2020届四川省遂宁市高三上学期零诊考试数学理.doc

遂宁市高中2020届零诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合，，
则
A． B．
C． D．
2．若复数满足（是虚数单位），则为
A． B．
C． D．
3．已知为第二象限角，，则
A. B.
C. D.
4．在等差数列中，，，是其前项和，则
A． B．
C． D．
5．函数的图象大致为

A B

C D
6．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家。他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。如图，是源于其思想的一个程序框图。若输入的，分别为，，则输出的
A．2 B．3
C．4 D．5
7． 已知等比数列中，公比为，，且，，成等差数列，又，数列的前项和为，则
A． B．
C． D．
8． 设函数，若函数的图象在
处的切线与直线平行，则的最小值为
A． B．
C． D．
9．如图所示，函数的图象过点，若将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则

A． B．
C．或 D．
10．若函数是定义在上的奇函数，则满足的实数的取值范围是
A． B．
C． D．
11．如图，在中，，
，若，
则的值为
A． B．
C． D．
12．定义在上的函数满足（为函数的导函数），，则关于的不等式 的解集为
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知，是互相垂直的单位向量，向量, ，则 ▲ ．
14．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 ▲ ．
15．已知外接圆的半径为，内角，，对应的边分别为，，，若，，则的值为 ▲ ．
16．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”。设且为其定义域上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的值
（2）①求函数的定义域；
②若，且，求实数的取值范围．

▲

18．（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，且，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，数列是等差数列，且，；数列的前项和为，求．

▲

19．（本小题满分12分）
设函数，且，，。
（1）求函数的极大值和极小值；
（2）若函数，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

▲

20．（本小题满分12分）
已知向量，向量
，，函数，直线是函数图象的一条对称轴。
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，，又已知（），锐角满足，求的值.

▲

21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，。且不等式恒成立，求实数的取值范围.

▲

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）求：①曲线的普通方程；②曲线与直线交点的直角坐标；
（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.

▲

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式：
（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．

▲

遂宁市高中2020届零诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
A
C
A
D
A
A
C
D
二、填空题
13. 0 14. 15. 16.
三、简答题
17. （1）因为，所以，
即的值为 ………………………………………………4分
（2）①由题意有，所以 …………8分
②由①可有，即的取值范围是…………12分
18. （1）等比数列中有，则，所以或；……………2分
因为，所以，所以
当时，，此时；……4分当时，，此时。………6分
（2）因为数列为递增数列，所以，数列是等差数列，
且，，公差为，则有，所以，
所以，即，…………………8分
所以
所以

上两式相减得…………………………10分

即 …………………………………………………………12分
19. （1）因为，，所以 ，………2分
故，则，………………………….3分
由或；由，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为；
，。…………………………6分
（2）过点向曲线作切线，设切点为，则由（1）知，故，，则切线方程为，
把点代入整理得，…………………………8分
因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数根。

极大

极小

设;令或.则的变化情况如下表
当有极大值有极小值. …………………10分
由的简图知，当且仅当即，
函数 有三个不同零点，过点可作三条不同切线。所以若过点可作曲线的三条不同切线，则的取值范围是. …………………………………………………12分
20. (1) ……………2分
∵直线是函数图象的一条对称轴，∴，，
∴，，∵ ，∴ ， ∴. ……………4分
由，得，
∴单调递增区间为， ……………6分
(2) 由（），得，，所以，， ……………8分
又，所以，即，因为为锐角，所以，所以，即， ……………9分
又，所以由正弦定理得. ① ……………10分
由余弦定理，得，即. ②
由①②解得，所以。 ……………12分
21. （1）因为，所以，………1分
则①当时，是常数函数，不具备单调性；
②当时，由；由。
故此时在单调递增，在单调递减
③当时，由；由。
故此时在单调递减，在单调递增。………………………4分
（2）因为
所以， …………………………………………5分
由题意有两个不同的正根，即有两个不同的正根，
则，……………………………………………7分
不等式恒成立等价于
恒成立
又

所以， …………………………………10分
令（），则，
所以在上单调递减， ……………………………11分
所以，所以 ……………………………………12分
22. （1）①因为，又，所以，
即曲线的普通方程为； …………………2分
②由得曲线的直角坐标方程为，又直线的直角坐标方程为，所以或，所以曲线与直线的交点的直角坐标为和…………………5分
（2）设，又由曲线的普通方程为得其极坐标方程.
∴的面积
…………………8分
所以当时，。 …………………10分
23. (1)由得，即或或。
解得或或，即，
所以原不等式的解集为…………………………………5分
（2）因为函数在单调递增，所以，
因为 ，在处取得最大值，……8分
要使函数与函数的图象恒有公共点，则须，即，故实数的取值范围是 …………10分

高三数学（理科）零诊试题第16页（共16页）