2023版高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量课时作业理.doc

第6讲　空间坐标系与空间向量
1．以下等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是(　　)
A.＝3－2－
B.＝＋＋
C.＋＋＋＝0
D.＋＋＝0
2．(人教A版选修2­1P97习题A组T2改编)如图X8­6­1，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．假设＝a，＝b，1＝c，那么以下向量与相等的向量是(　　)
图X8­6­1
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
3．空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，那么·＝(　　)
A. B．－ C. D．－
4．(2023年浙江)如图X8­6­2，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，那么异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
图X8­6­2
5．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，那么|MN|＝(　　)
A.a B.a C.a D.a
6．(2023年山西太原模拟)如图X8­6­3，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos 〈，〉＝，假设以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么点E的坐标为(　　)
图X8­6­3
A．(1,1,1) B.
C. D．(1,1,2)
7．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，那么EF的长为________．
8．(2023年浙江)如图X8­6­4，平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．
图X8­6­4
9．如图X8­6­5，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；
(2)EG的长；
(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
图X8­6­5
10．(2023年新课标Ⅰ)如图X8­6­6，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)假设AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值．
图X8­6­6
第6讲　空间坐标系与空间向量
1．D　解析：∵M，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，且x＋y＋z＝1.∵＋＋＝0⇔＝－－.∴存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y.∴，，共面．∵M为公共点．∴M，A，B，C四点共面．
2．A　解析：由题意，根据向量运算的几何运算法那么，＝1＋＝1＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
3．B　解析：∵E，F分别是AB，AD的中点．∴EF∥BD且EF＝BD，∴＝. ∴·＝·＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－.
4.　解析：如图D153，连接DN，取DN中点P，连接PM，PC，那么可知∠PMC为异面直线AN，CM所成的角，易得PM＝AN＝，PC＝＝＝，CM＝＝2 ，∴cos∠PMC＝＝，即异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.
图D153
5．A　解析：＝－＝－
＝＋－
＝＋－.
∴||＝＝a.
6．A　解析：由得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，
设P(0,0，a)(a>0)，那么E.
所以＝(0,0，a)，＝，
||＝a，||＝＝＝.
又cos 〈D，A〉＝，
所以＝.
解得a2＝4，即a＝2.所以E(1,1,1)．
7.　解析：||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2.∴||＝.∴EF的长为.
8.　解析：设直线AC与BD′所成角为θ.设O是AC中点，由，得AC＝.如图D154，以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，那么A，B，C.作DH⊥AC于H，翻折过程中，D′H始终与AC垂直，CH＝＝＝，那么OH＝，DH＝＝.因此可设D′，那么＝，与平行的单位向量n＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos〈，n〉|＝＝.所以cos α＝1时，cos θ取最大值.
图D154
9．解：设＝a，＝b，＝c.
那么|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，那么||＝.
(3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
因为异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
10．(1)证明：如图D155，连接BC1，交B1C于点O，连接AO.
图D155
因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.
由于AO⊂平面ABO.故B1C⊥AO.
又B1O＝CO，故AC＝AB1.
(2)解：因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，
所以AO＝CO.
又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC(SSS)．
故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如下图的空间直角坐标系O­xyz.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．
又OB＝1，那么OB1＝，OA＝.
故A，B(1,0,0)，B1，C.
＝，＝＝，
1＝＝.
设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，
那么即
所以可取n＝(1，，)．
设m是平面A1B1C1的法向量，
那么
同理可取m＝(1，－，)．
那么cos〈n，m〉＝＝.
所以结合图形知，二面角A­A1B1­C1的余弦值为.
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