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理科数学答案
一、选择题：ABDAC BADBC CC
二、填空题：13.y=x+1 14. （文） 15. 16.
三、解答题：
17.解：（1）当n=1时，…………………………1分
当时，…………………4分
经检验n=1时符合上式，所以…………………………5分
（2）由（1）知………………………7分
所以……………………8分
（文）解析:（1）由，得
…3分
所以函数的最小正周期为…………………………5分
（2）由（1）可知，………………………6分
即解得.………………………7分
由余弦定理得,即，
解得 当且仅当时等号成立……………………10分
所以…………………………12分
18.解析：（1）取线段PC中点N，则N即为所求. ……………………1分
设线段PD中点H连接MN,NH，AH.
在中，HN//DC,,因为ABCD为菱形，M为中点，所以AM//DC,,
所以HN//AM,HN=AM…………………………3分
所以四边形AMNH为平行四边形，所以MN//AH.
因为,
所以MN//面PAD.
即N点为线段PC中点时满足MN//面PAD…………………………5分
(2)在菱形ABCD中，取AD中点O,连接BO,因为 则
连接PO，因为PA=PD，则,所以是二面角AD-B的平面角………7分
如图所示建立空间直角坐标系o-xyz
则A(2，0，0),B(0，,0),P(0，,1),C(-4，,0). ………………9分
设面PBC法向量则 令…………………………11分
所以,所求的正弦值为…………………………12分
（文）解析：(1)如图所示取线段PD中点H，连接NH，AH.
在中，HN//DC,, 因为ABCD为菱形，M为中点，所以AM//DC,,
所以HN//AM,HN=AM…………………………3分
所以四边形AMNH为平行四边形，所以MN//AH.
因为,
所以MN//平面PAD. ………………………6分
（2） 因为，AD=4，所以,取AD中点O,连接PO，则,因为面PAD面ABCD,所以,
则PO=2，BD=4，…………………………9分
在中PB=4，所以
设A到面PBD的距离为h
由,得，解得
所以点A到平面PBD的距离是…………………………12分
19.解析：（1）易知抛物线y2＝4x的焦点为（1,0），所以椭圆C的半焦距c=1………2分
又因为其离心率为，所以=2 故b=,…………………………4分
所以C的方程为…………………………5分
(2)法1：由题可知，直线斜率存在且不为0，设方程为y=kx+n
则有
整理得：。
即只需…………………………………………7分
设M，N。
则，
所以P…………………………9分
所以.…………………………12分
法2：设M，N
则…………8分
因为线段MN中点为P，所以………………10分
所以
即……………………………………………………12分
20.解析：(1)甲、乙两个小组的频率分布直方图如下：
重量（克）515 510 505 500 495 490
甲小组频率分布直方图 乙小组频率分布直方图
……………………………………………………………………………4分
(2) 易知甲小组的理想数据数为8＋14＋8＝30，
故甲小组中理想数据的频率为＝0.75…………………………5分
由题意知，服从二项分布（5，），所以
0
1
2
3
4
5
P
故E=
或E=0×+1×+……+5×=…………………………8分
（文）易知甲小组的理想数据数为8＋14＋8＝30，
故甲小组中理想数据的频率为＝0.75，
乙小组的理想数据数为12+18+6=36，…………………………6分
故乙小组中理想数据的频率为＝0.9，
据此可估计从甲小组任取1个数据，该数据恰好是理想数据的概率为0.75；
从乙小组任取1个数据，该数据恰好是理想数据的概率为0.9. ……………8分
(3)甲小组的理想数据数为30，乙小组的理想数据数为36.
2×2列联表如下：
甲小组
乙小组
合计
理想数据
30
36
66
不理想数据
10
4
14
合计
40
40
80
∵K2＝＝≈3.117>2.706，
∴有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关．
…………………………………………………………………………12分
21. 解析：（1）由=0且得：
零点（当且仅当a=1时取等号），
故结论成立…………………………………………………3分
（2）
所以，由0得，…………………………5分
（i）当，即a=1时, ，g(x)在上单增
所以
………………………7分
（ii）当，即时，当时，，g(x)单增。
时，，g(x)单减
所以，当时， ………………8分
即证成立
令，
，所以在单增，……………10分
，
所以在单减，
所以，即时，……………12分
（文） 解析：（1）,()…………………………1分
①若，则，则在单增；…………………3分
②若，令，得，
所以时，，单增；
时，，单减。………………………5分
（2）因为，由（1）可知
当时，
时，，，………………………6分
时，，
所以时，有………………………………………………7分
当时，
①当时，且
所以，易知不成立。…………………………8分
②当，即时，在（0,1）上有，
易知不成立。……………………………………………9分
③当时，在时，因为，
所以，易知不成立。
综上所述，恒成立时，…………………………12分
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解析：（1）由题可知C： …………………………2分
直线的直角坐标方程为…………………………4分
（2）将方程代入C方程整理得，设该方程的解为
则 …………………………6分…………………………………………7分
…………………………10分
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解析：（1）当a=2时，，……………………2分
当x<-2时，由得x<-2; …………………………3分
当时，由得……………4分
当x>1时，由，无解；
所以不等式的解集为…………………5分
（2） 因为……6分
当时，等号成立…………………………7分
当时，
记不等式的解集为A,则
①若，显然成立…………………………………9分
②若
所以a的取值范围是…………………………10分
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