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课时作业 2 余弦定理
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝6，则cos B＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由余弦定理的推论得cos B＝＝＝.
答案：D
2．在△ABC中，c2－a2－b2＝ab，则角C为( )
A．30° B．60°
C．150° D．45°或135°
解析：由已知得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理的推论，得cos C＝＝－.因为0°<C<180°，所以C＝150°.
答案：C
3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：在△ABC中，∵A＝60°，a2＝bc，
∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
∴bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
∴b＝c，结合A＝60°，得△ABC一定是等边三角形．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．－5
解析：cos∠ABC＝＝＝，∴cos〈，〉＝－，
∴·＝5×7×＝－5.
答案：D
5．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B的值为( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：由余弦定理的推论，得bcos C＋ccos B＝b×＋c×＝＝a＝2.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
解析：由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
因为A＝120°，AB＝5，BC＝7，所以得49＝25＋AC2＋5AC，
即AC2＋5AC－24＝0，
解得AC＝3或－8(舍去)．
所以AC＝3.所以＝＝.
答案：
7．在△ABC中，有下列结论：
①若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；
②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；
③若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形；
④若A：B：C＝1：2：3，则a：b：c＝1：2：3.
其中正确的序号为________．
解析：①cos A＝<0，所以A为钝角，正确；
②cos A＝＝－，所以A＝120°，错误；
③cos C＝>0，所以C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；
④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a：b：c＝1：：2，错误．
答案：①
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
解析：在△ABC中，由余弦定理易得
cos C＝＝＝，
所以C＝30°，B＝30°.在△ABD中，由正弦定理得
＝，所以＝，
所以AD＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
解析：由余弦定理的推论及已知，得cos A＝＝＝.设AC边上的中线长为x，由余弦定理知，x2＝2＋AB2－2··AB·cos A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7.
所以AC边上的中线长为7.
10．已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足sin2A＝sinsin＋sin2B.
(1)求角A的值．
(2)若·＝12，a＝2，求△ABC的周长．
解析：(1)△ABC是锐角三角形，
sin2A＝·
＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，
所以sin A＝±.又A为锐角，所以A＝
(2)由·＝12，得bccos A＝12 ①，
由(1)知A＝，所以bc＝24 ②，
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，将a＝2及①代入可得c2＋b2＝52 ③，
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10，△ABC的周长是10＋2.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则这个三角形的最大角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：设三角形的三边长分别为a，b，c，
根据正弦定理＝＝化简已知的等式得，
A：b：c＝3：5：7，设a＝3k，b＝5k，c＝7k，k＞0，
根据余弦定理得cos C＝＝＝－.
∵0°＜C＜180°，∴C＝120°.
∴这个三角形的最大角为120°.故选D.
答案：D
12．在△ABC中，已知(b＋c)：(a＋c)：(a＋b)＝4：5：6，则△ABC的最大内角为________．
解析：由题可设，b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k(k>0)，解得a＝3.5k，b＝2.5k，c＝1.5k，所以角A最大，由余弦定理的推论，得cos A＝＝－.
又因为0°<A<180°，所以A＝120°.
答案：120°
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．
解析：已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而知a>b>c，所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14.
14．在△ABC中，已知sin(A＋B)＝sin B＋sin(A－B)．
(1)求角A；
(2)若||＝7，·＝20，求|＋|.
解析：(1)原式可化为sin B＝sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B.
因为B∈(0，π)，所以sin B>0，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由余弦定理，得||2＝||2＋||2－2||||·cos A.
因为||＝7，·＝||||·cos A＝20，
所以||2＋||2＝89.
因为|＋|2＝||2＋||2＋2·＝129，所以|＋|＝.
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