初二轴对称模拟题以及答案.doc

一．选择题（共6小题）
1．如图，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（　　）

A．
120°
B．
125°
C．
130°
D．
140°

2．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（　　）

A．
60°
B．
110°
C．
120°
D．
135°

3．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：①DE=DF；②AE+AF=AB；③S四边形AEDF=S△ABC；④EG+FH=BC．其中正确结论的序号是（　　）

A．
只有②③
B．
只有①②
C．
只有①②③
D．
①②③④

4．如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　）

A．
①②③④
B．
只有①②，
C．
只有②③
D．
只有①③

5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是（　　）

A．
只有①②④
B．
只有①②③
C．
只有②③④
D．
只有①③④

6．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么下列结论正确的是（　　）
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②∠BFC=90°+∠BAC；
③△ADE的周长为AB+AC；
④AF平分∠BAC．

A．
①③④
B．
①②
C．
①②③④
D．
②③④

二．填空题（共2小题）
7．如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF∥AB，已知AF=4cm，则DE=　_________　．

8．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=　_________　度．

三．解答题（共10小题）
9．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．

10．在△ABC中，点P为BC的中点．

（1）如图1，求证：AP＜（AB+AC）；
（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连接DE．
①如图2，连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：BC≥DE．

11．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．

12．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．

13．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，点F为BC边上的中点，点E在AB边上，若EF=DF，判断CE与AB的位置关系，并说明理由．

14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．

15．如图，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD=CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，
求证：FG=BF+CG．

16．如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，
（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；

（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明．

17．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°
（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；
（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．

18．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，
（1）若BC=AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；
（2）若BC=BA+CD，求∠A的度数？
（3）若∠A=100°，求证：BC=BD+DA．

一．选择题（共6小题）
1．如图，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（　　）

A．
120°
B．
125°
C．
130°
D．
140°
考点：
线段垂直平分线的性质。767691
专题：
计算题。
分析：
根据线段垂直平分线性质，OA=OB=OC．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，先求出∠OBC+∠OCB，再求∠BOC．
解答：
解：∵O是△ABC的两条垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB．
∵∠BAC=70°，
∴∠OBA+∠OCA=70°，∠OBC+∠OCB=40°．
∴∠BOC=180°﹣40°=140°．
故选D．
点评：
此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法，难度不大．

2．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（　　）

A．
60°
B．
110°
C．
120°
D．
135°
考点：
等边三角形的性质。767691
专题：
几何图形问题。
分析：
∠FAE+∠AEF可转化为∠FAE+∠EBC+∠C，由∠EBC=∠BAD，所以又可转化为∠FAE+∠BAD+∠C，进而可求解．
解答：
解：在等边△ABC中，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，又BD=CE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，
∠FAE+∠AEF=∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C=60°+60°=120°，
故选C．
点评：
题中重点在于由∠BAD=∠CBE而得∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C的过程，即角的转化．

3．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：①DE=DF；②AE+AF=AB；③S四边形AEDF=S△ABC；④EG+FH=BC．其中正确结论的序号是（　　）

A．
只有②③
B．
只有①②
C．
只有①②③
D．
①②③④
考点：
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质。767691
分析：
考查直角三角形及等腰三角形的性质及判定问题，利用全等三角形判断线段相等，例如在①中，可求解Rt△EGD≌Rt△DHF，同样后面几问也都可用全等解答．
解答：
解：如图所示，
∵DE⊥DF，∴∠EDG+∠FDH=90°
∵∠EDG+∠GED=90°∴∠GED=∠FDH，
∴Rt△EGD≌Rt△DHF，∴DE=DF，①正确；
连接AD，由①得，DE=DF，
∵DC=AD，∠FDC=∠ADE，
∴可证△AED≌△CFD，
∴FC=AE，∴AE+AF=AB，②正确，
∵BE=AF，∠CAD=∠B=45°，AD为公共边，
∴△ADF≌△DEB，又△AED≌△CFD，∴③也正确，
④中由①得GD=FH，又∠B=45°
∴BG=EG，EG+FH=BC，④正确
∴①②③④都正确，故选D．

点评：
熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质，能够通过全等求角相等，线段相等．

4．如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　）

A．
①②③④
B．
只有①②，
C．
只有②③
D．
只有①③
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。767691
分析：
考查等边三角形的性质，在等边三角形中，角平分线即为中线，也为垂线，然后再利用全等，角相等进行判断．
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，∴①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，④也正确
∵①②③④都正确，故选A．
点评：
熟练掌握等边三角形的性质．

5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是（　　）

A．
只有①②④
B．
只有①②③
C．
只有②③④
D．
只有①③④
考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。767691
专题：
动点型。
分析：
利用三角形全等，得到结论，利用排除法即可求解．
解答：
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE①成立，排除C，
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，
又∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又AC=BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，排除D，
由△CQB≌△CPA得AP=BQ③成立，排除A．
故选B．
点评：
作为选择题出现，应掌握这类型题基本的做题思路，判断出两对三角形全等，中间的三角形为等边三角形等．

6．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么下列结论正确的是（　　）
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②∠BFC=90°+∠BAC；
③△ADE的周长为AB+AC；
④AF平分∠BAC．

A．
①③④
B．
①②
C．
①②③④
D．
②③④
考点：
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质。767691
分析：
①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；
②利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式；
③由①可得△ADE的周长为AB+AC；
④三角形的三条角平分线交于一点，可知AF平分∠BAC．
解答：
解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF=∠EFC，
∴EF=EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°﹣﹣﹣﹣﹣（1）
在△BFC中∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°
即∠CFB+∠ABC+∠ACB=180°﹣﹣﹣﹣（2）
（2）×2﹣（1）得②∠BFC=90°+∠BAC；
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD=DF，EF=EC，
△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC；
④∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点
∴第三条平分线必过其点，即AF平分∠BAC．
故选C．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．

二．填空题（共2小题）
7．如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF∥AB，已知AF=4cm，则DE=　2cm　．

考点：
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定。767691
专题：
计算题。
分析：
由角平分线的定义和平行线的性质易得DF=AF=4m，∠DFC=∠BAC=30°，作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质可得，DG=DE，在Rt△FDG中，易得DG=DF=2cm，即可求得DE．
解答：
解：作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，DE=DG，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，∠DFC=∠BAC=30°，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF=AF=4m，
∴Rt△FDG中，DG=DF=2cm，
∴DE=2cm．
故答案为：2cm．

点评：
此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中30°锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键．

8．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=　30　度．

考点：
等边三角形的性质。767691
专题：
几何图形问题。
分析：
作AB的垂直平分线，再根据等边三角形的性质及全等三角形的性质解答即可．
解答：
解：作AB的垂直平分线，
∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰三角形；
∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∠BCE=30°；
∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD；
∴△BDC≌△BDP，所以∠BPD=30°．
故应填30°．

点评：
此题难度不大，解答此题的关键是作出辅助线，再利用等边三角形的性质求解．

三．解答题（共10小题）
9．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．

考点：
切割线定理；勾股定理；相交弦定理。767691
专题：
证明题。
分析：
根据C、E、O、D四点共圆，根据切割线定理可得：PC•PE=PD•PO，并且可以证得Rt△SPD∽Rt△OPS，即可证得PS2=PD•PO，
再根据切割线定理即可求解．
解答：
证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；
连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，
于是
因为C、E、O、D四点共圆，
所以PC•PE=PD•PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以
即PS2=PD•PO
而由切割线定理知PS2=PA•PB
所以
即

点评：
本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键．

10．在△ABC中，点P为BC的中点．

（1）如图1，求证：AP＜（AB+AC）；
（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连接DE．
①如图2，连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：BC≥DE．
考点：
平行四边形的判定与性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理。767691
专题：
分类讨论。
分析：
（1）可通过构建平行四边形求解；延长AP至H，使PH=AP；则AH、BC互相平分，四边形ABHC是平行四边形；在△ACH中，由三角形三边关系定理知：AH＜AC+CH，而HC=AB，AH=2AP，等量代换后即可证得所求的结论；
（2）①可按照（1）题的思路求解；过B作AE的平行线，交DE于H，连接AH、CH；易知AD=AE，若∠BAC=60°，则△ADE是等边三角形，易证得△DBH也是等边三角形，此时DB=BH=AC，则四边形ABHC的一组对边平行且相等，则四边形ABHC是平行四边形；由此可证得P是平行四边形ABHC对角线的交点，且AH=2AP；下面可通过证△DBE≌△DHA得出AH=DE，从而得出DE=2AP的结论；
②分两种情况：
一、AB=AC时，由题意易知AB=AC=BD=CE，则BC是三角形ADE的中位线，此时DE=2BC；
二、AB≠AC时，仿照①的思路，可以BC、BD为边作平行四边形DBCG，连接GE；易证得△ABC≌△CEG，则AB=GE；而根据平行四边形的性质易知BC=DG，那么在等腰△DGE中，DG=GE，根据三角形三边关系定理知：DG+GE＞DE，即2BC＞DE；
综合上述两种情况即可证得所求的结论．
解答：
（1）证明：延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC，PH；
∵BP=PC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∴AB=HC；
在△ACH中，AH＜HC+AC；
∴2AP＜AB+AC；
即
（2）①答：BE=2AP．
证明：过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH；
∴∠1=∠BAC=60°；
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；
∴△BDH是等边三角形；
∴BD=DH=BH=AC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点，
∴点A，P，H共线，
∴AH=2AP；
在△ADH和△EDB中，；
∴△ADH≌△EDB；
∴AH=BE=2AP；
②证明：分两种情况：
ⅰ）当AB=AC时，
∴AB=AC=DB=CE；
∴BC=；
ⅱ）当AB≠AC时，
以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG，
∵AB=CE；
∴△ABC≌△CEG；
∴BC=EG=DG；
在△DGE中，DG+GE＞DE；
∴2BC＞DE，即；
综上所述，BC≥．

点评：
此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．

11．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．

考点：
四点共圆；全等三角形的判定与性质。767691
专题：
证明题。
分析：
（1）连接PD，四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，根据内角和定理可求∠ADC=90°，则A、B、C、D四点共圆，对角线AC为直径，P点为圆心，△PBD为等腰三角形，根据圆周角定理∠BPD=2∠BAD，可证∠PBD=30°；
（2）作SN⊥BP于点N，由（1）的结论可知SN=SB，利用线段之间个关系证明MS=SB=SN，从而判断Rt△PMS≌Rt△PNS，得出∠MPS=∠NPS=30°，由圆周角定理得∠PAB=∠NPS，则∠DAC=∠BAD﹣∠PAB=45°，又AC为直径，故AD=DC．
解答：
证明：（1）由已知得∠ADC=90°，
从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM==∠BAD=60°，
从而∠PBM=30°；
（2）作SN⊥BP于点N，则．
又，
∴，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以，
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．

点评：
本题考查了四点共圆，三角形全等的判定与性质．关键是判断△ABC，△ADC，公共斜边AC，利用圆周角定理求相关的角．

12．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．

考点：
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质。767691
专题：
证明题。
分析：
过E作EF∥AB且交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△BDG≌△FEG，根据全等三角形的性质即可证得结论．
解答：
解：过E作EF∥AB且交BC延长线于F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠B，
∵∠ACB=∠FCE，
∴∠F=∠FCE，
∴CE=EF，
∵BD=CE，
∴BD=EF，
在△DBG与△GEF中，，
∴△DBG≌△GEF（AAS），
∴GD=GE．

点评：
此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．

13．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，点F为BC边上的中点，点E在AB边上，若EF=DF，判断CE与AB的位置关系，并说明理由．

考点：
直角三角形斜边上的中线。767691
分析：
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，再结合已知EF=DF，可得BC=2EF，根据直角三角形的判定可知△BEC是直角三角形，从而得证CE与AB的位置关系是垂直．
解答：
解：∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°，即△BDC是直角三角形
∵点F为BC边上的中点，
∴BC=2DF
∵EF=DF
∴BC=2EF
∴△BEC是直角三角形，即∠BEC=90°
∴CE与AB的位置关系：CE⊥AB．
点评：
灵活运用直角三角形的性质和判定是解决此类问题的关键．

14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．

考点：
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。767691
专题：
证明题。
分析：
（1）根据在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中点，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可证明：△ADF≌△CEF．
（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可证明△DFE是等腰直角三角形．
解答：
证明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中点，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF与△CEF中，，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
（2）∵△ADF≌△CEF，
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．
点评：
此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有点难度，属于中档题．

15．如图，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD=CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，
求证：FG=BF+CG．

考点：
全等三角形的判定与性质。767691
专题：
证明题。
分析：
可在BC上截取GH=GC，可得△EHC是等腰三角形，进而得出AB∥EH，再证△BDF≌△HEF，通过线段之间的转化即可得出结论．
解答：
证明：在BC上截取GH=GC，连接EH，
∵EG⊥BC，GH=GC，∴EH=EC，∴∠EHC=∠C，
又AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠EHC=∠ABC，
∴EH∥AB，∴∠DBF=∠EHF，∠D=∠DEH，
又EH=EC=BD，
∴△BDF≌△HEF，∴BF=FH，
∴FG=FH+HG=BF+GC．

点评：
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．

16．如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，
（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；

（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明．

考点：
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质。767691
专题：
证明题。
分析：
（1）根据线段垂直平分线和等边三角形的性质可得AD=DC，∠ABD=30°，再由正弦定理可以证明
DA+DC=DB；
（2）延长DA到E，使得∠EBD=60，由已知可知△EBD是一个等边三角形，再证明△EBD≌△CBD，
得出EA=DC，从而证明BD=ED=EA+AD=DC+AD；
（3）可直接得DA，DC，DB的数量关系．
解答：
证明：（1）点D只能在AC的下边，容易得到BD是AC的中垂线，因此AD=DC，∠ABD=30°，
在三角形内由正弦定理可以得到=，
可以很快得到BD=2AD=AD+AC；
（2）延长DA到E，使得∠EBD=60，
又∠ADB=60°
因此△EBD是一个等边三角形，
所以BE=ED=BD，又AB=BC，
所以△EBD≌△CBD，
因此EA=DC，
所以BD=ED=EA+AD=DC+AD；
（3）DC＜DA+DB．

点评：
本题综合考查了线段垂直平分线和等边三角形的性质，同时考查了正弦定理和全等三角形的判定与性质，由于等边三角形的特殊性第（2）题的结论在等边三角形的其它边同样适用．

17．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°
（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；
（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．

解答：
解：（1）连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，
∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，
∴OC=OA=OB，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，
∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，
在△AOQ和△CON中，
AQ=CN，∠A=∠OCN，OA=OC，
∴△AOQ≌△CON，
∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，
∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，
又∠MON=45°，
∴∠QOM=45°，
在△QOM和△NOM中，
OQ=ON，∠MON=∠QOM，OM=OM，
∴△QOM≌△NOM（SAS），
∴QM=NM，
则AM=AQ+QM=CN+MN；
（2）MN=AM+CN．

点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和、差、倍、分问题通常情况下先在较长的线段上截取一段与其中一条线段相等，然后构造全等三角形证明剩下的线段与另一条线段相等，本题的突破点是截取出AQ=CN，构造全等三角形，证明QM=NM．

18．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，
（1）若BC=AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；
（2）若BC=BA+CD，求∠A的度数？
（3）若∠A=100°，求证：BC=BD+DA．

考点：
角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。767691
专题：
证明题。
分析：
（1）在BC上截取BE=BA，连接DE，证△ABD≌△EBD，推出AD=DE=CE，∠A=∠DEB，证出∠A=2∠C，因为∠C=∠B，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）在BC上截取CF=CD，连接DF，证△ABD≌△FBD，推出∠A=∠DFB，推出2∠A﹣∠C=180°，根据三角形内角和定理得到∠A+2∠C=180°，解方程组即可求出答案；
（3）BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW，求出CQ=DQ，证△WBD≌△CBD，推出∠W=∠DQB，证AD=DW，即可推出答案．
解答：
解：（1）答：∠A=90°．理由如下：
在BC上截取BE=BA，连接DE．
∵BC=AB+AD，
∴CE=AD，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB=BE，D=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=DE=CE，∠A=∠DEB，
∴∠C=∠EDC，
∴∠A=∠DEB=∠C+∠EDC=2∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴4∠C=180°，
∴∠C=45°，∠A=2∠C=90°，
即∠A=90°；
（2）解：在BC上截取CF=CD，连接DF．
∵BC=BA+CD，
∴BF=BA，
∵∠ABD=∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴∠A=∠DFB，
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴∠C+2∠DFC=180°，
∵∠A+∠DFC=180°，
∴2∠A﹣∠C=180°，
∵∠A+2∠C=180°，
解得：∠A=108°，
答：∠A的度数是108°．
（3）证明：
在BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW．
∵∠A=100°，AC=AB，
∴∠C=∠ABC=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBQ=20°，
∵BD=BQ，
∴∠DQB=∠BDQ=（180°﹣∠DBQ）=80°，
∴∠CDQ=∠DQB﹣∠C=40°=∠C，
∴DQ=CQ，
∵在△WBD和△QBD中
，
∴△WBD≌△QBD，
∴∠W=∠DQB=80°，DW=DQ=CQ，
∵∠BAC=100°，
∴∠WAD=180°﹣100°=80°=∠W，
∴AD=DW=DQ=CQ，
∴BC=BD+DA．

点评：
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

22 / 22