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(完整word)相似三角形综合题练习
相似三角形综合题练习
类型一 相似三角形中动点问题
例1：如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB,线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似?

变式:如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似.

例2：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题:
（1）当t＝2时,判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2)设△BPQ的面积为S（cm2)，求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

变式：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
(2）写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围。
（3） 若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶
点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

例3：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5,BC=10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当MN//AB时,求t的值；
（2)试探究:t为何值时，△MNC为直角三角形．

变式：如图，在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0〈t〈5)．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
(2)求：DC的长；
（3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

例4:如图①，在△ABC中，AB＝BC＝5,AC=6。
△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE.AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由;
（2）如图②，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合)，连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R。四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由;若不变，求出四边形PQED的面积；当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

变式：如图,在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6,AC=8,D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1)求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
A
B
C
D
E
R
P
H
Q

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在,请说明理由．

类型二 结合坐标系的解析几何
例1：如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B(8,0）,P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向O移,同时Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移,设P,Q移的时间为t(s）．当t为何值时，△APQ与△AOB?并求出此时P与Q的坐标．

变式:如图,已知直线的函数表达式为，且与轴,轴分别交于两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为秒．
O
P
A
Q
B
y
x

(1）求出点的坐标；
（2）当为何值时，与相似?
（3）求出（2）中当与相似时，线段所在直线的函数表达式．

例2:已知:如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（—3,0)，C（1，0）， ，
（1）求过点A、B的直线的函数表达式；
（2)在X轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等),并求点D的坐标；
（3）在（2)的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似,如存在，请求出m的值;如不存在，请说明理由．
A
C
O
B
x
y

变式：如图,在平面直角坐标系中,点，点分别在轴，轴的正半轴上,且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为,点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3）在（2）的条件下,是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

例3：如图直线y=—x+10与x轴、y轴分别交于A、B两，P从A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原O运动．直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于E、F．（当A运动到O时，直线EF随之停止运动）　连接FP,设P与直线EF同时出发，运时间为t秒．
（1)当t=1秒时，求△APF的面积；
（2）设t的值分别取t1、t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似,请证明你的判断；

变式：如图，A的坐标为（1，1),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O，A两点)，过C作CD⊥x轴,垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于B，连接OF，若以B，E，F为顶的三角形与△OFE相似，则B的坐标是
．

类型三 动态几何中的相似
例1、在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．
图2
A
D
O
B
C
2
1
M
N
图1
A
D
B
M
N
1
2
图3
A
D
O
B
C
2
1
M
N
O
求证：AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

变式：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º,∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90°。
当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF,得出PN＝PM．（不需证明）
当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．

例2：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
(1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1:△BPE与△CFP还相似吗？(只需写出结论)
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似?请说明理由;
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

作业练习：
1。如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°,过点D作DE⊥AC，垂足为F,DE与AB相交于点E.
（1）求证：AB·AF＝CB·CD
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点。设DP＝xcm（x＞0)，四边形BCDP的面积为ycm2。
①求y关于x的函数关系式;
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值。

2. 如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.
（1） 当x为何值时，PQ∥BC？
（2） 当，求的值；
（3)ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能,请说明理由。

3。已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0），（0，3）.现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
(1)填空：菱形ABCD的边长是 ，面积是 ,高BE的长是 ;
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值.
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.

4．将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8，BC=AD=4,AC与BD相交于点E，连结CD．
（1）填空:如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.
(2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）。
(3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围。
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图10
2
D
C
B
A
E
图1

4．在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为C．
（1)请直接写出点C坐标；
（2)若点B在第一象限内,∠OAB =∠OBA,并且点B关于原点O的对称点为D：
①试判断四边形ABCD的形状；并说明理由；
②现有一动点P从B出发，沿路线BA→AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发,沿AC方向以每秒0。4个单位长度的速度向终点C运动,当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．已知AB = 6,设点P、Q运动时间为t,在运动过程中，当t为何值时，PQ⊥AC？
O
x
y

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