正余弦定理解三角形题型归纳总结.doc

专题：正弦定理和余弦定理

考点集结
一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容

变形形式
①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
②sinA=,sinB=,sinC=;
③a:b:c=sinA: sinB: sinC;
④

解决的问题
① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
① 已知三边，求各角；
② 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinBa>bA>B）
二、应用举例
1、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；
②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）
2、ΔABC的面积公式
（1）；
（2）；
（3）。
考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用
〖例1〗（11浙江文）在中，角所对的边分.若，则（ ）
A． B． C． -1 D． 1
答案：D

在△ABC中，，则A的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：由得，即，
∴，∵，故，选C．
考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围
〖例2〗（1）（10上海文）若△的三个内角满足则△
A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形.
C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
（2）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．
解析：由正弦定理得＝. 即＝.∴＝2.
∵△ABC是锐角三角形，
∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，解得＜A＜.
由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)． 答案：2　(，)

1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝
(1)判断△ABC的性状；
(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．
解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，
∴B＝2C，且B＋2C＝π，
若B＝2C，＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；
∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，
∴cosB＝(∵a＝c)，
而cosB＝－cos2C，＜C＜，
∴＜cosB＜1，
∴1＜a2＜，
又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．
2、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 (　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，
∴＝， ∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形． 答案：B
考点三：利用正余弦定理求三角形的面积
〖例3〗（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积；
（II）若，求的值．
解析：（Ⅰ） w.w 又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以

1、在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积；
B
D
C
A
（II）若，求的值．
解 （1）因为，，又由
得，
（2）对于，又，或，由余弦定理得
，
2、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。
（I）求sinA的值；
(II)设AC=，求ABC的面积。
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分 解：（I）由知。
又所以即
故
(II)由（I）得：
又由正弦定理，得：
所以
考点四：利用正余弦定理求角

〖例4〗（2011届稽阳联考）如右图，在△中，为边上一点，，．
（1）求的大小；
（2）当时，求的值．
解：（1） 由已知， …………………1分
…………………2分
…………3分
…………………5分
∵∴．………………………… 7分
（2）（1）…………………9分
（2）………………11分
14分
（2010山东文）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,,则角A的大小为 .
【解析】由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。
考点五：正余弦定理实际应用问题
〖例5〗（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解　由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴DB＝＝
＝＝＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．
一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 (　　)
A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里
解析：如图所示，设A、B为相距10海里的灯塔，半小时后这艘船到达S点，
则∠ASB＝75°－60°＝15°，∠SBO＝30°，∴∠SAB＝15°，
即AB＝BS＝10，∴SO＝SB＝5，
设船的速度为v，则v＝5，∴v＝10. 答案： C
【当堂应用】
1.(2010年高考宁夏卷文科16)在中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=_____【答案】
2.（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科14）已知为第二象限的角，,则 .
【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所
3.（2010年高考全国卷Ⅱ文科13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________
【解析】 ： ∵，∴
4.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB＝，bsinA＝4.
(1)求cosB和a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求cos4C的值．
解：(1)由bsinA＝4，得asinB＝4， 又atanB＝，∴cosB＝.
又由atanB＝知tanB>0，则sinB＝，tanB＝，故a＝5.
(2)由S＝acsinB，得c＝5，∴A＝C.
由cos4C＝2cos22C－1＝2cos2(A＋C)－1＝2cos2B－1＝2×()2－1＝－.
5、设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。 09全国卷7页
分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。
也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。
6、如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75°，求山顶的海拔高度。

解：在△ABP中，∠BAP=30°，∠APB=75°－30°=45°

根据正弦定理，，，

所以，山顶P的海拔高度为（千米）

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