函数常考题型(有标准答案).doc

函数常考题型（一）函数定义部分1 设集合A和集合B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素（x,y）映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下，象（2，1）的原象是（ B ）A (3,1) B C D （1，3）2 下列各组函数中表示同一函数的是（ D ）A B C D 3 已知函数，求的解析式。4 已知，则（ C ）A 0 B 4 C e D 5 若是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有，则（2009）。6 （2006安徽）函数f(x)对任意实数x,满足条件 _.（二）、函数定义域考点归纳：1、求函数定义域的主要依据是（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指、对数函数的底数必须大于零且不等于1；（4）式子。（5）三角函数的正切。2、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。3、对于复合函数的定义域问题应注意以下几点：（1），指的是x的取值范围为a,b,而不是g(x)的范围为a,b.（2）已知函数f(x)的定义域为D，求函数fg(x)的定义域，只需由解不等式，求出x.(3) 已知函数fg(x)的定义域，求函数f (x)的定义域，只需求函数g(x)的值域。4、如果是实际问题，函数的定义域还应考虑使实际问题有意义。思路与方法：求函数的定义域往往归结为解不等式（组）的 问题，解不等式组取交集时可借助数轴，注意端点值或边界值。例题：求下列函数的定义域（1），（2），（3）补充作业：1. 已知函数f(x)的定义域为(0,1),求的定义域。2. 已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求的定义域。3. 已知函数f(x+1)的定义域为-2,3,求的定义域。4. 已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围5. 已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（ B ）A B C D （三）、函数解析式的求法。1 配凑法（直接法、定义法）: 由已知条件，可将F(x)改写成g(x)的表达式，然后以x代替g(x),便得f(x)的表达式。例1 已知2 换元法: 已知，求f(x)的问题，可以设 t=g(x),从中解出x,代入g(x)进行换元，最后把t换成x.例2 已知答案：3 待定系数法：适合于已知函数类型求解析式的问题，可设定函数的解析式，根据条件列出方程（组）求出待定系数得解析式。例3 已知f(x)是一次函数，且满足。答案：f(x)=2x+17练习：已知f(x)是一次函数，且满足 答案：f(x)=x+14 函数方程法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x),可根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求f(x).例：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+1,求f(x)。答案：练习1. 已知,则f(x)的解析式是（ C ）A B C D 2 已知，则f(2)等于（ D ）A B C D 3 若函数的定义域和值域都是0，1，则a等于（ D ）A B C D 4 函数f(x)满足，且成等差数列，则x的值是（ C ）A 2 B 3 C 2或3 D 2或-35 已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1,(1)若，试求f(x)的解析式;(2) 若 且求实数a的取值范围。（四） 函数的值域与最值知识要点：1函数的值域是指函数y=f(x)的函数值的集合。有下列几种情形：(1) 当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；(2) 当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；(3) 当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；(4) 当函数由实际问题给出时，函数的值域还要考虑问题的实际意义。2 请熟悉下列几种常见函数的值域：(1)一次函数y=kx+b,的值域是_(2) 二次函数，当a0时的值域是_当a0时的值域是_(3) 反比例函数的值域是_(4) 指数函数的值域是_(5) 对数函数的值域是_(6) 正、余弦函数的值域为_;正、余切函数的值域为_;(7) “和倒函数”的值域为_;若可转化为。2. 求函数值域的基本方法(1) 观察法：例1求函数的值域。(2) 分离常数法（也叫部分分式法）例2 求函数的值域。(3) 利用均值不等式求值域。（注意条件“一正二定三相等”要同时满足(4) 换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数（如二次函数），从而求得原函数的值域。形如的函数常用此法。（注意换元后，新元的取值范围）。(5) 配方法：适用于求二次函数或转化为形如的函数的值域，后者要注意f(x)本身的范围。(6) 利用函数的单调性求值域(7) 数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象求值域(8) 利用函数的有界性：如可用y表示出sinx,再根据解不等式求y.如求函数的值域，由得，而求解。(10) 导数法：利用导数求闭区间上函数最值的步骤是：（1）求导，令导数为0；（2）确定极值点，求极值；（3）比较端点函数值与极值，确定最大、最小值或值域。例 求下列函数的值域（备选）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）课后作业完成课本P15页习题及以下补充练习1 函数的值域为（ B ）A B C D 2 已知函数（1）若函数的值域为，求a的值。（2）若函数的值域为非负数，求函数的值域。（答案：3、设的最小值是（ C ）A B C -3 D 函数的奇偶性和周期性一、知识回顾：1、函数的奇偶性：（1）对于函数，其定义域关于原点对称：如果对于定义域中的任意都有_，那么函数为奇函数；如果对于定义域中的任意都有_，那么函数为偶函数.（2）对于定义的理解：定义中的都在的定义域中，函数定义域关于原点对称是该函数具有奇偶性的必要条件。研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称（定义域优先）。若函数在x=0有定义，且为奇函数，则一定有成立若函数是偶函数，那么。既是奇函数、又是偶函数的函数：（3）图象特征：函数f(x)是奇函数图象关于_对称，函数f(x)是偶函数图象关于_对称。（4）奇偶函数的性质：奇奇=_;奇奇=_;偶偶=_;偶偶=_;奇偶=_;奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .（5）函数奇偶性的判断：1. 定义法（先看定义域是否关于原点对称），2. 图象法。3. 利用奇偶函数的性质。分段函数判断奇偶性应分段证明f(-x) 与f(x)的关系。只有当对称的两段上都满足相同关系时，才能判断其奇偶性。也可通过画出图象看是否关于原点或y轴对称来判断。抽象函数奇偶性的判断需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(-x) 与f(x)的关系。二、函数的周期性定义： 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有_，则为周期函数，T为这个函数的周期.如果在所有周期中存在一个最小的正数，就把这个最小正数叫做_理解：若T为f(x)的周期，则也一定是f(x)的周期。（2）周期性的判断判断一个函数是否为周期函数：一是根据定义，二是记住一些重要结论：如果函数对定义域中任意x满足等，则f(x)是周期函数，2a是一个周期，等等，根据这些条件可以快速获得周期。三、例题分析：例1、（1）如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_（2）若为奇函数，则实数_（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_（4）设是上的奇函数，当时，则等于 ( )（A）0.5 （B） （C）1.5 （D） （5）函数是偶函数，且在上是增函数，又，求m的取值范围。（答案：）例2、判断下列函数的奇偶性（1）； （2）； （3） 例3 、已知函数f(x)对一切，都有成立，（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若课后作业：完成课本P18页习题及以下补充练习：1（05福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A5B4C3D22（04年全国卷一.理2）已知函数（ ）AbBbCD3、已知函数在R是奇函数，且当时，则时，的解析式为_4、函数是偶函数的充要条件是_5、已知，其中为常数，若，则_ 6 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且它的图象关于直线x=2对称，则函数f(x)的周期为_,若f(63)=-2,则f(1)=_.答案：T=4，-27、函数是偶函数，且不恒等于零，则（ ）（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数8定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。9（07全国I）设，是定义在R上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）A充要条件 B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件 10（07天津）他在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数11（07重庆）已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）A. B. C. D. 高考题补充练习：1栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，移栽后成活的概率分别为，（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，则，恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为2（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）解：（1）（2）（3）3如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或4设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为5在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值17 / 17函数典型题1下列函数完全相同的是 ( B )Af(x)|x|，g(x)()2Bf(x)|x|，g(x)Cf(x)|x|，g(x)Df(x)，g(x)x32设f(x)，则(B)A1 B1 C. D解析.1.3函数y的定义域是(D)Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x0 Dx|0x1解析：D.由，得0x1.4若函数f(x)的定义域是1,1，则函数f(x1)的定义域是(A.)A2,0 B1,1C1,2 D0,2解析：A.令1x11，得2x0.5设f：xx2是集合A到集合B的函数，如果B1,2，则AB一定是()A B或1 C1 D或2解析：选B.由f：xx2是集合A到集合B的函数，如果B1,2，则A1,1，或A1,1，或A1,1，或A1，或A1，或A1，或A1，或A1，或A1，所以AB或16若a,2a为一确定区间，则a_.解析：a,2a为一确定区间，2aa，a0.答案：(0，)7若函数yf(x)的定义域为1,1)，则f(2x1)的定义域为_解析：12x11，0x1.答案：x|0x18函数yx22的定义域是1,0,1,2，则其值域是_2，1,2_解析：把x0，1,1,2代入函数式求y值得y2，1,2.9求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)y.解：(1)要使函数有意义，则，即，在数轴上标出，如图，即x3或3x3或3x5.故函数f(x)的定义域为(，3)(3,3)(3,5(也可表示为x|x3或3x3或31，则实数a的取值范围是()A(，2)B.C(，2)D.(1，)解析：选C.f(a)1或或或或a2或a1.即所求a的取值范围是(，2).16函数f(x)的值域是_解析：当x1时，x2x1(x)2；当x1时，01，则所求值域为(0，)，故填(0，)答案：(0，)17已知f(x)则不等式x(x2)f(x2)5的解集是_(，_解析：原不等式可化为下面两个不等式组或解得2x或x2，即x.18已知函数f(x)若f(a)3，求a的值解：当a1时，f(a)a2，又f(a)3，a1(舍去)当1a2时，f(a)a2，又f(a)3，a，其中负值舍去a.当a2时，f(a)2a，又f(a)3，a(舍去)综上所述：a.19设函数f(x)，则f(f(1)(A)A0B1 C2 D3解析： f(1)0，f(f(1)f(0)0.20已知集合Aa，b，B0,1，则下列对应不是从A到B的映射的是()解析：选C.A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应21已知f(x)，则f(4)_；f(3)_；ff(3)_.答案：16023函数yx的图象为()解析：选C.yx，1已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)等于()x1234f(x)3241A.1 B2 C3 D4解析：选A.f(f(3)f(4)1.2函数y2x1，x1,2,3的值域是()AR B1,3 C1,2,3 D3,5,7解析：选D.f(1)2113，f(2)2215，f(3)2317.3已知函数f(x1)3x2，则f(x)的解析式是()A3x2 B3x1C3x1 D3x4解析：选C.设x1t，则xt1，则f(t)3(t1)23t1，则f(x)3x1.4已知f(x)2x3，且f(m)6，则m等于()A6 B15 C. D3解析：选C.2m36，m.6已知f(x)是一次函数，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，则f(x)()A3x2 B3x2C2x3 D2x3解析：选B.设f(x)kxb(k0)，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，f(x)3x2.7已知f(2x)x2x1，则f(x)_.解析：答案：1。令2xt，则x，f(t)21，即f(x)1.8.已知定义域为x|x0，xR的函数f(x)的图象关于原点对称，它在(0，)上的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析：先将图象补全，如图，则解集为x|x-2或0x2答案：x|x2或0x29将函数yf(x)的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数yx2的图象，则函数f(x)的解析式为_解析：将函数yx2的图象向下平移2个单位，得函数yx22的图象，再将函数yx22的图象向右平移1个单位，得函数y(x1)22的图象，即函数yf(x)的图象，故f(x)x22x1.答案：f(x)x22x110已知f(0)1，f(ab)f(a)b(2ab1)，求f(x)解：令a0，则f(b)f(0)b(b1)1b(b1)b2b1.再令bx，即得f(x)x2x1.11已知f(3x1)9x26x5，求f(x)解：f(3x1)9x26x5(3x1)212x4(3x1)24(3x1)8，f(x)x24x8.12设二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，对于xR恒成立，且f(x)0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称于是，设f(x)a(x2)2k(a0)，则由f(0)3，可得k34a，f(x)a(x2)234aax24ax3.ax24ax30的两实根的平方和为10，10x12x22(x1x2)22x1x216，a1.f(x)x24x3.1如果二次函数的图象开口向上且关于直线x1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为()Af(x)x21 Bf(x)(x1)21Cf(x)(x1)21 Df(x)(x1)21解析：选D.设f(x)(x1)2c，由于点(0,0)在函数图象上，f(0)(01)2c0，c1，f(x)(x1)21.3若f()，则f(x)等于()A.(x1) B.(x0)C.(x0且x1) D1x(x1)解析：选C.f()(x0)，f(t)(t0且t1)，f(x)(x0且x1)2函数yx22x在1,2上的最大值为()A1 B2C1 D不存在解析：选A.因为函数yx22x(x1)21.对称轴为x1，开口向下，故在1,2上为单调递减函数，所以ymax121.3函数y在2,3上的最小值为()A2 B. C. D解析：选B.函数y在2,3上为减函数，ymin.4函数y|x3|x1|的()A最小值是0，最大值是4B最小值是4，最大值是0C最小值是4，最大值是4D最大值、最小值不存在解析：选C.当x1时，y3x(x1)4；当13时，yx3(x1)4.综上，4y4.5f(x)9ax2(a0)在0,3上的最大值为()A9 B9(1a) C9a D9a2解析：选A.函数f(x)9ax2的图象开口向下，对称轴为y轴，故0,3是其单调减区间，函数在x0时取得最大值9.6函数f(x)x22axa2在0，a上取得最大值3，最小值2，则实数a为()A0或1 B1C2 D以上都不对解析：选B.因为函数f(x)x22axa2(xa)2a2a2, 对称轴为xa，开口方向向上，所以函数在0，a上为单调递减的，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)maxf(0)a23，f(x)minf(a)a2a22.故a1.7已知函数f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)在1，a上是单调递减的，又f(x)的单调减区间为(，3，1a2)上有最大值4，最小值4，则a_，b_.解析：y(x2)25，函数图象的对称轴是x2.故在2，)上是减函数又ba2，yx24x1在a，b上单调递减f(a)4，f(b)4.由f(a)4，得a24a14，即a24a30，(a1)(a3)0.a1或a3.a2，取a1.由f(b)4，得b24b14.即b24b50，(b5)(b1)0.b5或b1.b2，取b1.答案：1110已知函数f(x)ax22ax2b(a0)在2,3上有最大值5和最小值2，求a、b的值解：将函数式化为f(x)a(x1)22ba.当a0时，f(x)a(x1)22ba在2,3上是增函数，则有解得当a0时，f(x)a(x1)22ba在2,3上是减函数，则有解得11求函数y的值域解：定义域满足x3，)令y1，任取x1x23，0，y1在3，)上单调递增同理可证y2在3，)上单调递增从而可知y在定义域3，)上是单调递增的函数y.值域为，)12已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解：(1)当a时，f(x)x2.利用单调性的定义或图象可以证明f(x)在1，)上为增函数，所以f(x)在1，)上的最小值为f(1).(2)f(x)x2，x1，)当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)在1，)上为增函数故当x1时，f(x)有最小值3a，于是当3a0时，函数f(x)0恒成立，故此时3a0.综上可知，实数a的取值范围是(3,0)0，)，即(3，)1函数f(x)x在R上的最大值是()A0 B C D不存在解析：选D.f(x)x在R上为增函数，f(x).2函数f(x)x2在0,1上的最小值是()A1 B0 C. D不存在解析：选B.由函数f(x)x2在0,1上的图象(图略)知，f(x)x2在0,1上单调递增，故最小值为f(0)0.3函数f(x)，则f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不对解析：选A.f(x)在x1,2上为增函数，f(x)maxf(2)10，f(x)minf(1)6.4函数y2x22，xN*的最小值是_解析：xN*，x21，y2x224，即y2x22在xN*上的最小值为4，此时x1. 答案：41函数yx2的单调减区间是()A0，) B(，0C(，0) D(，)答案：A2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)为增函数，当x(，2时，函数f(x)为减函数，则m等于()A4 B8 C8 D无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反由题意得函数的对称轴为x2，则2，所以m8.3设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2) Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定解析：选D.根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量时，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小4函数f(x)在R上是增函数，若ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)解析：选C.应用增函数的性质判断ab0，ab，ba.又函数f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)5下列说法中正确的有()若x1，x2I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则yf(x)在I上是增函数；函数yx2在R上是增函数；函数y在定义域上是增函数；y的单调递减区间是(，0)(0，)A0个 B1个 C2个D3个解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I上的任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而不对；yx2在x0时是增函数，x0时是减函数，从而yx2在整个定义域上不具有单调性；y在整个定义域内不是单调递增函数如35，而f(3)f(5)；y的单调递减区间不是(，0)(0，)，而是(，0)和(0，)，注意写法6已知函数yf(x)，xA，若对任意a，bA，当ab时，都有f(a)f(b)，则方程f(x)0的根()A有且只有一个 B可能有两个C至多有一个 D有两个以上解析：选C.由题意知f(x)在A上是增函数若yf(x)与x轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f(x)0至多有一个根7函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的单调递增区间是_解析：结合函数单调性定义，知yf(x)在(，1上递增，在(1，)上递增答案：(，1和(1，)8已知函数f(x)是区间(0，)上的减函数，那么f(a2a1)与f()的大小关系为_解析：a2a1(a)2，f(a2a1)f()答案：f(a2a1)f()9若函数y在(0，)上是减函数，则b的取值范围是_解析：设0x1x2，由题意知f(x1)f(x2)0，0x1x2，x1x20，x1x20.b0.答案：(，0)10试判断函数f(x)x22ax3在(2,2)内的单调性解：f(x)x22ax3(xa)23a2，对称轴为xa.若a2，则f(x)x22ax3在(2,2)内是增函数；若2a2，则f(x)x22ax3在(2，a)内是减函数，在a,2)内是增函数；若a2，则f(x)x22ax3在(2,2)内是减函数11求证：f(x)在(0,1上是减函数，在1，)上是增函数证明：设x1x2，则xx2x10，yf(x2)f(x1).当0x1x21时，0x1x21，1，f(x2)f(x1)0，即y0.当x2x11时，1，f(x2)f(x1)0，即y0.因此所给函数在(0,1上是减函数，在1，)上是增函数12求函数f(x)的单调区间解：当x10且x11，即x1且x2时，函数yx，它在1,2)和(2，)上递减当x10且x11，即x1且x0时，函数yx2，它在(，0)和(0,1上递增增区间是(，0)和(0,1；减区间是1,2)和(2，)1函数f(x)2x，x0,3的单调性为()A单调递减B单调递增C先减后增D先增后减解析：选B.如图所示，可知函数f(x)=2x在0,3上是增函数2若函数f(x)定义在1,3上，且满足f(0)f(1)，则函数f(x)在区间1,3上