金太阳广东省2022年高一上数学期末监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．定义在上的函数满足下列三个条件： ①； ②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是
A
B.
C.
D.
3．已知实数，且，则的最小值是（ ）
A.6 B.
C. D.
4．若关于的不等式的解集为，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则AB中所有元素之积
A.-8
B.-16
C.8
D.16
6．已知函数，则在下列区间中必有零点的是(　 　)
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
7．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（）
A. B.
C. D.
8．定义在上的偶函数的图象关于直线对称，当时，．若方程且根的个数大于3，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A. B.
C. D.
11．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）
A.1 B.-1
C. D.
12．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.
14．若，则的最小值是___________，此时___________.
15．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为________.
16．已知函数是定义在上的奇函数，且，则________，________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时.
（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.
18．已知集合，
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围
19．已知，，.
（1）求，的值；
（2）若，求值.
20．已知是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求在时的解析式；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围.
21．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.

（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值.
22．已知函数
求函数的最小正周期与对称中心；
求函数的单调递增区间

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解.
【详解】因为扇形的周长为，面积为，
所以，
解得 ，
所以，
所以扇形的圆心角的弧度数是2
故选：B
2、D
【解析】先由，得函数周期为6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的图象关于y轴对称得到y=f（x）的图象关于x=3轴对称，进而得到f（1）=f（5）；最后利用条件（2）得出结论
因为，
所以；
即函数周期为6，故；
又因为的图象关于y轴对称，
所以的图象关于x=3对称，
所以；
又对任意，都有；
所以
故选:D
考点：函数的奇偶性和单调性；函数的周期性.
3、B
【解析】构造，利用均值不等式即得解
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立
故选：B
【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
4、A
【解析】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，求出、的值，然后利用二次函数的基本性质可求得在区间上的最小值.
【详解】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，
则，解得，则，
故当时，函数取得最小值，即.
故选：A.
5、C
【解析】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，
定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴AB={2，-4，-1}，
故AB中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8
故选C
6、B
【解析】根据存在零点定理，看所给区间的端点值是否异号，，，，所以，那么函数的零点必在区间
考点：函数的零点
7、C
【解析】根据数量积的运算律得到，即可得解；
【详解】解：因为，
所以，即，
即，所以，即与的夹角为；
故选：C
8、D
【解析】由题设，可得解析式且为周期为4的函数，再将问题转化为与交点个数大于3个，讨论参数a判断交点个数，进而画出和的图象，应用数形结合法有符合题设，即可求范围.
【详解】由题设，，即，
所以是周期为4的函数，
若，则，故，
所以，
要使且根的个数大于3，即与交点个数大于3个，又恒过，
当时，在上，在上且在上递减，此时与只有一个交点，
所以.
综上，、的图象如下所示，

要使交点个数大于3个，则，可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据已知条件分析出的周期性，并求出上的解析式，将问题转化为两个函数的交点个数问题，结合对数函数的性质分析a的范围，最后根据交点个数情况，应用数形结合进一步缩小参数的范围.
9、D
【解析】根据条件求出两个函数在上的值域，结合若存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可
【详解】当时，，即，则的值域为[0，1]，
当时，，则的值域为，
因为存在，使得，
则
若，
则或，
得或，
则当时，，
即实数a的取值范围是，A，B，C错，D对.
故选：D
10、D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题
11、D
【解析】利用三角函数的坐标定义求出，即得解.
【详解】由题得.
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12、B
【解析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案.
【详解】根据指数函数的单调性可知，，
即，即c＞1，
由对数函数的单调性可知，即．所以c＞a＞b
故选：B

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、或
【解析】根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，再结合直线方程求法，即可对本题求解
【详解】由题意，设直线在两坐标轴上的截距均为，
当时，设直线方程为：，
因为直线过点，所以，即，
所以直线方程为：,即： ，
当时，直线过点，且又过点，
所以直线的方程为，即：，
综上，直线的方程为：或.
故答案为：或
【点睛】本题考查直线方程的求解，考查能力辨析能力，应特别注意，截距相等，要分截距均为和均不为两种情况分别讨论.
14、 ①.1 ②.0
【解析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以,
当且仅当，即时，等号成立，
所以其最小值是1，此时0，
故答案为：1，0
15、
【解析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.
【详解】圆心坐标，半径

要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，
此时最小值为圆心到直线的距离，
此时，
故答案为：
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
16、 ①.1 ②.0
【解析】根据函数的周期性和奇偶性，结合已知条件，代值计算即可.
【详解】因为满足，且，且其为奇函数，
故；
又，故可得，
又函数是定义在上的奇函数，故，又，
故.
故答案为：1；0.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；（2）最大值约为3250辆/小时，车流密度约为87辆/千米.
【解析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围
（2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得
【详解】解：（1）由题意知当(辆/千米)时，(千米/小时)，
代入得，解得
所以
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以
综上，
答：若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）由题意得，
当时，为增函数，
所以，等号当且仅当成立；
当时，

即，等号当且仅当，即成立.
综上，的最大值约为3250，此时约为87.
答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解
18、（1）或；；（2）.
【解析】（1）时求出集合，，再根据集合的运算性质计算和；
（2）根据，讨论和时的取值范围，从而得出实数的取值范围
【详解】解：（1）当时，，
或，
或；
又，
；
（2），
当，即时，，满足题意；
当时，应满足，此时得；
综上，实数的取值范围是
【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题
19、（1），
（2）
【解析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；
（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.
【小问1详解】
∵，∴.
∵，∴，
∴，且，解得，
∴，
【小问2详解】
∵，，∴，
∴，
∴
.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性结合条件即得；
（2）由题可知在上恒成立，利用函数的单调性可求，即得.
【小问1详解】
∵当时，，
∴当时，，
∴，又是定义在上的偶函数，
∴，
故当时，；
【小问2详解】
由在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴
又∵与在上单调递增，
∴，
∴，解得或，
∴实数的取值范围为.
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得，再利用诱导公式化简计算作答.
(2)由给定条件求出，再利用和角公式、倍角公式计算作答.
【小问1详解】
依题意，，所以.
【小问2详解】
因点的横坐标为，而点在第一象限，则点，即有，
于是得，，
，，
所以.
22、（1）最小正周期，对称中心为；（2）
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称中心；直接利用整体思想求出函数的单调递增区间
【详解】函数，
，
，
所以函数的最小正周期为，
令：，解得：，
所以函数的对称中心为
由于，
令：，
解得：，
所以函数的单调递增区间为
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题