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第八章 分离变量法

对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数
分离变量法的思路:对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解,也就是通过分离变量法把x、t两个变量分开来,即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解,然后由叠加原理做出这些解的线性组合,最后由其余的定解条件确定叠加系数(叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理:线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解.
特点：（1）数学上
解的唯一性来做作保证.
（2）物理上
由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动
1。求两端固定的弦的自由振动的规律

第一步:分离变量（建立常微分方程定解问题）
令
这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同,振幅又是随位置变化,可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程
（偏微分就可写成微分的形式，对于u有两个变量,但对于X、T都只有一个变量)

变形得=
左边与t无关，右边与x无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x， t 是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。
方程左边为关于x的函数,方程右边为关于t的函数，只有当左右两边都等于常数的时候才成立
令其为（得到的两个常微分方程形式比较标准）

得到两个常微分方程
第三步：代入边界条件
得到： ，由于是t〉0得值，是一个范围内不固定的值，
所以
常微分方程含,未知,需要对进行讨论
，
特征(固有）值问题:含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。
特征（固有）函数:和特征值相对应的非零解
第四步:确定特征值并得到它的特征函数
分情况讨论：
1）<0时， 特征方程为，特征根为：
得通解为(A、B为待定系数)
把定解条件 代入通解
得到A+B=0

于是A=B=0即=0
则=0，零解无意义
即<0时，定解问题无解。
2）=0时，
有
A=B=0即=0
则=0，零解无意义
3）〉0时,
令（为非零实数）
特征方程为，特征根为虚数：i
通解为（A、B为待定系数)
把定解条件,代入通解
得到A =0，即
得到
在B≠0的情况下，有=0，即(n=1，2，3,…注意n≠0，若n=0，则=0，而为非零实数）
现在就完成了用分离变量法求解X（x）的部分，得到特征值为,所对应的特征函数为：
下面求解关于t的常微分方程
，将代入
，这种情况的通解与的〉0的情况相同。
即 （ n=1,2，3，…)
至此，所以定解问题的n个特解（这n个特解均满足边界条件）为:
= （ n=1,2,3,…)
根据叠加原理,特解的叠加仍是方程的解，所以得到通解

=（ n=1,2，3，…)
其中为待定系数（利用初始条件求解)
第五步： 利用本征函数的正交归一性确定待定系数

正是傅里叶正弦级数，、是傅里叶系数。
利用三角函数的正交性

（m≠n）
得到:
于是得到:
同理，
回顾整个求解过程，可作出分离变量法流程图

2. 解的性质
=——-----——方程的特解（前面是关于t的函数，后面是关于x的函数)
==
其中：，,
当时,=-———--———弦上确定的一点以频率做振动(弦上某点的振动方程）。
当时，=————-—-—-—某一时刻,特解为正弦函数的形式,所有点的位置，波动方程（驻波的方程)，每个特解代表一个驻波，因此分离变量法又称为驻波法。
标准的驻波方程：
的(驻波）波长为(n=1，2,3,…）

频率：
波速：
3。 分离变量法概要：
（1)作分离变量假设，代入方程和边界条件中得到固有值问题
(2）确定固有函数和固有值
(3）写出定解问题的特解
(4）将特解叠加无，给出通解
(5）用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
4. 回顾整体思路：
初始条件 定解问题 边界条件
将假设代入方程，此偏微分方程得到两个常微分方程 。
将边界条件代入，得到、，求解已知定解条件的常微分方程的特征值为，特征方程,
求解的特征函数，所以=。
根据叠加原理，特解的叠加是方程的通解，所以得到：
=，将初始条件代入，求解待定系数（傅立叶展开）。
分离变量法的适用条件：任何二阶线性（齐次）偏微分方程
例一：设有一根长为10个单位的弦,两端固定,初速度为零，初位移为，求弦做微小横振动时的位移。

解：设，代入
得到：

得到本征值问题：，
经讨论时，有非零解,
,，n=1，2,3，…
得到特征值: 得到特征方程:
于是：，其解为

=
=
将初始条件
运用分部积分法求解
=
=
，故=0。
所以=
例二:
解：设，代入
得到：

得到本征值问题：，
经讨论，（A、B为待定系数)
把定解条件 代入通解
得到A+B=0

于是A=B=0即=0
=0时, ，有,A=B=0即=0
时，,

所以 n=1,2,3，…
写出特征值和特征函数，
变为
，
所以=
所以=
由初始条件确定Cn、Dn。

，Dn=0
=
附录1：二阶常系数微分方程:
特征方程：
根的三种情况

得到常系数微分方程的通解:

附录2：线性方程满足叠加原理.
线性齐次方程（只含未知量的一次项，无零次项)通解为所有线性无关特解的叠加；而线性非齐次方程通解为其特解与相应齐次方程（去掉零次项后的线性方程)通解的叠加。
附录3:和差化积公式

cos(A—B）=cosAcosB+sinAsinB