函数与极限测试题及标准答案(二).doc

函数与极限测试题（二）
一. 选择题
1.设是连续函数的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有( ).
（A）是偶函数)是奇函数. （B）是奇函数是偶函数.
（C）是周期函数是周期函数. （D）是单调函数是单调函数
2．设函数则( )
（A） ，都是的第一类间断点.
（B） ，都是的第二类间断点
（C） 是的第一类间断点，是的第二类间断点.
（D） 是的第二类间断点，是的第一类间断点.
3．设，，则 ( )
A） B） C） D）
4．下列各式正确的是 ( )
A） B）
C） D）
5．已知，则( )。
A.1； B.； C.； D.。
6．极限：( )
A.1； B.； C.； D.。
7．极限：=（ ）
A.1； B.； C.0； D.2．
8．极限：=（ ）
A.0； B.； C ； D.2．
9. 极限：=（ ）
A.0； B.； C.2； D. ．
10．极限: =（ ）
A.0； B.； C. ； D.16．
二. 填空题
11．极限= ； 12. = ；
13. 若在点连续，则= ；
14. ； 15. ；
16. 若函数，则它的间断点是
17. 绝对值函数
其定义域是 ，值域是 。
18.符号函数 其定义域是 ，值域是三个点的集合 。
19无穷小量是 。
20. 函数在点连续，要求函数满足的三个条件是 。
三. 计算题
21.求 ； 22.设求(其中)；
23.求； 24.求；
25.求； 26. 已知，求的值；
27. 计算极限 ；28.求它的定义域。
29. 判断下列函数是否为同一函数：
⑴与 ； ⑵与；
⑶与； ⑷与；
⑸与。
30. 已知函数， 求；
31. 求 ； 32. 求 ；
33. 求 ； 34. 求 。
35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴ ， ； ⑵ ， 。
36.求； 37. 求；
38.求； 39.求当x→∞时，下列函数的极限。
40. 求当时，函数的极限。
41.求； 42.求；
43.求； 44.求；
45.求； 46.求；
47.求 。
48. 研究函数在点处的连续性。
49. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
50. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
51. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
52.求；
53.求；
54. 试证方程在区间[1，2]至少有一根。
55. 求。
56. 试证正弦函数在区间 (-∞， +∞) 内连续。
57. 函数；在点处是否连续？
58. 函数 ；是否在点连续？
59. 求极限 .
函数与极限测试题答案（二）
一.选择题
1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且
当为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.
【评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函数的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然，为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数在， 点处无定义，因此是间断点.且 ，所以为第二类间断点；
，，所以为第一类间断点，故应选(D).
【评注】 应特别注意：， 从而，
3 - 8 CACCAC
8.∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：
原式 = . （有理化法）
9 -10 DC
10.解：原式.
注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式.
二.填空题
11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.； 16.；17. ；
18. ；
19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量
20.①函数在点处有定义；②时极限存在；③极限值与函数值相等，即。
三. 计算题
21.【分析】 型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.
【详解】 =
==
22. ； 23.； 24.； 25.； 26.；27. 3
28. 解：由解得；由解得；由解得；
所以函数的定义域为或表示为。
29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。
30.解：；；
。
31.解：
；
32. 解：；
33 .解： ；

34.解：
35.解：⑴因为 ，；所以函数在指定点的极限不存在。⑵ 因为，；所以函数在指定点的极限。
36.；
37.；
38.；
39.

40.

41.
42.
43. 原式= 44. 原式
45. 原式
46. 原式
47. 原式
48.解

49. 间断，函数在处无定义且左右极限不存在，第二类间断点
50. 间断，函数在处左右极限不存在，第二类间断点
51. 间断，但，两者不相等，第一类间断点
52. 解：
53. 解：
54. 证明：设，则在[1，2]上连续，
根据零点定理，必存在一点使，则就是方程的根。
55. 原式
56. 证明：，任给一个增量，对应的有函数的增量.
∵ ，由夹逼准则知，，再由的任意性知正弦函数 在其定义域上处处连续，即它是连续函数。
57. 解：注意f (x)是分段函数，且点两侧f表达式不一致。
解法1： ，
， ∴ .
又， ∴ 函数在点处连续（图1—19）。
解法2 ∵， ∴ 函数在点左连续；
又∵ ， ∴ 函数在点右连续，所以函数在点连续。
58 证 虽然是分段函数，但点两侧函数表达式一致。
∵ ，∴ 在点处连续。
59. 解：令，则，当时，，
∴ 原式.
特别地，，这表明时，.
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