第八章几何与向量代数.doc

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第八章 第1节 向量及其线性运算
1．求在面上与三个已知点、、等距离的点。
解：设为面上所求的点，则

解得， 故所求点为.
2．写出向量的坐标、模和方向余弦.
解:=， ，
, ， .
3． 已知向量的模为，且已知它与轴和轴的夹角均为，
求的坐标表示式。
解：设与同向的单位向量为，
其中。故=.
于是==。
4． 设向量的模为，它与轴的夹角为，求在轴上的投影。
解：
5． 已知三点、、，为线段的中点，
求与平行的单位向量.
解:设点,则，,，
故D点的坐标为（2，1，3)，。
=
第2节 数量积 向量积
1． 已知两两垂直，且，，，求的模
和它与向量的夹角。
解：
=
因,，。
且。因此
，，===，
。
2．向量与构成夹角，且，，求。
解：==
=17 =.
3．设，，求：（1）与同方向的单位向量; (2）；
（3）； （4）与的夹角。
解：(1） ，故与同方向的
单位向量为 。
(2） 。
(3） =.
(4） ==，
故。
4．已知，与的夹角，求(1）;
（2）。
解： (1)．=；
（2)．====.
5．设，求(1）的条件；（2）的条件。
解:（1)。因，故。
于是；
（2）由，则,故。
6．已知三角形的顶点，求的面积.
解:由于，，=.所以
===。
7．已知为单位向量，且满足，计算：。
解:注意到。另一方面
。
因此。
8．设为任意向量,试用向量的数量积证明不等式.
证:==
=。 故.
第5节 平面及其方程
1． 求过点且与平面平行的平面方程
是。
2．欲使平面，(1）与平面垂直，则；
(2）与平面成45角，则。
3．点到平面的距离。
4．求过点和三点的平面方程。
解：，
n===
所求平面为 即。
5．求过点且垂直于平面和的平面方程。
解:所求平面的法向量
==，
故所求平面方程为即。
6． 已知平面通过两平面和的交线，且与
第一平面垂直，求的方程。
解：设过交线的平面方程为,
即.
因与平面垂直的条件为得。
故所求平面的方程为 .
7． 一平面通过两平面和的交线，且通过
点，求此平面方程.
解:过交线的平面方程为。
因平面过点(1，8，2)，代入得
。
故所求平面方程为。
8． 求与平面平行且与三坐标面所构成的四面体体积为的
平面方程.
解:设该平面方程为，其中为待定常数。
化为截距型有。
由此。
求得两平面分别为与.
9．求通过点和且与平面垂直的平面方程。
解：。平面的法向量是
所求平面法向量
所求平面为(x—1)-(y-1)=0，即。
第6节 直线及其方程
1． 下列各组中的直线与平面的关系分别是
（1) 和 平行；
（2) 和 垂直；
(3） 和在平面上。
2． 直线和平面间的夹角。
3． 过点且平行于直线的直线方程
是。
4． 求过点且与直线垂直的平面方程。
解：直线的方向向量。
所求平面的法向量。 故平面方程为。
5． 求过点且通过直线的平面方程。
解:化直线为一般式。
则过直线的平面方程束为 。
把点代入并解出.因而所求平面为。
6． 求点到直线的距离。
解：过点作垂直于直线的平面。
即。
求它与直线的交点.
即把代入平面方程
得。 交点为，
故所求距离为=.
7． 确定使直线垂直于平面，
并求该直线在平面上的投影直线的方程。
解：设，.由直线与平面垂直可得,故=1。
设过直线的平面方程为
，即。
由于它与已知平面垂直，
故。
于是所设平面为.所求投影直线的方程为
8．求点N(—1,2,0)在平面上的投影。
解：过点（—1，2，0）作垂直于已知平面的直线，并将它代入平面方程
得。
故点在平面上的投影为。
9． 已知一直线过点且平行于平面，又该直线与
直线相交，求此直线方程。
解：设两直线交点为.因M在已知直线上有。
向量与平面平行，
故，即
,
因此交点为。所求直线的方向向量为,
所求直线为。
10．求两平行直线与之间的距离.
解：已知为直线上的点，
过M且与L1垂直的平面p的方程是：（x-1)+2(y+1)+2z=0。
设点为平面p与直线上的交点，则，
且
解得,点。，
所以两条直线之间的距离.