正余弦定理和解三角形答案解析.doc

(完整word)正余弦定理和解三角形答案解析
　　 正余弦定理与解三角形

目标认知：
学习目标：
　　1．掌握正弦定理、余弦定理及其推导；
　　2．能初步运用正弦定理、余弦定理求解一些斜三角形及解决一些简单的三角形度量问题．

学习重点：
　　运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题与实际问题．

学习难点：
　　灵活运用两个定理解决相关的解三角形问题．

内容解析：
一、正弦定理
　　在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等，即．
　　注：1．应用正弦定理，可以研究两类解三角形问题:
　　(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
　　（2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．
　　2．正弦定理的常见变形公式:
　　① （其中为三角形外接圆的半径）；
　　② ；
　　③ ;；
　　④ 三角形面积公式：．

二、余弦定理
　　三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即，,．
　　余弦定理的变式：，,．
　　注：1．应用余弦定理，可以研究两类解三角形问题：
　　（1）已知三边，求三个角；
　　(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

　2．余弦定理的几种常见变形式：
　　①；；（求任意两边的夹角）
　　②；;（式的化简）
　　③；；；
　　　是锐角；是钝角(判断三角形的形状)
　　3．正弦定理、余弦定理建立了三角形中边与角的联系，对任意三角形都适用。

三、解斜三角形
　　学习了正弦定理、余弦定理以后,我们就有了解三角形的工具，三角形中三条边、三个角一共六个条件，已知其中的三个，都可以把另外三个求出． 要训练在做题中能正确的选择正弦定理与余弦定理的能力，就要明确正弦定理、余弦定理的求解条件，并特别注意正弦、余弦、正切几个三角函数间的转化，及内角的三角函数值的取值范围．
　　注：1．解斜三角形的常规方法是：
　　（1） 已知两角和一边（如),由求,由正弦定理求．
　　（2) 已知两边和夹角（如）,应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然
　　　　后利用，求另一角．
　　(3) 已知两边和其中一边的对角（如),应用正弦定理求，由求，再由正弦
　　　　定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况；
　　（4） 已知三边,应用余弦定理求，再由，求角．
　　2．两内角与其正弦值的大小关系:在 中，．
　　3．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角"定理及几何作图来帮助理解．
本周典型例题： 　1、在中，，求．
　　解：由正弦定理可知,即 ．
　　　　因为，
　所以．

　　2、在中,若，，,求．
　　分析:由角的正切值可以求解出的度数，因而转化为“已知两角和一个角的对边，求另一条对边”的问题，可用正弦定理求解．
　　解：由可知， 又因为，
　　　　所以联立两个方程可解得，
　　　　因为是三角形的内角，所以正弦值取正,即。
　　　　所以代入,即．
　　题记：三角形内角的正弦值是正数，是一个隐含条件.

　　3、若，则△ABC是（ ）
　　A．正三角形　　　　　　　 B．有一内角为30°的直角三角形
　　C．等腰直角三角形 　　　　D．有一内角为30°的等腰三角形
　　解:由正弦定理，所以可知，．
　　　　根据正弦函数与余弦函数的图象知，两个函数在内有且只有一个交点，即处，
　　　　所以，，是等腰直角三角形,选C．

　　4、在中，，求．
　　解： 由余弦定理可得，．
　　题记:余弦定理建立了三条边与一个角的正弦之间的联系,其中的角可以是三角形中的任何一个角．

　　5、在中，角所对的边分别为，若，b=,，求．
　　解：由余弦定理的变形公式直接代入数据可得：，
　　　　所以．
　　题记：“ 已知三条边求一个角”的题目形式是应用余弦定理的典型表征． 由此题可知余弦定理可作为对三角形形状判断的方法：余弦值为负，说明这个角是一个钝角,该三角形是一个钝角三角形；余弦值为0，说明这个角是直角，该三角形是直角三角形．但注意：余弦值为正，说明这个角是一个锐角，还仍需求其他角的余弦，而不能直接得到“三角形是锐角三角形”的结论．

　　6、中，若，则___________．
　　分析:题目只给出了一个角，需要求三条边的一个比例关系，只能用余弦定理．
　　解：由余弦定理 可知：，即，
　　　　所以．
　　法2（特殊值法，可用来解小题)
　　由题目条件，上式的值对所有包含一个角的三角形都是相同的，
　　所以不妨设是等边三角形,即，代入可得．

　　7、锐角中，若，则的取值范围是（　 　)
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
　　解：由已知及正弦定理，可得．
　　　　由可知，因为，所以．
　　　　在内，余弦函数是单调递减的，所以，即．答案C．

　　8、中，若,,，求．
　　解:因为，所以．
　　　　由余弦定理可得，．
　　题记：正弦定理、余弦定理都阐述了三角形内边与角的关系,但是它们的适用范围是存在着差异的．一般来讲，题目给出了较少的边、角信息，优先考虑用正弦定理．

　　9、在中，，判断这个三角形的形状．
　　解：应用正弦定理、余弦定理，可得，
　　　　整理为，即．
　　　　所以，即．
　　　　所以是直角三角形．

　　10、在中，分别为的对边，，,，
　　（1）求的值；（2）求的值．
　　解：（1) 由及正弦定理得．
　　　　(2） 由，解得．由余弦定理得,
　　　　　　化简得，解得或．
　　　　　　若,则，,
　　　　　　所以，与条件矛盾，所以不合题意，舍去．
　　　　　　所以．
　　11、若钝角三角形中,一个锐角与钝角之和等于另一个锐角度数的两倍，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是( ）．
　　A．(1，2) 　　　B． （2，+∝) 　　　C． ［3,+∝) 　　　D．(3，+∝）
　　分析:考虑到题目给出了三个内角的关系式与一组边的比值，所以应选用正弦定理，边的范围可以借助三角函数的求解。
　　解：在钝角中,设，则依题意可得，则,
　　　　设,,由得．
　　　于是，
　　　　而，则，所以,,答案为B．
　　题记：应注意根据正弦定理可得到“边与所对角的正弦值的比值为常数”,不能由角的关系直接得出边的关系．若利用和角公式展开还要用到余弦值的转化，问题会变得比较麻烦,所以先根据“三角形内角之和为180度”确定一个角才是比较英明的做法．
　　12、在中，，是方程的一个根，求周长的最小值．
　　解：因为，所以．
　　　　由是方程的一个根,所以．
　　　　由余弦定理可得:，
　　　　则，
　　　　当时,最小且，此时．
　　　　所以，的周长的最小值为．根保管员应经常了解设备情况，凡符合下列条件之一的备件，应及时处理，办理注销手续：因设备报废、设备技术改造或设备外调而导致不再需要的备件,要及时销售和处理做到尽可能回收资金，不随意浪费.因保管不善而造成的备件废品，且经管理员组织有关技术人员鉴定无修复价值的，要查明原因，提出防范措施和处理意见，批准后报废。

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