数学上期期末复习专题：元次方程专题复习(Word版含解析点评和练习).doc

一元二次方程专题复习
制卷：赵化中学 郑宗平
专题一：一元二次方程及应用部分例析
知识点：
1、一元二次方程：①定义；②、一般形式：，会求一般形式下的二次项系数 ，一次项系数及常数项；
2、一元二次方程的四种解法：①、直接开平方法；②、配方法；③、公式法；④、因式分解法；选用适当方法解一元二次的方程同时特别注意用配方法解一元二次方程.
3、了解：①、换元法解特殊的（具有“倒数”和“平方”等特殊结构形式）的一元二次方程；②、可以化为一元二次方程的分式方程的解法和和步骤；③、绝对值方程的解法.
4、会利用方程的根进行整体代入求某些代数式的值；
5、一元二次方程的应用：①列一元二次方程解应用题的六个基本步骤：审→设→列→解→验→答）；②、常见类型：增长率、几何面积、数字数位、速度变化及动点，最大利润、方案的合理性问题等.
例题解析及课堂练习：
例1、k为何值时，关于x的方程是一元二次方程，并指出二次项系数 ，一次项系数及常数项.
分析：本题的实质是对一元二次方程的概念考察，由于不可能成为未知数项的二次项，所以希望只有在上，只要满足就可以保证此方程是一元二次方程.的确定后，后面一切问题便解决了.
练习：写出方程二次项系数 ，一次项系数及常数项.
例2、用配方法解：
分析：本题的关键是有两点:其一、含未知数项的系数化为1,；其二、方程两边同时加
含未知数项系数一半的平方.
略解：

即 或
解得：，
练习：1、①、；②、；
2、用配方法解：①、；②、.
例3、解方程：⑴、；⑵、
分析：本例的两道题用普通解法要困难些，若用换元法解虽然多一道程序，但更容易理解.
略解：⑵、若设，则原方程可以换元为：;解得：
即，解得：.
练习：1、；2、
3、；4、；5、.
例4、已知a是方程的根，则；.
分析：本题是对一元二次方程解得概念和整体思想的考察.
略解：代入方程得:
则，.
练习：已知：是方程的根，则；.
例5、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件的商品售价为a元，则可以卖出（350-10a）件，但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价应定为多少元？
略解：根据题意方程应该是:

解得：
又有 ，解得：
需要卖出商品的件数为（350-10a）=350-10×25=100（件） ，每件商品的售价=a=25(元）
答：需要卖出商品的件数为100件，每件商品的售价应为25元.
练习：
1、某商店销售某品牌学生装，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为扩大销量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：如果每件降价4元，平均每天就会多售出8件.
⑴、要想平均每天在销售这种服装上盈利1200元，那么每件应降价多少元？
⑵、如果设降价为x元，盈利为y元，要使盈利y达到最大，应降价的x为多少元？此时的最大盈利y是多少元？
2、《探究丛书》选练
课外选练：
一、填空：
1、若方程的一根为1，则a= ,另一根是 .
2、已知：，则x= .
3、已知：，则= .
4、用换元法解，设，则原方程变形成y的形式为： .
5、方程是关于x的一元二次方程，则m= .
6、已知是方程的根，则= ，= ，= .
二、解下列方程：
1、（用配方法）； 2、；
3、； 4、；
三、已知a是方程的根，的值？
四、已知c为实数，并且的一个根的相反数是方程的一个根，求的根和c的值？
五、某种水稻原品种亩产500千克，出米率70%，新品种每亩收获的稻谷可加工大米462千克，新品种与原品种相比较，亩产量和出米率均大幅度上升，且稻谷的增长率是出米的增长率的2倍，求稻谷产量的增长率？
六、如图，△ABC中，AC=50cm,CB=40cm,∠C=90°,点P
从点A开始沿AC边向点C 以2cm/秒的速度移动，同时
另一点Q从点C开始以3cm/秒的速度移动沿CB边移动,
问：几秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的？
专题二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系部分
知识点：
1、一元二次方程的根的情况是由判定：
⑴.一元二次方程方程有两个不相等的实数根；
⑵.一元二次方程方程有两个相等的实数根；
⑶.一元二次方程方程无实数根；
⑷.一元二次方程方程有两个实数根.
2、掌握一元二次方程的根的判别式的应用常见的类型：①、判定根的情况；②、进行相关的证明；③、根据根的情况来确定字母的取值（范围）.
3、若二次三项式是完全平方式，则.
4、当一元二次方程根为，则：.（韦达定理）
5、了解一元二次方程的根与系数关系定理（韦达定理）的应用常见的类型：
①.判定根的情况（注意含字母系数的一元二次方程）；
②.已知一根，求另一根和待定字母的值；
③.已知两根写出方程〔关于x的一元二次方程若，设两根为，则〕；
④.求“嵌入”了两根为结构的代数式的值〔注意各种变形，如：， 等〕；
⑤.进行相关的证明；
⑥、根据两根的某种特殊关系求待定字母的值〔在一元二次方程有根的情况下若：两根互为相反数，则b=0;两根互为倒数，则a=c〕.
例题解析：
例1、不解方程判定关于下列方程根的情况：
⑴.；⑵.；⑶..
分析：由于没有点明是一元二次方程还是一元一次方程，所以实际上本题按理说要分类讨论，但由于本题含未知数项的系数均非0，所以本题只需要判断根的判别式“△”（即一元二次方程根的判别式）的情况就行了.
略解：⑶. △=，所以原方程有两个不相等实数根.
例2、已知关于x的方程，求证：此方程无实数根.
分析:由于没有点明是一元二次方程还是一元一次方程，所以实际上本题按理说要分类讨论，但由于本题含未知数项的系数均非0，所以本题只需要判断根的判别式“△”（即一元二次方程根的判别式）的情况就行了.
略证：由于，所以本方程首先是一元二次方程.
△=
又∵，∴ (即△<0).
∴此方程无实数根.
例3、关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围？
分析: 有两个不相等的实数根和有实数根是不一样的，如果是有实数根需要讨论. 有两个不相等的实数根只能从一元二次方程切入就行了.
略解：根据题意需要 解得 故.
例4、已知方程 的两根是，不解方程，求下列代数式的值:
⑴.； ⑵. ⑶.； ⑷..
分析:此类题一般不需要求出两根，主要是将代数式化为含两根之和以及两根之积的结构形式，这就需要韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）帮忙了.
略解： ⑷. 根据韦达定理可知：，又的大小关系未知
∴
例5、m为何值时，方程，⑴、两根互为相反数；⑵、两根互为
倒数.
分析：不管是⑴.两根互为相反数；⑵.两根互为倒数都要在有实数根为前提.所以本题首先要考虑一元二次方程的概念和根的判别式，在此前提下根据根据韦达定理却的取值范围.
略解：根据题意，由于二次项的系数不为0，所以要有两根，则>0,即
若设两根为，则，.
⑴. 两根互为相反数，则，即，解得：，代入△>0.故.
⑵. 两根互为倒数，则，则，解得：，代入△<0, 舍去.
课外选练：
1、已知方程的两根为，且，那么m的值等于（ ）.
A、4 B、-4 C、8 D、-8
2、已知关于x为未知数的方程有两个相等的实数根，那么c= .
3、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围 .
4、二次三项式是完全平方式，则k= ,m= .
5、在一元二次方程，⑴、有一根为0，则c= ；
⑵、有一根为1，则a+b+c= ;⑶、有一根为-1，则a-b+c= ;⑷、若两根互为相反数，则b= ;⑸、若两根互为倒数，则c= .
6、以为两根的关于x一元二次方程方程是： .
7、若是的两个不相等的实数根，则= .
8、若有方程与，则= ，= .
9、关于x的方程的一个根是3，则k= ，另一根为 .
10、关于x的一元二次方程没有实数根，求k的最小整数值.
11、关于x的一元二次方程的两根互为相反数，求m的值.
12、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程的两根相等，判断此三角形的形状.
13、关于x的一元二次方程
⑴、求证：此方程有两个不相等的实数根；
⑵、如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值.
14、已知关于x的一元二次方程
⑴、求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
⑵、若等腰△ABC的一边长a=6,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
15、若两个一元二次方程和有且只有一个相同的根，求k的值及方程相异的根.
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