资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P(﹣2，7)关于原点的对称点P'在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
4．计算（的结果为（ ）
A．8﹣4 B．﹣8﹣4 C．﹣8+4 D．8+4
5．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
6．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=55°，则∠ADC的度数是（ ）
A．25° B．55° C．45° D．27.5°
7．如图，在△ABC中，E,G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若，则( )
A． B． C． D．
8．在一个不透明的布袋中有红色、黑色的球共10个，它们除颜色外其余完全相同．小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，则口袋中黑球的个数很可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
9．已知M（a，b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3，4三个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4，5五个数中任取的一个数．定义“点M（a，b）在直线x+y=n上”为事件Qn（2≤n≤9，n为整数），则当Qn的概率最大时，n的所有可能的值为（ ）
A．5 B．4或5 C．5或6 D．6或7
10．为了迎接春节，某厂10月份生产春联万幅，计划在12月份生产春联万幅，设11、12月份平均每月增长率为根据题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、2、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是( )
A． B．
C． D．
12．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：|﹣3|﹣sin30°＝_____．
14．一元二次方程的一个根为，另一个根为_____.
15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
16．抛物线的开口方向是_____．
17．如图，的顶点均在上，，则的半径为_________．
18．已知是关于的方程的一个根，则___________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，为直线下方抛物线上一点，连接，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）为轴右侧抛物线上一点，为对称轴上一点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
20．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA．
21．（8分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD＝ cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄的夹角∠ABC＝30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）
22．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且利润率不得高于.经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/千克）
45
50
55
销售量（千克）
110
100
90
（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的范围；
（2）设每天销售该商品的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润=收入-成本），并求出售价为多少元时每天销售该商品所获得最大利润，最大利润是多少？
23．（10分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
24．（10分）某水果经销商到水果种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价（元/千克）与采购量（千克）之间的函数关系图象如图中折线所示（不包括端点）.
（1）当时，写出与之间的函数关系式；
（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，水果种植基地获利最大，最大利润是多少元？
25．（12分） “早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场查发现，当“早黑宝”的售价为20元千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”天获利1750元，则售价应降低多少元？
26．矩形中，线段绕矩形外一点顺时针旋转，旋转角为，使点的对应点落在射线上，点的对应点在的延长线上．
（1）如图1，连接、、、，则与的大小关系为______________．
（2）如图2，当点位于线段上时，求证：；
（3）如图3，当点位于线段的延长线上时，，，求四边形的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】
考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
2、D
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点对称的点的坐标是，即关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，这样就可以确定其对称点所在的象限．
【详解】∵点关于原点的对称点的坐标是，∴点关于原点的对称点在第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．
3、C
【分析】直接根据题意得出AB=AC，进而得出∠A=50°，再利用圆周角定理得出∠BOC=100°．
【详解】解：由题意可得：AB=AC，
∵∠ABC=65°，
∴∠ACB=65°，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系．
4、B
【分析】先按照平方差公式与完全平方公式计算，同时按照二次根式的除法计算，再合并即可得到答案．
【详解】解：
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法与二次根式的除法运算是解本题的关键．
5、B
【解析】根据一次函数的定义，可得答案．
【详解】设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得
x+2y=180，
所以，y=﹣x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】
本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.
6、D
【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【详解】∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，
∴弧AC＝弧AB （垂径定理），
∴∠ADC＝∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
又∠AOB＝55°，
∴∠ADC＝27.5°．
故选：D．
【点睛】
本题考查垂径定理、圆周角定理．关键是将证明弧相等的问题转化为证明所对的圆心角相等．
7、C
【分析】根据两组对应角相等可判断△AEG∽△ACB，△AEF∽△ACD,再得出线段间的比例关系进行计算即可得出结果.
【详解】解：（1）∵∠AEG=∠C，∠EAG=∠BAC，
∴△AEG∽△ACB.
∴.
∵∠EAF=∠CAD，∠AEF=∠C，
∴△AEF∽△ACD．
∴
又，∴.
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答本题，要找到两组对应角相等，再利用相似的性质求线段的比值.
8、C
【分析】根据题意得出摸出黑球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．
【详解】∵小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，
∴口袋中黑球的个数可能是10×60%＝6个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9、C
【解析】试题分析：列树状图为：
∵a是从l，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4，5五个数中任取的一个数．
又∵点M（a，b）在直线x+y=n上，2≤n≤9，n为整数，
∴n=5或6的概率是，n=4的概率是，
∴当Qn的概率最大时是n=5或6的概率是最大．
故选C．
考点：1、列表法与树状图法；2、一次函数图象上点的坐标特征
10、C
【分析】根据“当月的生产量上月的生产量（1增长率）”即可得．
【详解】由题意得：11月份的生产量为万幅
12月份的生产量为万幅
则
故选：C．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，读懂题意，正确求出12月份的生产量是解题关键．
11、D
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为10，
所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
故选D．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
12、B
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO═2：3，进而得出答案．
【详解】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，
∴＝，AC∥DF，
∴＝＝，
∴＝．
故选：B．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】原式＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查绝对值的性质及特殊角的三角函数值，掌握绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键.
14、
【分析】利用因式分解法解得方程的两个根，即可得出另一个根的值.
【详解】，变形为：，
∴或，
解得：；，
∴一元二次方程的另一个根为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法.
15、
【解析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，
，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
16、向上
【分析】根据二次项系数的符号即可确定答案．
【详解】其二次项系数为2，且二次项系数：2>0，
所以开口方向向上，
故答案为：向上．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的开口方向与a的值有关是解题的关键．
17、1
【分析】连接AO,BO，根据圆周角的性质得到,利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】连接AO,BO，
∵
∴
又AO=BO
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1
即的半径为1
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查圆的半径，解题的关键是熟知圆周角的性质．
18、2024
【分析】把代入方程得出的值，再整体代入中即可求解.
【详解】把代入方程
得：，即
∴
故填：2024.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，运用整体代入法是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）最大值为，点的坐标为；（3）点的坐标为，．
【分析】（1）先设顶点式，再代入顶点坐标得出，最后代入计算出二次项系数即得；
（2）点的坐标为，先求出B、C两点，再用含m的式子表示出的面积，进而得出面积与m的二次函数关系，最后根据二次函数性质即得最值；
（3）分成Q点在对称轴的左侧和右侧两种情况，再分别根据和列出方程求解即得．
【详解】（1）设抛物线的解析式为．
∵顶点坐标为
∴．
∵将点代入，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）如图1，过点作轴，垂足为，交于点．
∵将代入，解得，
∴点的坐标为．
∵将代入，解得
∴点C的坐标为
设直线的解析式为
∵点的坐标为，点的坐标为
∴，解得
∴直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为
∴
过点作于点
∵
∴
故当时，的面积有最大值，最大值为
此时点的坐标为
（3）点的坐标为，．
分两种情况进行分析：①如图2，过点作轴的平行线，分别交轴、对称轴于点，
设点的坐标为
∵
∴
∴在和中
∴
∴
∵，
∴
解得（舍去），
∴点的坐标为．
②如图3，过点，作轴的平行线，过点作轴的平行线，分别交，于点，．
设点的坐标
∵由①知
∴
∵，
∴
解得，（舍去)
∴点的坐标为
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数最值的应用、解一元二次方程、全等三角形的判定及性质，解题关键是熟知二次函数在实数范围的最值在顶点取到，一线三垂直的全等模型，二次函数顶点式：．
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
【详解】证明：（1）∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握判定性质是解题关键
21、（1）DE=2cm；（2）这个过程中，点E滑动的距离（18-6）cm．
【解析】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．求出DH，BH即可解决问题．
（2）解直角三角形求出BE即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．
在Rt△BDH中，∵∠DHB=90°，BD=4cm，∠ABC=30°，
∴DH=BD=2（cm），BH=DH=6（cm），
∵AB=CB=20cm，AE=2cm，
∴EH=20-2-6=12（cm），
∴DE===2（cm）．
（2）在Rt△BDE中，∵DE=2，BD=4，∠DBE=90°，
∴BE==6（cm），
∴这个过程中，点E滑动的距离（18-6）cm．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识．
22、（1）；（2）售价为60元时每天销售该商品所获得最大利润，最大利润是1600.
【解析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
【详解】（1）设y=kx+b，将（50，100）、（55，90）代入，得：
解得： ，
∴y=-2x+200 （40≤x≤60）；
（2）
＝
＝
∵开口向下
∴当时，随的增大而增大，
当时，最大，
答：售价为60元时每天销售该商品所获得最大利润，最大利润是1600.
【点睛】
考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
23、（1）不可能事件；（2）.
【详解】试题分析：（1）根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（2）根据题意画出树状图，再由概率公式求解即可．
试题解析：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
（2）树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为．
考点：列表法与树状图法．
24、（1）；（2）一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元.
【分析】（1）根据函数图象中的点B和点C可以求得当500<x≤1000时，y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可以分为两种讨论，然后进行对比即可解答本题；
【详解】解：
（1）设当时，与之间的函数关系式为：，
，解得.
故与之间的函数关系式为：；
（2）当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，则当时，有最大值11000元，
当时，，
，
故当时，有最大值为12800元，
综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用是解题的关键.
25、（1）40%（2）3元
【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得
100（1＋x）2＝196
解得x1＝0.4＝40%，x2＝−2.4（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200＋50y）千克
根据题意，得（20−12−y）（200＋50y）＝1750
整理得，y2−4y＋3＝0，
解得y1＝1，y2＝3
∵要减少库存
∴y1＝1不合题意，舍去，
∴y＝3
答：售价应降低3元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键．
26、（1）相等；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由旋转得：旋转角相等，可得结论；
（2）证明△AOB≌△EOF（SAS），得∠OAB=∠OEF，根据平角的定义可得结论；
（3）如解图，根据等腰三角形的性质得：∠OFB=∠OBF=30°，∠OAE=∠AEO=30°，根据30度角的直角三角形的性质分别求得OB、OG、BF，勾股定理求得BE的长，再根据三角形面积公式即可求得结论．
【详解】（1）由旋转得：∠AOE=∠BOF=，
故答案为：相等；
（2）∵，
∴，
在△AOB和△EOF中
，
∴△AOB≌△EOF（SAS），
∴，
∵OA=OE，
∴，
∴
；
（3）如图，过点O作 ，垂足为G，
根据旋转的性质知：∠BOF=120°，∠AOB=∠EOF，OB=OF，
△BOF中，∠OFB=∠OBF=30°，
∴∠ABO=60°，
△AOE中，∠AOE=120°，OA=OE，
∴∠OAE=∠AEO=30°，
∴∠AOB=90°，
在△AOB和△EOF中
，
∴△AOB≌△EOF（SAS），
∴，
在中，∠AOB=90°，，∠OAB=30°，
∴，
在中，∠OGB=90°，，∠OBG=30°，
∴，，
∴，
在中，∠EBF=90°，，，
∴，
∴
．
【点睛】
本题是四边形的综合题，题目考查了几何图形的旋转变换，四边形的面积，直角三角形30度角的性质等知识，解决此类问题的关键分析图形的旋转情况，在旋转过程中，旋转角相等，对应线段相等．
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