正余弦定理解三角形题型归纳总结.doc

专题：正弦定理和余弦定理考点集结一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;解决的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 已知三边，求各角； 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在ABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（sinAsinBabAB）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡比）2、ABC的面积公式（1）；（2）；（3）。考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用例1（11浙江文）在中，角所对的边分.若，则（ ）A B C -1 D 1答案：D在ABC中，则A的取值范围是 （A）（B） （C）（D）答案：C解析：由得，即，故，选C考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围例2（1）（10上海文）若的三个内角满足则A一定是锐角三角形. B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角（2）在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_解析：由正弦定理得. 即.2.ABC是锐角三角形，0A，02A，03A，解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(，) 答案：2(，)1、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C且(1)判断ABC的性状；(2)若|2，求的取值范围解：(1)由及正弦定理得sinBsin2C，B2C，且B2C，若B2C，C，B，BC(舍)；B2C，则AC，ABC为等腰三角形(2)|2，a2c22accosB4，cosB(ac)，而cosBcos2C，C，cosB1，1a2，又accosB2a2，(，1)2、在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB， a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形 答案：B考点三：利用正余弦定理求三角形的面积例3（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解析：（） w.w 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以1、在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； BDCA（II）若，求的值解 （1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 2、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分 解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以考点四：利用正余弦定理求角例4（2011届稽阳联考）如右图，在中，为边上一点， （1）求的大小；（2）当时，求的值解：（1） 由已知， 1分 2分3分5分 7分（2）（1）9分（2）11分14分（2010山东文）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,则角A的大小为 .【解析】由得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。考点五：正余弦定理实际应用问题例5（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB5(3)海里， DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 20021020900，CD30(海里)，需要的时间t1(小时)故救援船到达D点需要1小时一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 ()A5海里 B5海里 C10海里 D10海里解析：如图所示，设A、B为相距10海里的灯塔，半小时后这艘船到达S点，则ASB756015，SBO30，SAB15，即ABBS10，SOSB5，设船的速度为v，则v5，v10. 答案： C 【当堂应用】1.(2010年高考宁夏卷文科16)在中，D为BC边上一点，,.若,则BD=_【答案】 2.（ 2010年高考全国卷文科14）已知为第二象限的角，,则 .【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所3.（2010年高考全国卷文科13）已知是第二象限的角,tan=1/2，则cos=_【解析】 ： ，4.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB，bsinA4.(1)求cosB和a；(2)若ABC的面积S10，求cos4C的值解：(1)由bsinA4，得asinB4， 又atanB，cosB.又由atanB知tanB0，则sinB，tanB，故a5.(2)由SacsinB，得c5，AC.由cos4C2cos22C12cos2(AC)12cos2B12()21.5、设的内角、的对边长分别为、，求。 09全国卷7页分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。6、如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75，求山顶的海拔高度。解：在ABP中，BAP=30，APB=7530=45根据正弦定理，所以，山顶P的海拔高度为（千米）8