高三导数专题复习教案1.doc

导数
一、 导数的定义及运用 f(x)=
例1．设函数f(x)在处可导，则等于 （ ）
　　A． B． C． D．
二、导数与切线： y=f(x)上一点M（x0,y0）处的切线
（1）斜率k=f/(x0) (2) y0=f(x0) (3) M（x0,y0）在切线上
例2．（理）设，则它与x轴交点处的切线的方程为______________。
（文）P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是____________。
三、导数与单调性、极值
(1).k=>0对应的区间为f(x)的单调增区间；（2）.k=<0对应的区间为f(x)的单调减区间；
(3).k==0解得的x=x0可能是极值
例3．((理)函数y=x-sinx,的最大值是( C )
A.-1 B. -1 C. D. +1
(文). 为上为增函数,则a的取值范围为_________
例4.f(x)=是否有极值?
例5．已知函数，其导函数的图象如右图，则：( C )
A．在(-，0)上为减函数
B．在x=0处取得最大值
C．在（4，+）上为减函数
D．在x=2处取得最小值

[思路分析]：由导函数的性质知，递增，递减。从图像上知，当x>4时，，∴在（4，+）上递减。
[命题分析]：考查导数的性质，函数的极值与最值，及观察图像的能力
例6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　A ）
A．1个 B．2个 C．3个D． 4个
四.含参数的导数问题
(一).利用极值时及(2) y0=f(x0)往往可以求出参数
例7.已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.
（Ⅰ）=1; （Ⅱ）.
例8.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（－¥，－）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
­
极大值
¯
极小值
­
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥）递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c解得c<－1或c>2
(二).根据单调性求参数范围或分类讨论参数来判断单调 区间或极值
例9. 已知函数 y=x3+ax2+bx 在[0，2]上为单调递增，在[2，3]上单调递减，b的范围_____
例10．已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；无极值；
例11. 已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
解：依定义

故要使在区间（－1，1）上恒成立
(三)导论极值及根的存在情况
例12.（1）求函数y=x3-3ax+2(a>0)的极值.（2）研究方程x3-3ax+2=0 (a>0)
何时有三个不同的实根？何时有唯一的根
2
2

练习题：
1．函数f(x)=x4-x 在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为（ D ）
A. (1,3) B. (1,-3) C. D.(1,0)
2.(理)函数f(x)=x-ex在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为（ D ）
A. (1.1-e) B.(1,e) C.(0,e) D.(0,-1)
3.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（C）
A.或 B. C.a>2或a<-1 D.
4.已知是R上的单调增函数，则b的取值范围是（D）
A.b<-1或b>2 B. 或 C.-1<b<2 D.
5．f(x)=|3x－x3|在[－2，2]上的最大值是 2 .
6．设函数在定义域内的导函数为，的图象如图1所示，则的图象可能为 （ ）

7．设函数．（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
7．（1）函数的定义域为．．
由得或．由得或．
故增区间为，，减区间为，．
（2）由得或．由（1）知在上递减，在上递增．∵，且，∴时，．故时，不等式恒成立．
8．设函数（1）用a表示；（2）若f(x)的图象上有两条与y轴垂直的切线，求实数a的取值范围；（3）当a=2时，求f(x)在[0，3]上的最大值与小值.
8．解：（1）f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－f′(2a) 则f′(2a)=4a2－6a2+2a+2a2－f′(2a) 得f′(2a)=a
（2）由（1）得f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－a 由题可知x2－(3a－1)x+2a2－a=0有两个不相等的实数根△=(3a－1)2－4(2a2－a)=(a－1)2>0a≠1
（3）a=2 f(x)= x3－x2+6x+5 f′(x)=(x－2)(x－3) f′(x)=0x1=2 x2=3
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
y′

+
0
－

y
5

极大

∴fmax(x)=f(2)= fmix(x)=f(0)=5
9．设函数f(x)＝的图象关于原点对称,且f(x)的图象在点P（1,m）处的切线的斜率为－6,且当x＝2时,f(x)有极值（1）求a,b,c,d的值（2）若x1,x2∈［－1,1］时,求证｜f(x1)－f(x2)｜≤.
9．解：（1）∵的图象关于原点对称,∴
∴∴∴
∴
（2）由（1）∴当－1≤x≤1时,∴函数f(x)在［－1,1］上是减函数,∴f(－1)≥≥f(1),即≤≤,∴｜｜≤,同理｜｜≤,
∴≤得证.
10．已知,试问：是否存在实数,使上是减函数,且在（－1,0）上是增函数.
10．解：假设存在实数满足题设.
,
则x＝0.
当x∈（－∞,0）时,当x∈（0,＋∞）时,
∴在(－∞,0)上单调增递减,在（0,＋∞）上单调递增,显然不符合题设.
若,则x＝0或,当时,
当时,当时,当时,∴的单调增区间是单调减区间是要使上是减函数,且在（－1,0）上是增函数,则,即故存在实数使F（x）在（－∞,－1）上是减函数,且在（－1,0）上是增函数.
11．已知函数，（1）求曲线的平行于直线的切线方程；
（2）若函数在上有最大值3，求常数的值及此此函数的最小值。
（1）（1分）设所求切线的切点为，则其斜率为（2分）或（3分）
当时切点为，切线方程为当时切点为，切线方程为即（5分）
（2）函数的导数为（6分）令有或（7分） 的符号和的单调性和极值如下表：
X
-2
(-2,0)
0
(0,2)
2

0
+
0
-
0

m-40
增函数
M
减函数
m-8
由此可知故，当时取最小的值（12分）
12．已知当x≥1时，不等式xlnx≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.
解：设当
（i）当k≤1时，单调递增.
因为f (1) = 0，所以当x≥1时，f (x)≥0，即x lnx≥k (x－1)
（ii）当k＞1时，由f′(x) = 0，得lnx = k－1，即x = ek－1.
当时，f (x)<0，
即，不合题意.综上所述，k的取值范围是
13．已知函数，， （1）证明：当时，恒有
（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;
解：（1）设，则= ，……2分
当时，，所以函数在（0，单调递增，又
在处连续，所以，即，
所以。……4分 （2）设，
则在（0，恒大于0，，
，……6分
的根为0和即在区间（0，上，的根为0和
若，则在单调递减，且，与在（0， 恒大于0矛盾；若，在（0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以