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四点共圆专题讲义
例1．如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．

例2．（1）如图，在△ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，∠A=60°．求证：ED=

（2）已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高．求证：AO⊥DE

例3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．

总结：四点共圆的方法：

OA=OB=OC
∠ADC=∠ABC=90°
∠ACD=∠ABD=90°
∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE
∠A=∠D或∠B=∠C

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例4．求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中AB·CD+BC·AD=AC·BD．

练习1．在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．
（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围．

练习2．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转（0°<<90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF.
（1）如图1，若=60°，线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，若=90°，求∠AFB的度数和BF的长；
（3）如图3，若旋转（0°<<90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含 的代数式表示）.

图3
图1
图2

练习3．已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP长．

练习4．已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．
（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，
①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为________ ；
②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；
（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．

练习5．已知：Rt△和 Rt△ABC重合，=∠ACB=90°，=∠BAC=30°，现将Rt△ 绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线和线段相交于点D,连接BD．
（1）当α=60°时，过点C，如图1所示，判断BD和之间的位置关系，不必证明；
（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

图1 图2 图3

练习6．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB＝，∠ACE＝，∠AEC＝．
(1) 依题意补全图1； (2) 若＝15°，直接写出和的度数；
(3) 如图2，若60°<<120°，①判断，的数量关系并加以证明；
②请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）

图2
图1

练习7．阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=45°，求线段AD的长．

小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O点作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE，在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解决此题．
请你回答图2中线段AD的长 .
参考小红思考问题的方法，解决下列问题：
如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6,且∠BAC=30°，则线段AD的长 .

练习8．已知：A、B、C三点不在同一直线上． 
(1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上， 
（i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长； 
（ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=； 
(2)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与A不重合)滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由． 

练习9．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM=∠CBK．
求证：∠DMA=∠CKB．

分析：连KM，由∠DAM=∠CBK，得到A，B，M，K四点共圆，则∠DAB=∠CMK，∠AKB=∠AMB，而∠DAB+∠ADC=180°，得到∠CMK+∠KDC=180°，因此C，D，K，M四点共圆，所以∠CMD=∠DKC，即可得到∠DMA=∠CKB．
解答：解：连KM，
∵∠DAM=∠CBK，
∴A，B，M，K四点共圆，
∴∠DAB=∠CMK，∠AKB=∠AMB，
又∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠CMK+∠KDC=180°．
∴C，D，K，M四点共圆，
∴∠CMD=∠DKC，
∴180°-∠DKC-∠AKB=180°-∠CMD-∠AMB，
∴∠DMA=∠CKB．

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