二次函数图象的平移和对称变换.doc

二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题
有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。
一、 平移。
例1、 把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到三个新点（-3，2），（-2，-1），（-1，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。
例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。
法（二）
先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点（2，-3），然后把顶点（2，-3）向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为（5，1），因为是抛物线的平移，因此平移前后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（5，1），就可以求出其解析式了。

【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】.
法（三）
根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。”
例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。
平移后的图象的解析式为：y=2(x-3)2-8（x-3）+5+4.然后化简即可。
针对练习
1、求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。
2、抛物线是由抛物线怎样平移得到的？
3、若抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。
二、二次函数图象的轴对称变换
二次函数图象的对称一般有关于x对称和关于y对称等情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
例4、 把抛物线y=x2-4x+6关于轴对称后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于轴对称后得到三个新点（0，-6），（1，-3），（2，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。
例5、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于轴对称后的解析式。
法（二）
先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点（2，-3），然后把顶点（2，-3）关于轴对称后得到新抛物线的顶点为（2，3），因为是抛物线关于轴对称，因此关于轴对称后a的值应该互为相反数，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=-2，且顶点为（2，3），就可以求出其解析式了。
法（三）
例6、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于轴对称后的解析式。
根据关于x轴对称的点的特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数。不论是哪种形式的解析式，我们只要把原解析式中的y改写为-y,然后再整理即可。
即其关于轴对称后的解析式为：-y=2x2-8x+5，整理为y=-2x2+8x-5
【关于轴对称后，得到的解析式是；】
练习
求与抛物线 关于轴对称的抛物线的解析式．

2. 关于轴对称
例7、把抛物线y=x2-4x+6关于y轴对称后，求其图象的解析式。
法（一）
选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于y轴对称后得到三个新点（0，6），（-1， 3），（-2， 2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。
例8、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于y轴对称后的解析式。
法（二）
先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点（2，-3），然后把顶点（2，-3）关于y轴对称后得到新抛物线的顶点为（-2，-3），因为是抛物线关于y轴对称，因此关于y轴对称后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（-2，-3），就可以求出其解析式了。
法（三）
例9、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于y轴对称后的解析式。
根据关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等。不论是哪种形式的解析式，我们只要把原解析式中的x改写为-x,然后再整理即可。
即其关于y轴对称后的解析式为：y=2(-x)2-8(-x)+5，整理为y=2x2+8x+5
[关于轴对称后，得到的解析式是]请你推测对于顶点式情况如何？
练习
1、求与抛物线 关于轴对称的抛物线的解析式；
2、求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线x＝－1对称后所得到图象对应函数解析式。
三、关于原点对称
例10、把抛物线y=x2-4x+6关于原点对称后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于原点对称后得到三个新点（0，-6），（-1，-3），（-2，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。
例11、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于原点对称后的解析式。
法（二）
先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点（2，-3），然后把顶点（2，-3）关于原点对称后得到新抛物线的顶点为（-2，3），因为是抛物线关于原点对称，因此关于原点对称后a的值应该互为相反数，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=-2，且顶点为（-2，3），就可以求出其解析式了。
法（三）
例12、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于原点对称后的解析式。
根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。不论是哪种形式的解析式，我们只要把原解析式中的x改写为-x，把原解析式中的y改写为-y,然后再整理即可。
即其关于轴对称后的解析式为：-y=2(-x)2-8(-x)+5，整理为y=-2x2-8x-5
[关于原点对称后，得到的解析式是；]
练习
求抛物线绕着原点旋转1800的到抛物线解析式。
又关于顶点对称
方法小结：显然无论作何种（平移、对称、旋转）变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线经过变换后抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其变换后的抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其变换后的抛物线的表达式．
二次函数图象的变换练习
1、函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）
右移两个单位，下移一个单位 右移两个单位，上移一个单位
左移两个单位，下移一个单位 左移两个单位，上移一个单位
2、函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是（　 ）
右移三个单位，下移四个单位 右移三个单位，上移四个单位
左移三个单位，下移四个单位 左移四个单位，上移四个单位
3、二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）
向左移动1个单位，向上移动3个单位.
向右移动1个单位，向上移动3个单位.
向左移动1个单位，向下移动3个单位.
向右移动1个单位，向下移动3个单位.
4、将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5、把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则________________．
6把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为
A． B． C． D．
7、将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线是（　　）
A、 B． C． D．
8、将抛物线向上平移个单位，得到抛物线的解析式是（ ）

9、一抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得抛物线，则平移前抛物线的解析式为________________．
10、如图，中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，．
⑴ 求点，，的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
11、已知二次函数，求：⑴关于轴对称的二次函数解析式；⑵关于轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
13、函数与的图象关于______________对称，也可以认为是函数的图象绕__________旋转得到．
14、在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为
A．　 　B．
C．　 　D．
【知识反馈】
1．把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是 。
2. 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线y＝1对称后所得到图象对应函数解析式。
3.抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，最后绕着顶点旋转180°得到抛物线，则a= ,b= ,c= 。
课时作业
一、选择题
1．将抛物线如何平移得到抛物线（ ）
A．向左平移14个单位，再向上平移21个单位。
B．向左平移14个单位，再向下平移21个单位。
C．向右平移14个单位，再向上平移21个单位。
D．向右平移14个单位，再向下平移21个单位。
2．要从抛物线的图象，则抛物线必须（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位。
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位。
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位。
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
3．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式是，则有（ ）
A．b=3，c=7 B．b=－9，c=－5 C．b=3，c=3 D．b=－9，c=21
4．把抛物线向右平移一个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．将函数的图象向右平移16个单位，再向上平移23个单位，得到的图象的解析式是 。
2．若抛物线向左向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图象的解析式是 。
4.把函数的图象沿x轴翻折,得到的图象的解析式是（ ）
5．抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着原点旋转180°得到抛物线，则a= ,b= ,c= 。
三、解答题
1.已知函数，⑴　求绕顶点旋转后的函数关系式；⑵　求绕原点旋转后的函数关系式。
2.求把二次函数 的图象关于下列直线y＝1对称后所得到图象对应函数解析式。
3．将抛物线向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到．求的值；
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