第八章几何与向量代数.doc

个人收集整理 勿做商业用途第八章 第1节 向量及其线性运算1求在面上与三个已知点、等距离的点。解：设为面上所求的点，则解得， 故所求点为.2写出向量的坐标、模和方向余弦.解:=， ， , ， .3 已知向量的模为，且已知它与轴和轴的夹角均为，求的坐标表示式。解：设与同向的单位向量为，其中。故=.于是=。4 设向量的模为，它与轴的夹角为，求在轴上的投影。解：5 已知三点、，为线段的中点，求与平行的单位向量.解:设点,则，,，故D点的坐标为（2，1，3)，。 =第2节 数量积 向量积1 已知两两垂直，且，求的模和它与向量的夹角。解：=因,，。且。因此，=，。2向量与构成夹角，且，求。解：=17 =.3设，求：（1）与同方向的单位向量; (2）；（3）； （4）与的夹角。解：(1） ，故与同方向的单位向量为 。 (2） 。 (3） =. (4） =，故。4已知，与的夹角，求(1）;（2）。解： (1)=； （2)=.5设，求(1）的条件；（2）的条件。解:（1)。因，故。于是； （2）由，则,故。6已知三角形的顶点，求的面积.解:由于，=.所以=。7已知为单位向量，且满足，计算：。解:注意到。另一方面。因此。8设为任意向量,试用向量的数量积证明不等式.证:=。 故.第5节 平面及其方程1 求过点且与平面平行的平面方程是。2欲使平面，(1）与平面垂直，则；(2）与平面成45角，则。3点到平面的距离。4求过点和三点的平面方程。解：， n= 所求平面为 即。5求过点且垂直于平面和的平面方程。解:所求平面的法向量=，故所求平面方程为即。6 已知平面通过两平面和的交线，且与第一平面垂直，求的方程。解：设过交线的平面方程为,即.因与平面垂直的条件为得。故所求平面的方程为 .7 一平面通过两平面和的交线，且通过点，求此平面方程.解:过交线的平面方程为。因平面过点(1，8，2)，代入得。故所求平面方程为。8 求与平面平行且与三坐标面所构成的四面体体积为的平面方程.解:设该平面方程为，其中为待定常数。化为截距型有。由此。求得两平面分别为与.9求通过点和且与平面垂直的平面方程。解：。平面的法向量是所求平面法向量所求平面为(x1)-(y-1)=0，即。第6节 直线及其方程1 下列各组中的直线与平面的关系分别是（1) 和 平行；（2) 和 垂直；(3） 和在平面上。2 直线和平面间的夹角。3 过点且平行于直线的直线方程是。4 求过点且与直线垂直的平面方程。解：直线的方向向量。所求平面的法向量。 故平面方程为。5 求过点且通过直线的平面方程。解:化直线为一般式。则过直线的平面方程束为 。把点代入并解出.因而所求平面为。 6 求点到直线的距离。解：过点作垂直于直线的平面。即。求它与直线的交点. 即把代入平面方程得。 交点为，故所求距离为=.7 确定使直线垂直于平面，并求该直线在平面上的投影直线的方程。解：设，.由直线与平面垂直可得,故=1。设过直线的平面方程为，即。由于它与已知平面垂直，故。于是所设平面为.所求投影直线的方程为8求点N(1,2,0)在平面上的投影。解：过点（1，2，0）作垂直于已知平面的直线，并将它代入平面方程得。故点在平面上的投影为。9 已知一直线过点且平行于平面，又该直线与直线相交，求此直线方程。解：设两直线交点为.因M在已知直线上有。向量与平面平行，故，即,因此交点为。所求直线的方向向量为,所求直线为。10求两平行直线与之间的距离.解：已知为直线上的点，过M且与L1垂直的平面p的方程是：（x-1)+2(y+1)+2z=0。设点为平面p与直线上的交点，则，且解得,点。，所以两条直线之间的距离.