：D
9、C
【解析】根据题意，由函数的解析式求出与的值，相加即可得答案
【详解】根据题意，函数，
则，
又由，
则，
则；
故选C
【点睛】本题考查对数的运算，及函数求值问题，其中解答中熟记对数的运算，以及合理利用分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题
10、A
【解析】根据函数值为2，分类讨论即可.
【详解】若f(x)＝2，
①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
综上，x＝.
故选：A.
11、A
【解析】根据已知条件易得关于直线x＝2对称且在上递减，再应用单调性、对称性求解不等式即可.
【详解】由题设知：关于直线x＝2对称且在上单调递减
由，得：，
所以，解得
故选：A
12、C
【解析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可
【详解】若函数在上单调递减，则，解得.
故选C.
【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、.
【解析】直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.
【详解】的面积为，
由平面图形的面积与直观图的面积间的关系.
故答案为:.
14、C
【解析】先求得函数的零点为，进而可得的零点满足，由二次函数的图象与性质即可得解.
【详解】由题意，函数单调递增，且，
所以函数的零点为，
设的零点为，
则，则，
由于必过点，
故要使其零点在区间上，则或，
即或，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.
15、①②③④
【解析】在①中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，从而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，从而三棱锥E﹣ABF的体积为定值；在④中，令上底面中心为O，得到存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°
【详解】由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，知：
在①中，由EF∥BD，且EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；
在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，
而BE⊂面BDD1B1，BF⊂面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF，
∵AC⊂平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正确；
在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，
三棱锥A﹣BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E﹣ABF的体积为定值，故③正确；
在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，
则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝300，
故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确
故答案为①②③④

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题
16、
【解析】分别计算出甲，乙的平均分，从而可比较a，b的大小关系.
【详解】易知甲的平均分为，
乙的平均分为，所以.
故答案为：.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）.
（2）
【解析】（1）利用二倍角公式和诱导公式直接求解；
（2）判断出，根据，求出的值.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
.
因为，所以，所以，所以，
所以，
所以
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】两集合A,B的交集为两集合的相同的元素构成的集合，并集为两集合所有的元素构成的集合，补集为全集中除去集合中的元素，剩余的元素构成的集合
试题解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）

考点：集合的交并补运算
19、（1），；（2）
【解析】（1）根据偶函数的定义，求出，得，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；
（2），由条件可得，在上是减函数，且在上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数的不等式，即可求解.
【详解】解：（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以，故，
此时，，定义域为R，符合题意.
令，则，
所以，故的值域为.
（2）设.
因为在上是减函数，
所以在上是减函数，
且在上恒成立，
故
解得，即.
【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.
20、（1）；（2），递增区间为；（3）或.
【解析】（1）利用函数图像可直接得出周期T和A，再利用，求出，
然后利用待定系数法直接得出的值
（2）通过第一问求得的值可得到的函数解析式，令，再根据a的位置确定出a的值；令得到的函数值即为b的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间
（3）令结合即可求得的取值
【详解】解：（1）由图象知A=2，=-（-）=，
得T=π，
即=2，得ω=1，
又f（-）=2sin[2×（-）+φ]=-2，
得sin（-+φ）=-1，
即-+φ=-+2kπ，
即ω=+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴当k=0时，φ=，
即A=2，ω=1，φ=；
（2）a=--=--=-，
b=f（0）=2sin=2×=1，
∵f（x）=2sin（2x+），
∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数f（x）的递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（3）∵f（α）=2sin（2α+）=，
即sin（2α+）=，
∵α∈[0，π]，
∴2α+∈[，]，
∴2α+=或，
∴α=或α=
【点睛】关于三角函数图像需记住：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期
关于正弦函数单调区间要掌握：
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减
21、 (Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为1，最小值为0.
【解析】(Ⅰ) 由图象可得，从而得可得 ，再根据函数图象过点，可求得，故可得函数的解析式．(Ⅱ)根据的范围得到的范围，得到的范围后可得的范围，由此可得函数的最值
试题解析：
（Ⅰ）由图像可知，，
∴，
∴.
∴
又点在函数的图象上，
∴，，
∴，，
又，
∴
∴的解析式是
（Ⅱ）∵,
∴
∴，
∴，
∴当时，函数取得最大值为1；
当时，函数取得最小值为0
点睛：根据图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)的方法
(1)根据函数图象的最高点或最低点可求得A；
(2)ω由周期T确定，即先由图象得到函数的周期，再求出T
(3)φ的求法通常有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时，A，ω，B已知)求解即可，此时要注意交点在上升区间还是下降区间
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝
22、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1），然后对和的大小关系进行讨论，利用一元二次不等式的解法即可得答案；
（2）令，则，解得或.当时，有一解；由题意，当时，必有两解，数形结合即可求解.
【小问1详解】
解：，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为
【小问2详解】
解：当时，
令，则，解得或，
当时，，得，
所以当时，要使方程有三个不同的实数解，
则必须有有两个解，即与的图象有2个不同的交点，

由图可知，解得，
所以实数k的取值范围为.