高一T同步(函数恒成立问题3星).doc

同步：函数恒成立问题(★★★)
知识梳理
恒成立问题的基本类型：
类型1：设，
（1）上恒成立；
（2）上恒成立.

类型2：设
（1） 当时
上恒成立或 或
上恒成立
（2） 当时
上恒成立
上恒成立 或 或

类型3：；
.

类型4：
【对于函数恒成立问题可以借助于函数图象去解决，二次函数图象及其他函数的利用是解这类题的关键.】

典例精讲
例1（★★★）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
解：首先讨论时，此时或.
（1）当时，原不等式变为，
解得不等式为，
与对一切实数 恒成立矛盾. 所以不合题意.
当时，原不等式变为，对一切实数恒成立, 所以符合题意.
（2），不等式是二次不等式，要使得不等式对一切实数恒成立，需要，满足，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【本题中重点要注意二次项系数是否为0，当二次项系数是为0时，代入不等式得到当
时，对一切实数恒成立；当二次项系数不为0时，借助于二次函数图象得到函数】

巩固练习
1.（★★★）若不等式的解集是，求的范围.
解：（1）当时，原不等式化为恒成立，满足题意；
（2）时，只需，
所以，.
【解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参
数m，所以要讨论m-1是否是0.题目中没有说是一元二次不等式，所以二次项系数可以
为0.】

2.（★★★）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
解：设.则关于的不等式的解在上恒成立,即解得

例2（★★★）已知函数，
⑴在R上恒成立，求的取值范围.
⑵若时，恒成立，求的取值范围.
解：（1） 分析：的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点.
在R上恒成立，
等价于.
（2），令在上的最小值为.
①当，即时， 又
不存在.
②当，即时， 又
③当，即时， 又
综上所述，.
【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】

巩固练习
1.（★★★）已知函数，若时，恒成立，求的
取值范围.
解法一：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，
则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题.
，即在上成立.
（1）

2
—2
（2）

综上所述，.
解法二：（利用根的分布情况）
（1）当，即时， 不存在;
（2）当，即时，，
；
（3）当，即时，，
综上所述.
【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，因为当对称轴变化时，函数取得最值的位置不同，在解恒成立问题时，要用到求函数最值.】

例3（★★★）若任意实数满足，则实数的取值范围是 .
解：将不等式变形得：，分离参数后，题目中是任意使得不等式成立，所以转化为恒成立问题，设 ，只要即可，
易知函数在上是单调递增的，
所以. 故.
【此题可以转化成二次函数求最小值大于0，但这需要讨论，有些复杂. 如果用分离参数的方法做就非常简单，避免了分类讨论，在讲解过程中可以跟学生强调这种方法的巧妙性.】

巩固练习
1.（★★★）函数，若对任意，恒成
立，求实数的取值范围.
解：方法一：对任意，恒成立，可转化为，
分离参数得，
令，只需要.
在上，当时取得最大值，，故.
方法二：，对任意，恒成立，
只需要即可. 但此时要注意讨论的取值范围.
（1）当时，在上单调递增，
成立.
（2）当时, 在上单调递增，
成立，所以.
（3）当时, 在上单调递增,
,
所以；当时, 在上最小值在
时取到，即恒成立.
综上所述，实数的取值范围.
【此题在于问题的转化，如果不转化就要分类讨论求函数的最小值，分类讨论比较繁琐；如果能转化，分离参数避免了分类讨论，这种转化能力需要在平时给学生强调.】

回顾总结
（1）函数恒成立问题的理解：________ _
（2）函数恒成立问题常见的几种解法：_______ ______
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