浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷.doc

浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试
数学理科试卷
注意事项:1。本试卷满分150分，考试时间120分钟
2．整场考试不准使用计算器
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设全集,集合,,则（　　）
A． B． C． D．

2。 函数的图像为 ( )
A
B
C
D

3. 设是两条直线,是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
4。 阅读如图所示的程序框图,若输入,则输出的值是()
A． B． C． D．
5。 已知命题；
命题 则下列命题中真命题是（ ）
A． B． C． D．
6．设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不
经过区域D上的点,则的取值范围是（　　）

A． B．
C． D．
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（　　）
A． B． C． D．
8. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（　　)
A． B． C．2 D．
9. 已知函数，函数,若存
在，使得成立,则实数的取值范围是( ）
A． B． C． D．
10.已知函数=，把函数的零点按从小到大的顺
序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．
11．设，在二项式的展开式中，含的项的系数与含的项的系数相等，则的值为 ．
12。在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度
相等，直线的倾斜角为锐角,则的斜率为 ．
13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___
14。由1，2，3,4,5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，
则这样的六位数共有 ___ 个．
15.平面向量，，满足,，，,则的最小值为 ．
16.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共
点,则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知
，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点,则该直线的
倾斜角为__________
17。已知集合，若对于任意,存在，使得成立,则称集合M是“垂直对点集”。给出下列四个集合：
①； ②;
③; ④.
其中是“垂直对点集"的序号是
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18。 (本题满分14分）
已知函数 在区间上单调递增，在区间上单调递减；
如图,四边形中，，,为的内角的对边,且满足
.
(1）证明：
(2)若，，,,
求四边形面积的最大值。

19. (本题满分14分）
某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%
（1）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；
（2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？

20。 （本题满分14分）
在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面,
平面平面, ,且
（1）若,求证:平面
（2）若二面角为60°,求的长。

21。 (本题满分15分）
已知椭圆C:，⊙， 点A,F分别是椭圆C的左顶
点和左焦点， 点F不是上的点，点P是上的动点.
（1）若，PA是的切线，求椭圆C的方程；
(2）是否存在这样的椭圆C，使得恒为常数?如果存在，求出这个数及C的离心率e；如果不存在,说明理由。

22. （本题满分15分） 设．
(1)若，求最大值;
（2）已知正数，满足．求证：;
（3）已知，正数满足．证明:
．
浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试
数学理科试卷参考答案
1—10 BCCCD CBADB
11、1 12、2/5 13、 14、120 15、5/4 16、或 17、②④
18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:,解得：，

（Ⅱ）因为,所以,所以为等边三角形

，
,,
当且仅当即时取最大值,的最大值为
19、(1）
（2）第10年年初
20、【答案】解: (Ⅰ)分别取 的中点，连接，
B
E
D
C
A
M
N
P

则∥，∥,且
因为，,为的中点，
所以,
又因为平面⊥平面,
所以平面
又平面,
所以∥
所以∥，且,因此四边形为平行四边形，
所以∥,所以∥，又平面,平面,
所以∥平面
(或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量，计算即证）
M
B
E
D
C
A
N

（Ⅱ）解法一：
过作的延长线于，连接.
因为,，
所以平面,平面
则有。
所以平面,平面,
所以。
所以为二面角的平面角，
即
在中,,则 ，。
在中,。
设,则，所以,又
在中，，即=
解得,所以
解法二:
B
E
D
C
A
M
x
y
z

由(Ⅰ）知平面，,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,
,，
，。
设平面的法向量
则 所以
令， 所以 ［来源:Z_xx_k.Com］
又平面的法向量
所以
解得, 即
21、(1） （2)
（）
时，，当时，.即在上递增，在递减.故时，有。（3分）
,则
易证在在上递增，在上递减。 时，有.
，即，
即证 （8分）

① 当时，命题显然成立;
② 假设当时,命题成立，即当时,
。则当，即当时，
，又假设知
，即

=.
这说明当时，命题也成立。
综上①②知，当，正数满足时
（14分）
（以上答案仅供参考,其他解法请作情给分.）