浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷.doc

浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷注意事项:1。本试卷满分150分，考试时间120分钟 2整场考试不准使用计算器一、选择题:本大题共10小题，每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集,集合,则（）ABCD2。 函数的图像为 ( )ABCD3. 设是两条直线,是两个平面，则的一个充分条件是（ ）ABCD4。 阅读如图所示的程序框图,若输入,则输出的值是()A B C D5。 已知命题；命题 则下列命题中真命题是（ ） A B C D6设不等式组表示的平面区域为D若圆C：不经过区域D上的点,则的取值范围是（）A B C D7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A B C D8. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（)A B C2 D9. 已知函数，函数,若存在，使得成立,则实数的取值范围是( ）A BC D 10.已知函数=，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（)A B CD二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分11设，在二项式的展开式中，含的项的系数与含的项的系数相等，则的值为 12。在平面直角坐标平面上，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角,则的斜率为 13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为_ 14。由1，2，3,4,5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 _ 个15.平面向量，满足,，,则的最小值为 16.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点,则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点,则该直线的倾斜角为_17。已知集合，若对于任意,存在，使得成立,则称集合M是“垂直对点集”。给出下列四个集合：； ; .其中是“垂直对点集的序号是 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18。 (本题满分14分）已知函数 在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图,四边形中，,为的内角的对边,且满足.(1）证明：(2)若，,求四边形面积的最大值。19. (本题满分14分）某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%（1）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；（2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？20。 （本题满分14分）在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面,平面平面, ,且（1）若,求证:平面（2）若二面角为60,求的长。21。 (本题满分15分）已知椭圆C:， 点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点， 点F不是上的点，点P是上的动点.（1）若，PA是的切线，求椭圆C的方程；(2）是否存在这样的椭圆C，使得恒为常数?如果存在，求出这个数及C的离心率e；如果不存在,说明理由。22. （本题满分15分） 设(1)若，求最大值;（2）已知正数，满足求证：;（3）已知，正数满足证明: 浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷参考答案110 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、 14、120 15、5/4 16、或 17、18、【答案】解:()由题意知:,解得：， （）因为,所以,所以为等边三角形 ， , 当且仅当即时取最大值,的最大值为 19、(1）（2）第10年年初20、【答案】解: ()分别取 的中点，连接， BEDCAMNP 则，,且 因为，,为的中点， 所以, 又因为平面平面, 所以平面 又平面, 所以 所以，且,因此四边形为平行四边形， 所以,所以，又平面,平面, 所以平面 (或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量，计算即证） MBEDCAN （）解法一： 过作的延长线于，连接. 因为,， 所以平面,平面 则有。 所以平面,平面, 所以。 所以为二面角的平面角， 即 在中,则 ，。 在中,。 设,则，所以,又 在中，即= 解得,所以 解法二: BEDCAMxyz 由(）知平面，, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则, ,， ，。 设平面的法向量 则 所以 令， 所以 来源:Z_xx_k.Com又平面的法向量 所以 解得, 即 21、(1） （2)（）时，当时，.即在上递增，在递减.故时，有。（3分）,则易证在在上递增，在上递减。 时，有.，即，即证 （8分） 当时，命题显然成立; 假设当时,命题成立，即当时,。则当，即当时，又假设知，即=.这说明当时，命题也成立。综上知，当，正数满足时 （14分）（以上答案仅供参考,其他解法请作情给分.）