指数函数和对数函数复习(有详细知识点和模拟题详解).doc

指数函数与对数函数总结与练习
一、指数的性质
（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念：

2．整数指数幂的运算性质：（1） （2）
（3）
其中， ．
3．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即： 若，则叫做的次方根，

说明：①若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）
③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
④ ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 ∴．
．
4．的次方根的性质
一般地，若是奇数，则；
若是偶数，则．
5．例题分析：
例1．求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）

例2．已知 ， 化简：．

（二）分数指数幂
1．分数指数幂：
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，
例如：若，则，， ∴ ．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；
（2）正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：
例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式：
， ， .

例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）； （2）；

例3．计算下列各式：
（1） （2）．

（三）综合应用
例1．化简：.

例2．化简：.

例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.

二、指数函数
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．

2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：

图象

性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数

例1．求下列函数的定义域、值域：
（1） （2） （3）

例2．当时，证明函数 是奇函数。

例3．设是实数，，
（1）试证明：对于任意在为增函数；
（2）试确定的值，使为奇函数。

三、对数的性质
1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。
即，

指数式
底数
幂
指数
对数式
对数的底数
真数
对数

说明：1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．对任意 且 , 都有 ∴，同样：．
3．如果把中的写成， 则有 （对数恒等式）．

3．介绍两种特殊的对数：
①常用对数：以10作底 写成
②自然对数：以作底为无理数，= 2.71828…… ， 写成 ．
例2．（1）计算： ，
（2）求 x 的值：①； ②．

（3）求底数：①， ②．

4．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0， 那么
（1）；
（2）；
（3）．
例3．计算：
（1） lg1421g； （2）；

5．换底公式： ( a > 0 , a ¹ 1 ；)
证明：设，则，
两边取以为底的对数得：，∴，
从而得： ， ∴ ．
说明：两个较为常用的推论：
（1） ； （2） （、且均不为1）．
证明：（1） ；
（2） ．
例4．计算：（1） ； （2）．

例5．已知，，求（用 a, b 表示）．

．
例6．设 ，求证：．

四、对数函数
1．对数函数的定义：函数 叫做对数函数。
2．对数函数的性质：
（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为．
（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。
同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。

1
1

（图1）
1
1

（图2）

（3）对数函数性质列表：
图
象

性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即当时，
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在上是减函数
例1．求下列函数的定义域：
（1） ；

例2．比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （3），.

例3．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（2），； （3），，；

例4．已知，比较，的大小。
解：∵， ∴，
当，时，得，
∴， ∴．
当，时，得，
∴， ∴．
当，时，得，，
∴，， ∴．
综上所述，，的大小关系为或或．

例5．求下列函数的值域：
（（3）（且）．

例6．判断函数的奇偶性。

例7．求函数的单调区间。

指数函数和对数函数单元测试
一 选择题
1. 如果，那么a、b间的关系是 【 】
A B C D
2. 已知，则函数的图象必定不经过 【 】
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3. 与函数y＝x有相同图象的一个函数是 【 】
A B ，且
C D ，且
4. 函数y=|log2x|的图象是 （ ）
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O

5.已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是 【 】
A B C D
6. 已知函数的值域是，则它的定义域是 【 】
A B C D
7.已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是 【 】
A B C D
8. 设，则 【 】
A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1
9. 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【 】
A B C D
11. 已知，则 ( )
A．B． C． D．
12.函数的定义域是 （ ）
A. B. C. D.
二 填空题
13. 计算： ＝ ．
14. 的定义域是______ 。
15. 方程的解 ________。
16. 若函数的的图像过点，则_________.
三 解答题
17. 求下列函数的定义域和值域
（1） （2）

18. 求下列函数的单调区间
（1） （2）

19. 已知函数
（1）求的定义域；（2） 讨论的单调性。

20．已知 求的值．

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