微分方程的般概论与阶微分方程.doc

常微分方程练习卷（一）
微分方程的一般概论与一阶微分方程
选择题：
1.
可分离变量的微分方程sinxcosxdy-dlnydx=0的通解是( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
2.
微分方程是( ).
(A)可分离变量的议程
(B)齐次微分方程
(C)线性非齐次方程
(D)贝努利方程
3.
微分方程满足初始条件的特解为y=( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
4.
微分方程，满足的特解为( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
5.
下列微分方程不是微性微分方程式的是( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
6.
若微分方程为，则其通解为( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
7.
一阶线性性分方程的通解为( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
8.
下列微分方程不是全微分方程的是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
9.
微分方程满足初始条件的特解为（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
10.
微分方程的通解为（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
11.
若微分方程有积分因子，则满足（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
12.
若有办可积函数满足关系式，则（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
13.
若是方程的满足条件的解，则（ ）
(A) ln6
(B)ln3
(C) ln7
(D) ln5
14.
满足方程的解是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
15.
设函数由方程确定，且知有一点，使，则（ ）
(A) 在处取极大值
(B) 在处取极小值
(C) 在处不取极值
(D) 不能确定在处是否取极值
16.
满足，那么（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
17.
设可微函数满足，那么等于是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：
1.Ｃ
2. Ｂ
3.Ａ
4.Ｃ
5.Ｃ
6.Ｂ
7. Ｃ
8.Ｂ
9. Ｄ
10. Ａ
11. Ａ
12. Ｃ
13.Ｄ
14. Ｂ
15.Ｂ
16.Ａ
17.Ａ
1. 通解为的微分方程是_____________________.
2. 微分方程的通解为_____________________.
3. 微分方程的通解为_____________________.
4. 微分方程的通解为_____________________.
5. 以圆族为积分曲线族的一阶微分方程是_____________________.
6. 方程族可称为__________方程，其中若_________时，作变换，，，代入方程后，确定出α、β；变成含变量ξ，η齐次方程；若_________时，作变换____________可化成___________的方程.
7. 若，在单连能区域G内具有连续的一阶偏导数，一阶微分方程为，则其为全微分方程的充要条件为______________.
8. 微分方程满足初始条件的特解为_____________.
9. 微分方程的通解为______________.
10. 微分方程的通解为______________.
11. 若已知，则______________.
12. 微分方程的通解为______________.
13. 微分方程满足条件的特解为______________.
14. 微分方程满足初始条件的特解为______________.
15. 若函数可导，且对任何有，，则函数___________.
解答题：
1 求下列微分方程
⑴， ⑵
2 给定一阶微分方程，试求：
⑴方程的通解；
⑵过点（2，5）的特解；
⑶与直线相切的曲线方程.
3 物体在空气中的冷却速度与物体的温差成正比，如果物体在20分钏内由100℃冷却至60℃，那么在多长时间内这处物体的温度达到30℃（假设空气温度为20℃）？
4 求下列可分离变量微分方程的通解：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
5 已知曲线过点（1，1/3），且在曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线的斜率的两倍，求此曲线方程.
6 求下列齐次微分方程的通解：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
7 求下列一阶线性方程的特解：
⑴ ⑵
⑶
8 飞机从地面起飞后，以速度v飞行，已知速度在垂直方向的公里/秒，其中H表示收音机与地面的距离，求上升高度H与时间的关系.
9 设有微分方程，其中，试求在内的连续函数，使之在内和内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.
10 求解下列微分方程：
⑴ ⑵
⑶
11 已知，求.
12 求的通解.
13 求方程满足的特解.
14 求曲线方程，使其切线长那切点和切线与x轴交点之间的线段长度为常数a.
15 子弹以的速度打进厚度为h=20cm的培墙壁，穿过后以的速度而飞出.假定墙壁对子弹运动阻力和速度平方成正比，求子弹穿过墙壁的时间.
16 一质量为m的物体，在常力p的作用下沿直线运动，设开始时速度和路都等于零，而阻力与速度的平方成正比.试求速度、路程与时间的函数关系.
17 已知曲线的切线和切点的矢径相交成定角α，求此曲线.
18 求经过点（0，2）的曲线，使对应于区间[0，x]上的曲边梯形的面积等于该段弧长的两倍.
19 求具有性质的函数，已知存在.
20 设y(x)在≤x＜∞上连续可微，且，求证：.
21 利用积分因子解伯努利方程：.
22 设f(x)在≤x＜∞上连续且（b是某一常数）.求证：当a＞0时，方程的一切解当x→∞时趋于b/a；而当a＜0时，方程有且只有一个解有此性质.
23 当x≥1时，函数恒有，将曲线，二直线以及x轴这四者所围成的图形绕x轴放置一周所产生的立体体积设为，对于适合的一切a恒有 ，试解答下列各问：
⑴求关于的微分方程；
⑵设，利用⑴求得的微分方程，试求关于z的微分方程；
⑶当时，求.
24 设将质量为m的物体在空气中以速度v0竖直上抛，空气阻力为R=kv，试求速度与时间的函数关系.
25 在过在（2，3）点的单调光滑曲线上任取一点，作丙坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴及曲线围成的面积是另一平行线与y轴及曲线转成面积的2倍，求此曲线方程.
26 求下列未解出导数的一阶微分方程，其中：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
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