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第三章 Fredholm方程
§3.1 第二类Fredholm方程
考虑方程

（3.1.1）
设分别在和
连续,
.
定理3.1.1 时,
（3.1.1）有唯一解.
证明 作迭代解：
,
，

，

对最后一项交换积分顺序,得最后一项为：
，
记：
，

记：，
，
（3.1.2）
来估计积分

，

，

，

为（3.1.2）和式级数之强级数,即时,此强级数收敛.故（3.1.2）右边收敛,所以一致收敛,记,容易证明为方程（3.1.1）之唯一解.
至于唯一性,不妨设为另一解,则必然为其次方程

之解.
，

因为，所以
，
所以，
所以解唯一.
迭代求解时,有两种迭代格式.
A: ,
,

B：

称为迭核.
为解核.
迭代解为：

迭代格式B的变形为：
，
则

称为Neumann级数解.
例 求解：
解
故
所以可用级数解.
用Neumann级数

所以

.
所以

例 求之迭核解.
例 设方程核为
求迭核.
解

，
当时，

当时，
定理3.1.2 如满足

则核的迭核和解核等于分别以为核所得的迭核,解核之和.
证明 记为迭核,为迭核

,

证毕.
例 求核
的迭核.
解 显然

对,迭核为.对,

所以迭核为

§3.2 退化核
对第二类Fredholm方程

（3.2.1）
如它的核具有下面形式 ，（3.2.2）
称此核为退化核,而（3.2.1）称退化核方程,此时（3.2.1）化为：
（3.2.3）
设线性无关,也线性无关.
若不然,不妨设线性相关,
代入（3.2.2）

令

如还线性相关,重复上面的过程,直到无关为止.
对方程（3.2.3）,等价于

（3.2.4）
记：
, （3.2.5）
可得
,（3.2.6）
显然,只要找出,则通过（3.2.6）可得方程之解,为方便起见,将上式写成：
,
对上式两边用同乘,并求积分

记：

或
.
这是一个关于阶方程组,系数阵行列式为：

（3.2.7）
定理3.2.3 （Fredholm定理）对于齐次方程
， （3.2.8）
当时,有唯一解；当时,方程有任意个解,的值称为特征值,对每一特征值,（3.2.8）的对应解称为特征函数.
对非其次方程（3.2.4）,
,则对一切均有唯一解,时,如
则方程有任意解,如中至少一个不为零,方程无解.
例
解

所以

所以

得.
所以解为

例 讨论方程的解

解 取

所以

系数矩阵为：，

时,方程组有唯一解,
时,方程为
显然如,则方程无解,如
.代入（3.2.6）,可得解为：

.
为任意常数.
当时,方程化为
类似地讨论,可知无解,无数个解且解为

为常数.
当时,齐次方程为
.

当时,则方程只有零解.
时,得
即这是与特征值对应的特征函数.
同样,容易求出的全部特征函数为.
例 .
例 .
例 设核为,求它的特征值.

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