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(完整word)类比思想在中学数学中的应用
数学专业毕业论文

类比思想在中学数学中的应用

类比思想在中学数学中的应用
前 言

大数学家拉普拉斯曾经说过：“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比.”所谓类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处,推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法．利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。
中学数学中的概念，公式，性质以及在解题中类比思想无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理.这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。
除此之外，类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束,根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。
伟大的德国古典哲学家康德也曾经说过：每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进在数学教学中,类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法,能使学生巩固旧知识掌握新知识；而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化,陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。
古语云:授人以鱼,只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。类比思想是富于创造性的一种方法,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学学数学中有着广泛的应用。下面我将分四部分：第一部分总结了类比思想在数学概念中体现；第二部分归纳了类比思想在数学公式中体现；第三部分阐述了类比思想在数学性质中体现；第四部分结合例题分析了类比思想在数学解题中体现.接下来将具体论述这四个部分。
一、类比思想在中学数学概念中的体现
数学教育家波利亚说:“类比就是一种相似.”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法.
(一） 类比思想在中学几何概念中的体现
数学中的许多概念之间有类似的地方,在新概念的提出、新知识的讲授过程中，运用类比方法，一方面可以让学生更好地理解新概念的内涵与外延，使学生更容易接受新知识, 其次也有利于掌握新旧知识间的区别和联系， 有利于知识的迁移, 更为重要的是可以让学生体会和学习类比思想方法, 培养学生的创新能力.众所周知，平面几何的基本构成元素是点和直线，而立体几何的基本构成元素是点、直线和平面。通过建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线,或把线换作平面，就可以帮助学生“发现"一类相似的立体几何定理.

1. 平面几何与立体几何在概念上的类比如：
（1) 平面角是由一个交点与两条直线组成;
二面角是由一条直线与两个平面组成。
(2） 平面上，到直线的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的两条直线；
空间中，到直线的距离相等的点的集合是直的圆形曲面；
空间中,到平面的距离相等的点的集合是与平面平行的两个平面。
（3） 平面上,到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆；空间中，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离)的点的集合是椭圆面;
平面上，到两定点的距离的差等于一个常数(小于两定点间的距离）的点的集合是双曲线；空间中，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲面；
在平面，到定直线与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一条抛物线；空间中,到定平面与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一个抛物线面.
（二) 类比思想在中学数列概念中的体现
1. 数列中的等差和等比的概念也是类比关系:
(1）等差数列,如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差；
（2）等比数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个（非零)常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比.

二、类比思想在中学公式中的体现

在数学教学中，我们还看到，存在着并列关系的两个数学对象，它们之间无论是教学内容和教材处理都很相似,如等差数列和等比数列在内容上是完全平行的,包括定义 性质 通项公式等,两个数的等差（等比）中项 两种数列在函数角度下的解释等，因此在等比数列的教学中，采用类比的方法，对等差数列的概念公式和性质进行探索，归纳，类比,促进学生主动获得等比数列的知识它们的性质，重要结论有许多可类比的地方。
（一）类比思想在中学几何公式中的体现
1. 面积公式的类比:
三角形面积公式：，
三棱锥体积公式：；
梯形的面积公式：;
棱台的体积公式：；
2。 平面内的一般三角形与空间中的四面体公式类比：

三角形
四面体
在ΔABC中，的平分线交BC于D，则．
在四面体A—BCD中，二面角C—AB-D的平分面交棱CD于点E，则,．
设ΔABC的三边长分别为、、,ΔABC的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为,则
（1）；
(2）．
设四面体A—BCD的四个侧面的面积分别为，，,,内切球的半径为,外接球的半径为,则
（1);
（2）．
在ΔABC中，
（正弦定理）．
在四面体A—BCD中，棱AB与面ACD、BCD的夹角分别，，则．
在ΔABC中,
（射影定理）
其中分别为角的对边．
在四面体A—BCD中，四个侧面的面积分别为,,，，则
其中分别为面与面所成二面角的大小．
在ΔABC中，
(余弦定理)．

在四面体A—BCD中,

其中分别为面与面，面与面,面与面所成的二面角．
设是ΔABC内任意一点，连结并延长交对边于点则
设是四面体A—BCD内任意一点,连结并延长交对面于点 ,则

3. 平面几何与立体几何的类比：
B
A
C
a
c
b
立体几何与平面几何是前后衔接的两门相近科学，不少相关定理既有联系又有区别，立体几何的某些定理又可以溯源于平面几何中的某些定理因此立体几何的教学中可以由平面几何的知识类比引入的例子很多例如：
B
A
C
P
图1
（1）平面上，在中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c则。如图： ;(如图1)

图2
空间中，四面体，面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、,三个面与底面所成的二面角分别为、、则有。（如图2）

B
A
C
P
D
E
F
H
（2）平面上，在直角中,角,角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，边c上的高为h,则有；，
B
A
C
P
图3
空间中,四面体、、，、 、，点H为点P在面ABC内的射影，则有。（如图3）
图4

O
A
r
C
B
（3）平面上,在直角中，角，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，则有；
图5

空间中，四面体， 、、，面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、，则有.（如图4)

B
A
C
P
O
r
（4） 平面上，在中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，的内心为点O，内切圆的半径为r， 的面积为S,则有；(如图5）

P
A
C
B
D
N
M
E

F
L
图6
空间中，四面体，面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、,体积为V，其内切求的半径为r，球心为O，则有。（如图6）
图7

图8
P
B
A
D
C
N
M
(5) 平面上,点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点,则有;（如图7)

空间中，点A、C为射线PM上的两点,点B、D为射线PN上的两点，点E、F为射线PL上的两点,则有。（如图8）

（6） 平面内的正三角形与空间中的正四面体公式类比：

正三角形的高周长面积
正四面体的高表面积体积
正三角形内任意一点到三边的距离和为定值即正三角形的高。
正四面体内任意一点到四个面的距离和为定值即正四面体的高。
正三角形的内切圆与外接圆的圆心重合即正三角形的中心,半径比为１：２，内切圆切于三边的中点.
正四面体的内切球与外接球的球心重合即正四面体的中心，半径比为１：３，内切球切于四个面的中心.
正三角形的三边的中点的连线仍构成正三角形，边长为.
正四面体的四个面的中心的连线仍构成正四面体，棱长为。

（二）类比思想在中学数列公式中的体现
1.等差数列有关公式：
等差数列通式：

其中为首项,为第n项的通项公式，d为公差
等差数列前n项和公式为：

2.等比数列有关公式：
等比数列的通项公式是：

等比数列前n项之和公式为:
（1)当q≠1时，
（2)当q=1时，
其中首项与公比q都不为零。

三、类比思想在中学数学性质中的体现

（一）类比思想在中学几何性质中的体现
1。在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比：
（1） 三角形存在唯一的外接圆和内切圆，
三棱锥存在唯一的外接球和内切球;
(2）三角形的三条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为，
三棱锥的四条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为；
（3）三角形的三条角平分线交于一点，这个点是三角形内切圆的圆心，
三棱锥的六个二面角的平分面相交于一点,这个点是三棱锥内切球的球心.
（4）在直线上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中点；
在平面上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂线；
在空间中，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂面。
(5）在直线上，到定点的距离相等的点的集合是等距的两点;
在平面上，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的圆；
在空间中，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的球面。
（6）平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比：
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边.
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心.
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心．
三角形任意两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边的一半。
四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的,且该三角形所在平面平行于第四个面.
三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分.
四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分．
三角形的三条中线交于一点,且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1.
将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1
(7)平面内的正三角形与空间中的正四面体性质类比：

正三角形（边长为）
正四面体（棱长为)
正三角形的三边相等．
正四面体的四个面面积相等，六条棱长相等．
正三角形的三角相等．
正四面体的四个面中任意两面所成的二面角都相等(注：不为),各条棱与其相交面所成的线面角都相等,相交的棱的夹角都相等．（注：异面棱垂直)

（二）类比思想在中学数列性质中的体现
1.等差数列性质：

以上n.m。p。q均为正整数。
2.等比数列性质：

G是a、b的等比中项=ab（G≠0）。
四、类比思想在中学数学解题中的体现

运用类比思想对可能的解题方法进行猜测,往往可以得到正确的解题思路，美国著名的数学家G。波利亚在他的世界名著《怎样解题》中这样说过：“在求证或求解一个问题时，如果能成果的发现一个类比题,那么这个类比问题可以引导我们达到原问题的解答”。下面通过例子来分析类比思想在数学解题中的体现：
（一）类比思想在中学几何题中的体现
1.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点、与点、,则三角形面积之比为：。 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点、与点、和、，则类似的结论为： .
分析 在平面中是两三角形的面积之比,类比到空间应是体积之比。
关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边
体 积 面 积 ； 二面角 平面角
面 积 线段长； … …
这道题显然用到了多面体 多边形；体 积 面 积 ；
即 ; ；
；
故猜想。
本题主要考查由平面到空间的类比，要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论.
2.在平面几何中，有勾股定理:“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则"拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是:“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 。"
分析 此题依旧是空间问题与平面问题的类比
跟上题所不同的是这道题用到了多面体 多边形；
面 边；
即ABC 三棱锥A-BCD ；AB，AC ， ，;
BC 。
根据上题的分析，可类比猜测本题的答案：

3。在DEF中有余弦定理:
。 拓展到空间,类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
分析 根据类比猜想
多面体 多边形；面 边；
;
得出。
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
,
同乘以，得
.
即 .
本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉.
4.已知两个圆：， ①
与 ② 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .
分析 将题设中所给出的特殊方程①、②类比推广归纳到一般情况:
设圆的方程为， ③
与 ④
其中或,则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.
本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
5。已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时,那么与之积是与点P的位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。
分析 通过类似得到的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时,那么与之积是与点P的位置无关的定值。
证明:设点M、P的坐标为()、（），则N（）.
因为点M（)在已知双曲线上，所以，同理.
则(定值）.

（二）类比思想在数列题中的体现
1.在等差数列中，若,则有等式
成立,类比上述性质,相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
分析 本题考查等差数列与等比数列的类比。等差数列与等比数列的类比关系是：
等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且
则);
类比于
等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且
则).
故猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 则有：
)(）.从而对等比数列,如果，则有等式：成立.
综上所述，类比的思想在我们处理一些数学问题时的确起着十分重要的作用，我们也应该学习类比的思想,但是在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题.

结束语

数学家波利亚曾说过：类比就是一种相似，就是依据两个或两类数学对象的相似性进行联想，把它们其中一个数学对象已知的较为熟悉的特殊性迁移到另一个和它相似数学对象上去，进而得到新的发现或规律的思想方法。类比思维是一种获得数学发现的重要数学思想，在数学学习和解题中起着至关重要的作用，通过类比可以帮助学生理解和记忆不同层面的类似数学概念，可以获得数学知识的公式、性质，也可以诱导寻求解题思路的变迁和发散，类比思想作为一种重要的数学思想,是获取数学发现拓广数学知识的原动力之一。
类比是数学研究与数学发现中常用的一种逻辑思维方法。它不象数学知识如概念、定理、公式等明显地写地教科书上，它是无形的东西，往往被忽视。因此,在数学教学过程中，若能注意介绍类比的方法, 并引导学生应用， 不仅有利于学生对数学概念、原理和数学解题方法的深入理解,亦可促进学生在论证和解题中发现一些新的方法，有助于学生提高数学思维能力。
巨大的科学发明需要有较强的类比能力,而较强的类比能力正基于猜想与证明的有机结合。对类比的各种状态要给予严格论证，还要捕捉各种类比念头，抓住两系统间的相似之处,利用类比这座雄伟的桥梁,将信息不断地过渡，并不断地证明，使其科学化，从而使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。
本文从中学数学概念、中学数学公式、中学数学性质、中学数学解题四大横向，从几何和数列两大纵向，全方位，多角度，深层次地总结，归纳，剖析了类比思想在中学数学中的体现。但百密之中总有一疏，其实类比思想在函数的概念、公式、性质、解题中也有很好地体现，这些在本文中没有得到体现。

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