函数常考题型(有标准答案).doc

函数常考题型
（一）函数定义部分
1． 设集合A和集合B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素（x,y）映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下，象（2，1）的原象是（ B ）
A (3,1) B C D （1，3）
2． 下列各组函数中表示同一函数的是（ D ）
A B
C D
3． 已知函数，求的解析式。
4． 已知，则（ C ）
A 0 B 4 C e D
5． 若是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有，则（2009）。
6． （2006安徽）函数f(x)对任意实数x,满足条件 _______________.
（二）、函数定义域
考点归纳：
1、求函数定义域的主要依据是（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指、对数函数的底数必须大于零且不等于1；（4）式子。（5）三角函数的正切。
2、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。
3、对于复合函数的定义域问题应注意以下几点：
（1），指的是x的取值范围为[a,b],而不是g(x)的范围为[a,b].
（2）已知函数f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域，只需由解不等式，求出x.
(3) 已知函数f[g(x)]的定义域，求函数f (x)的定义域，只需求函数g(x)的值域。
4、如果是实际问题，函数的定义域还应考虑使实际问题有意义。
思路与方法：求函数的定义域往往归结为解不等式（组）的 问题，解不等式组取交集时可借助数轴，注意端点值或边界值。
例题：求下列函数的定义域
（1），（2），（3）
补充作业：
1. 已知函数f(x)的定义域为(0,1),求的定义域。
2. 已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求的定义域。
3. 已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求的定义域。
4. 已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围
5. 已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（ B ）
A B C D
（三）、函数解析式的求法。
1 配凑法（直接法、定义法）: 由已知条件，可将F(x)改写成g(x)的表达式，然后以x代替g(x),便得f(x)的表达式。
例1 已知
2 换元法: 已知，求f(x)的问题，可以设 t=g(x),从中解出x,代入g(x)进行换元，最后把t换成x.
例2 已知
答案：
3 待定系数法：适合于已知函数类型求解析式的问题，可设定函数的解析式，根据条件列出方程（组）求出待定系数得解析式。
例3 已知f(x)是一次函数，且满足。
答案：f(x)=2x+17
练习：已知f(x)是一次函数，且满足
答案：f(x)=x+1
4 函数方程法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x),,可根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求f(x).
例：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+1,求f(x)。
答案：
练习
1. 已知,则f(x)的解析式是（ C ）
A B C D
2． 已知，则f(2)等于（ D ）
A B C D
3． 若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a等于（ D ）
A B C D
4． 函数f(x)满足，且成等差数列，则x的值是（ C ）
A 2 B 3 C 2或3 D 2或-3
5． 已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1,
(1)若，试求f(x)的解析式;
(2) 若 且求实数a的取值范围。
（四） 函数的值域与最值
知识要点：
1．函数的值域是指函数y=f(x)的函数值的集合。有下列几种情形：
(1) 当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；
(2) 当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
(3) 当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
(4) 当函数由实际问题给出时，函数的值域还要考虑问题的实际意义。
2． 请熟悉下列几种常见函数的值域：
(1)一次函数y=kx+b,的值域是________________________
(2) 二次函数，当a>0时的值域是__________________________
当a<0时的值域是__________________________
(3) 反比例函数的值域是______________________________
(4) 指数函数的值域是__________________________
(5) 对数函数的值域是__________________________
(6) 正、余弦函数的值域为_____________;正、余切函数的值域为_____________;
(7) “和倒函数”的值域为_____________;若可转化为。
2. 求函数值域的基本方法
(1) 观察法：例1求函数的值域。
(2) 分离常数法（也叫部分分式法）
例2 求函数的值域。
(3) 利用均值不等式求值域。（注意条件“一正二定三相等”要同时满足
(4) 换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数（如二次函数），从而求得原函数的值域。形如的函数常用此法。（注意换元后，新元的取值范围）。
(5) 配方法：适用于求二次函数或转化为形如的函数的值域，后者要注意f(x)本身的范围。
(6) 利用函数的单调性求值域
(7) 数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象求值域
(8) 利用函数的有界性：如可用y表示出sinx,再根据解不等式求y.
如求函数的值域，由得，而求解。
(10) 导数法：利用导数求闭区间上函数最值的步骤是：（1）求导，令导数为0；（2）确定极值点，求极值；（3）比较端点函数值与极值，确定最大、最小值或值域。
例 求下列函数的值域（备选）：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）
课后作业
完成课本P15页习题及以下补充练习
1 函数的值域为（ B ）
A B C D
2 已知函数
（1）若函数的值域为，求a的值。
（2）若函数的值域为非负数，求函数的值域。
（答案：
3、设的最小值是（ C ）
A B C -3 D
函数的奇偶性和周期性
一、知识回顾：
1、函数的奇偶性：
（1）对于函数，其定义域关于原点对称：
如果对于定义域中的任意都有_______________________，那么函数为奇函数；
如果对于定义域中的任意都有________________________，那么函数为偶函数.
（2）对于定义的理解：
①定义中的都在的定义域中，函数定义域关于原点对称是该函数具有奇偶性的必要条件。研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称（定义域优先）。
②若函数在x=0有定义，且为奇函数，则一定有成立
③若函数是偶函数，那么。
④既是奇函数、又是偶函数的函数：
（3）图象特征：
函数f(x)是奇函数图象关于__________对称，函数f(x)是偶函数图象关于_________对称。
（4）奇偶函数的性质：
奇奇=______;奇奇=______;偶偶=______;偶偶=______;奇偶=______;
奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .
（5）函数奇偶性的判断：1. 定义法（先看定义域是否关于原点对称），2. 图象法。3. 利用奇偶函数的性质。
分段函数判断奇偶性应分段证明f(-x) 与f(x)的关系。只有当对称的两段上都满足相同关系时，才能判断其奇偶性。也可通过画出图象看是否关于原点或y轴对称来判断。
抽象函数奇偶性的判断需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(-x) 与f(x)的关系。
二、函数的周期性
定义： 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有________________，则为周期函数，T为这个函数的周期.如果在所有周期中存在一个最小的正数，就把这个最小正数叫做_____________________
理解：若T为f(x)的周期，则也一定是f(x)的周期。
（2）周期性的判断
判断一个函数是否为周期函数：一是根据定义，二是记住一些重要结论：如果函数对定义域中任意x满足等，则f(x)是周期函数，2a是一个周期，等等，根据这些条件可以快速获得周期。
三、例题分析：
例1、（1）如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_____
（2）若为奇函数，则实数_____
（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=_______
（4）设是上的奇函数，，当时，，则等于 ( )
（A）0.5 （B） （C）1.5 （D）
（5）函数是偶函数，且在上是增函数，又，求m的取值范围。（答案：）
例2、判断下列函数的奇偶性
（1）； （2）； （3）
例3 、已知函数f(x)对一切，都有成立，
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）若
课后作业：
完成课本P18页习题及以下补充练习：
1（05福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2（04年全国卷一.理2）已知函数（ ）
A．b B．－b C． D．－
3、已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________
4、函数是偶函数的充要条件是___________
5、已知，其中为常数，若，则_______
6 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且它的图象关于直线x=2对称，则函数f(x)的周期为_________,若f(63)=-2,则f(1)=____________.答案：T=4，-2
7、函数是偶函数，且不恒等于零，则（ ）
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数
8定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。
9（07全国I）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
10（07天津）他在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
11（07重庆）已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
高考题补充练习：
1栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，
则，．
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
2．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）
解：（1）
（2）

（3）
3．如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
4．设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）

．
由为锐角三角形知，
，．
，
所以．
由此有，
所以，的取值范围为．
5．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．

17 / 17
函数典型题
1．下列函数完全相同的是 ( B )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋3
2．设f(x)＝，则＝(　B　)
A．1 B．－1 C. D．－
解析.＝＝＝×＝－1.
3．函数y＝＋的定义域是(　D　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：D.由，得0≤x≤1.
4．若函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(x＋1)的定义域是(　A.　)
A．[－2,0] B．[－1,1]
C．[1,2] D．[0,2]
解析：A.令－1≤x＋1≤1，得－2≤x≤0.
5．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是(　　)
A．∅ B．∅或{1} C．{1} D．∅或{2}
解析：选B.由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－，}或A＝{－1,1，－}或A＝{－1,1，}或A＝{－1，，－}或A＝{1，－，}或A＝{－1，－}或A＝{－1，}或A＝{1，}或A＝{1，－}．所以A∩B＝∅或{1}．
6．若[a,2a]为一确定区间，则a∈________.
解析：∵[a,2a]为一确定区间，
∴2a＞a，∴a＞0.答案：(0，＋∞)
7．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为________．
解析：∵－1≤2x－1＜1，∴0≤x<1.
答案：{x|0≤x＜1}
8．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是___{－2，－1,2}_____．
解析：把x＝0，－1,1,2代入函数式求y值．
得y＝－2，－1,2.
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；　(2)y＝＋.
解：(1)要使函数有意义，则
，即，在数轴上标出，如图，即x<－3或－3<x<3或3<x≤5.故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．(也可表示为{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5})
(2)要使函数有意义，则，即，所以x＝1，从而函数的定义域为{1}．
10．已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．
(1)求f(0)与f(1)的值；
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．
解：由f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)令x＝y＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0.
令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)， ∴f(1)＝0.
(2)令x＝y＝2，f(4)＝f(2)＋f(2)＝2∴f(2)＝2a.
令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2f(3)＝2b.
令x＝4，y＝9，得f(36)＝f(4×9)＝f(4)＋f(9)＝2a＋2b.
11．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　)
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
解析：选A.一个x对应的y值不唯一．
4．函数y＝x与y＝表示同一个函数需要注明定义域为____{x|x≥0，x∈R}
___．
解析：y＝＝|x|≥0，∴x≥0.
12．下列集合A到集合B的对应关系f是映射的是(　　)
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：选A.B中元素1在f下有两个元素±1与之对应，不是映射；C中元素0无倒数，不是映射；D中元素0在B中无元素与之对应，不是映射．
13．已知函数
y＝，则f(3)等于(　　)
A．0 B．3 C．6 D．9
解析：选C.f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3，∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6.
14．设函数f(x)＝，则f的值为(　　)
A.　 B．－ C. D．18
解析：选A.f(2)＝22＋2－2＝4，
f＝f()＝1－()2＝.
15．设f(x)＝已知f(a)>1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪
B.
C．(－∞，－2)∪
D.∪(1，＋∞)
解析：选C.f(a)>1⇔
或或⇔或或
⇔a<－2或－<a<1.即所求a的取值范围是(－∞，－2)∪.
16．函数f(x)＝的值域是________．
解析：当x＜1时，x2－x＋1＝(x－)2＋≥；当x＞1时，0＜＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)
17．已知f(x)＝则不等式x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5的解集是_(－∞，]_______．
解析：原不等式可化为下面两个不等式组
或
解得－2≤x≤或x＜－2，即x≤.
18．已知函数
f(x)＝若f(a)＝3，求a的值．
解：①当a≤－1时，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，
∴a＝1(舍去)．
②当－1＜a＜2时，f(a)＝a2，又f(a)＝3，
∴a＝±，其中负值舍去．∴a＝.
③当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述：a＝.
19．设函数f(x)＝，则f(f(1))＝(　A　)
A．0　　B．1 C．2 D．3
解析： f(1)＝＝0，∴f(f(1))＝f(0)＝0.
20．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是(　　)

解析：选C.A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应．
21．已知f(x)＝，则f(4)＝________；f(－3)＝________；f[f(－3)]＝________.
答案：16　0　2
3．函数y＝x＋的图象为(　　)

解析：选C.y＝x＋＝，
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
4
－1
A.－1 B．－2 C．－3 D．－4
解析：选A.f(f(3))＝f(4)＝－1.
2．函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3}的值域是(　　)
A．R B．[1,3] C．{1,2,3} D．{3,5,7}
解析：选D.f(1)＝2×1＋1＝3，f(2)＝2×2＋1＝5，f(3)＝2×3＋1＝7.
3．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　)
A．3x＋2 B．3x＋1C．3x－1 D．3x＋4
解析：选C.设x＋1＝t，则x＝t－1，则f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，则f(x)＝3x－1.
4．已知f(x)＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于(　　)
A．6 B．15 C. D．3
解析：选C.2m＋3＝6，m＝.
6．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝(　　)
A．3x＋2 B．3x－2C．2x＋3 D．2x－3
解析：选B.设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴，∴，
∴f(x)＝3x－2.
7．已知f(2x)＝x2－x－1，则f(x)＝________.
解析：答案：－－1。令2x＝t，则x＝，
∴f(t)＝2－－1，即f(x)＝－－1.
8.已知定义域为{x|x≠0，x∈R}的函数f(x)的图象关于原点对称，它在(0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
解析：先将图象补全，如图，

则解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}．
答案：{x|x<－2或0<x<2}
9．将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y＝x2的图象，则函数f(x)的解析式为________．
解析：将函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得函数y＝x2－2的图象，再将函数y＝x2－2的图象向右平移1个单位，得函数y＝(x－1)2－2的图象，即函数y＝f(x)的图象，故f(x)＝x2－2x－1.
答案：f(x)＝x2－2x－1
10．已知f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，求f(x)．
解：令a＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)
＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1.
再令－b＝x，即得f(x)＝x2＋x＋1.
11．已知f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．
解：∵f(3x＋1)＝9x2－6x＋5＝(3x＋1)2－12x＋4＝(3x＋1)2－4(3x＋1)＋8，
∴f(x)＝x2－4x＋8.
12．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．
于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，
∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.
∵ax2－4ax＋3＝0的两实根的平方和为10，
∴10＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
∴a＝1.∴f(x)＝x2－4x＋3.
1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2－1　　 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
解析：选D.设f(x)＝(x－1)2＋c，
由于点(0,0)在函数图象上，
∴f(0)＝(0－1)2＋c＝0，
∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.
3．若f()＝，则f(x)等于(　　)
A.(x≠－1) B.(x≠0)
C.(x≠0且x≠－1) D．1＋x(x≠－1)解析：选C.f()＝＝(x≠0)，
∴f(t)＝(t≠0且t≠－1)，
∴f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
2．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为(　　)
A．1　　　　　　　 　B．2
C．－1 D．不存在
解析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.
3．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2 B. C. D．－
解析：选B.函数y＝在[2,3]上为减函数，
∴ymin＝＝.
4．函数y＝|x－3|－|x＋1|的(　　)
A．最小值是0，最大值是4
B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4
D．最大值、最小值不存在
解析：选C.当x≤－1时，y＝3－x－(－x－1)＝4；
当－1<x≤3时，y＝3－x－(x＋1)＝2－2x；
当x>3时，y＝x－3－(x＋1)＝－4.
综上，－4≤y≤4.
5．f(x)＝9－ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为(　　)
A．9 B．9(1－a) C．9－a D．9－a2
解析：选A.函数f(x)＝9－ax2的图象开口向下，对称轴为y轴，故[0,3]是其单调减区间，
∴函数在x＝0时取得最大值9.
6．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为(　　)
A．0或1 B．1C．2 D．以上都不对
解析：选B.因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2, 对称轴为x＝a，开口方向向上，所以函数在[0，a]上为单调递减的，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，
f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2.故a＝1.
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，
∴1<a≤3.答案：(1,3]
8．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．
解析：∵f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝，
f(x)max＝f(4)＝＝. 答案：　
9．函数y＝－x2－4x＋1在区间[a，b](b>a>－2)上有最大值4，最小值－4，则a＝________，b＝________.
解析：∵y＝－(x＋2)2＋5，
∴函数图象的对称轴是x＝－2.
故在[－2，＋∞)上是减函数．
又∵b>a>－2，
∴y＝－x2－4x＋1在[a，b]上单调递减．
∴f(a)＝4，f(b)＝－4.
由f(a)＝4，得－a2－4a＋1＝4，
即a2＋4a＋3＝0，(a＋1)(a＋3)＝0.
∴a＝－1或a＝－3.
∵a>－2，∴取a＝－1.
由f(b)＝－4，得－b2－4b＋1＝－4.
即b2＋4b－5＝0，(b＋5)(b－1)＝0.
∴b＝－5或b＝1.
∵b≥－2，∴取b＝1.
答案：－1　1
10．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a、b的值．
解：将函数式化为f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a＞0时，f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a在[2,3]上是增函数，则有解得
当a＜0时，f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a在[2,3]上是减函数，则有解得
11．求函数y＝＋的值域．
解：定义域满足⇒x∈[3，＋∞)．
令y1＝，任取x1>x2≥3，
∵－＝>0，
∴y1在[3，＋∞)上单调递增．
同理可证y2＝在[3，＋∞)上单调递增．
从而可知y＝＋在定义域[3，＋∞)上是单调递增的函数．
∴y≥＋＝.∴值域为[，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝－时，求函数的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－时，f(x)＝x－＋2.
利用单调性的定义或图象可以证明f(x)在[1，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a＜0时，函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
故当x＝1时，f(x)有最小值3＋a，于是当3＋a＞0时，函数f(x)>0恒成立，故此时－3<a<0.
综上可知，实数a的取值范围是(－3,0)∪[0，＋∞)，即(－3，＋∞)．
1．函数f(x)＝x在R上的最大值是(　　)
A．0 B．＋∞ C．－∞ D．不存在
解析：选D.f(x)＝x在R上为增函数，f(x)→＋∞.
2．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是(　　)
A．1 B．0 C. D．不存在
解析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，f(x)＝x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)＝0.
3．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
解析：选A.f(x)在x∈[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.
4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
解析：∵x∈N*，∴x2≥1，
∴y＝2x2＋2≥4，
即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1. 答案：4
1．函数y＝－x2的单调减区间是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
答案：A
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于(　　)
A．－4 B．－8 C．8 D．无法确定
解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x＝－2，则＝－2，所以m＝－8.
3．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　)
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
解析：选D.根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量时，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小．
4．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
解析：选C.应用增函数的性质判断．
∵a＋b≤0，∴a≤－b，b≤－a.
又∵函数f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．
5．下列说法中正确的有(　　)
①若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个 C．2个D．3个
解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I上的任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x≤0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f(－3)＞f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
6．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当a<b时，都有f(a)<f(b)，则方程f(x)＝0的根(　　)
A．有且只有一个 B．可能有两个
C．至多有一个 D．有两个以上
解析：选C.由题意知f(x)在A上是增函数．若y＝f(x)与x轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f(x)＝0至多有一个根．

7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间是________．
解析：结合函数单调性定义，知y＝f(x)在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上递增．
答案：(－∞，1]和(1，＋∞)
8．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为________．
解析：∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
∴f(a2－a＋1)≤f()．
答案：f(a2－a＋1)≤f()
9．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：设0＜x1＜x2，由题意知
f(x1)－f(x2)＝－＋＝＞0，
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0.
∴b＜0.
答案：(－∞，0)
10．试判断函数f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)内的单调性．
解：f(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，对称轴为x＝a.
∴若a≤－2，则f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)内是增函数；
若－2＜a＜2，则f(x)＝x2－2ax＋3在(－2，a)内是减函数，在[a,2)内是增函数；
若a≥2，则f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)内是减函数．
11．求证：f(x)＝在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
证明：设x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
当0＜x1＜x2≤1时，0＜x1x2＜1，
∴＜1，f(x2)－f(x1)＜0，即Δy＜0.
当x2＞x1≥1时，＞1，
∴f(x2)－f(x1)＞0，即Δy＞0.
因此所给函数在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
12．求函数f(x)＝的单调区间．
解：当x－1≥0且x－1≠1，即x≥1且x≠2时，
函数y＝＝－x，
它在[1,2)和(2，＋∞)上递减．
当x－1≤0且x－1≠－1，即x≤1且x≠0时，
函数y＝＝x－2，
它在(－∞，0)和(0,1]上递增．
∴增区间是(－∞，0)和(0,1]；
减区间是[1,2)和(2，＋∞)．
1．函数f(x)＝2x，x∈[0,3]的单调性为(　　)
A．单调递减
B．单调递增
C．先减后增
D．先增后减
解析：选B.如图所示，可知函数f(x)=2x在[0,3]上是增函数．
2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)<f(1)，则函数f(x)在区间[－1,3]上