初三总复习---数与式复习.doc

西城区教育研修学院·初三数学研修活动 2015.3.5
数与式复习
北京第三十九中学 商立群 2015.03.05
数与式这部分内容是是初中数学的基础，内容包括实数、整式、分式和二次根式，是解方程（组）、不等式（组），解决概率和统计等有关计算问题的基础，还是许多图形问题中有关数量表达的基础，也是中考最直接得分的手段。数与式这部分内容在2010、2011、2012、2013、2014年的北京市中考题中直接考查这部分知识的题目分别占了29分、34分、26分、26分、26分。这部分内容的特点是概念多、性质多、运算法则多、技能性强.
常见的考题类型，主要以“易”为主，中档问题主要有，配方和12题规律归纳。但复习中不要忽视学生的代数分析能力和数学思想方法的培养，这些对综合问题的解决起着关键性作用。
主要考点：
1． 求实数的相反数，绝对值等有关的概念；
2． 科学计数法；
3． 分式与二次根式有无意义的条件与分式值为零的条件；
4． 简单的因式分解（提公因式法，公式法，不超过两次）；
5． 绝对值与平方数及二次根式的非负性；
6． 找规律及用代数式表示规律的问题。
7． 二次多项式的配方变形。
8． 实数的运算：含有整数指数幂（0次或负指数次）、特殊三角函数值、二次根式的化简（根号下仅限于数）绝对值在内的综合运算；
9化简求值；整式与分式的运算---先化简再求值
一、中考考试要求
考试内容
考试要求
A 12个
B 10个
C 2个
数与代数
数与式
有理数
理解有理数的意义
能比较有理数的大小

无理数
了解无理数的概念
能用有理数估计一个无理数的大致范围

平方根、算术平方根和立方根
了解平方根、算术平方根和立方根的概念;
会用根号表示数的平方根、算术平方根和立方根；
了解开方与乘方互为逆运算；
会用平方运算求百以内整数的平方根；（14年B）
会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根（14年B）

实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算

数轴
了解实数与数轴上的点一一对应
能用数轴上的点表示有理数（14年A）

相反数
绝对值
借助数轴理解相反数和绝对值的意义；
了解 的含义(新增)
能求实数的相反数与绝对值（14年A）
（14年表述：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题和计算问题）

有理数的运算
理解有理数的运算律；
理解乘方的意义
掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）
运用运算律简化运算；(新增)
运用有理数的运算解决简单问题
科学记数法和近似数
会用科学计记数法表示数；
了解近似数；
会按实际问题的要求对结果取近似值（14年B）

数与式
代数式
了解代数式；
理解用字母表示数的意义；
会求代数式的值（14年B）
能分析具体问题中的简单问题的数量关系，并用代数式表示；
能根据特定问题提供的材料，合理选用知识和方法，求代数式的值；（14年C）
能根据某些代数式的特征，推理这些代数式反映的规律
运用恰当的知识和方法对代数式进行变形，解决有关问题
数与代数

整式

理解整式的概念；
了解整数指数幂的意义和基本性质；
了解平方差公式、完全平方公式的几何背景

掌握合并同类项和去括号的法则；
能进行简单的整式加法和减法运算；
能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）；(新增)
能用整数指数幂的性质进行简单计算；
能推导平方差公式，完全平方公式(新增)，并能利用平方差公式、完全平方公式进行简单计算；
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）
分式

了解分式和最简分式的概念；(新增)
会确定分式有意义或使分式的值为零条件（14年B）

能利用分式的基本性质进行约分和通分；
能进行简单的分式加、减、乘、除运算；
能选用恰当方法解决与分式有关的问题

二次根式

了解二次根式和最简二次根式的概念；(新增)
会确定二次根式有意义的条件

能根据二次根式的性质对二次根式进行变形；
会用二次根式的运算法则进行简单运算（根号下仅限于数）(新增)

对比2014年考试说明的变化： （红色为变化的内容，蓝色为新增的内容）
对比14年，15年考试说明：A级由24知识点变为12个，B级知识点由22个变为10个，C级知识点由6个变为2个，主要是基本知识进行了整合，内容没有大的变化。
例题部分直接考题：容易的问题只选了20题分式运算，难度0.89. 中档题12题配方难度0.68,16、17为规律归纳问题难度在0.47、0.45属于较难问题，而最常见的几个容易问题没有出现。
注：新增的内容的考察
1.了解 的含义
（1）《西城初三数学中考总复习》p4例6、例8
（2）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．
ac＞bc
B．
|a﹣b|=a﹣b
C．
﹣a＜﹣b＜c
D．
﹣a﹣c＞﹣b﹣c
2.运用运算律简化运算
计算：82014×(一0.125)2015= .
3教材回归，关注两套教材（人教版，京版）中的习题例题的使用，如考试说明提到了解平方差公式、完全平方公式的几何背景，能推导平方差公式，完全平方公式
二、复习建议：
1. 全面复习基础知识，建构知识网络，做到知识之间的融会贯通。
如（1）对于非负数马上联想到：绝对值、平方、算术平方根。
（2）比较两数马上想到可能的方法：做差法，做商法、平方法、图像法（数轴、函数图象）、函数性质
例（2015东城期末23题第2问）若，比较与的大小
问题可以做差法也可以构建函数，利用函数图象或性质比较大小
设：
∵当时，随的增大而增大，
∴当时，，即
2.明确复习目标，控制难度，激发学生的复习积极性；科学安排复习时间和内容。
3.强化训练，要求到位，强调落实；注重错误问题的积累与纠错。
如分式运算与分式方程的对比复习，从本质上理解这是它们之间区别。
4.渗透数学思想方法，提高代数条件下的分析推理和解决问题的能力。
结合总复习中二十一讲分类讨论、二十二讲探究开放问题、二十三讲阅读理解问题，渗透数学思想方法。
如（1）从实数的角度分析以下问题：下列式子成立，求出a取值范围：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7）; （8）
（9）； 不存在。 （10） 或
（2）关注代数条件的落实。例1（期末2008西城25）已知：抛物线 与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1 < 1 < x2 .
观察条件能否分析到代数式所蕴含的关系：解析式可以提公因式后配方成一个顶点式。
例2（2012西城期末22题）已知a，b，c都是非负数，a＜5，且 ，．
1）分别用含a的代数式表示4b，4c；
2）说明a，b，c之间的大小关系．
（3）数形结合思想的应用。总复习148页第7题。
三、相关练习
（一）实数
题型1实数概念科学计数法
1. （ 2014•安徽省,第1题4分）（﹣2）×3的结果是（　　）
　 A．﹣5 B． 1 C． ﹣6 D． 6
2. （ 2014•安徽省,第6题4分）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（　　）
　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
3. （ 2014•广东，第1题3分）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（　　）

A．
1
B．
0
C．
2
D．
﹣3
4. （ 2014•珠海，第1题3分）﹣的相反数是（　　）

A．
2
B．

C．
﹣2
D．
﹣
5. （ 2014•广西贺州，第4题3分）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（　　）

A．
0.845×104亿元
B．
8.45×103亿元
C．
8.45×104亿元
D．
84.5×102亿元
6. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第2题3分）将6.18×10﹣3化为小数的是（　　）

A．
0.000618
B．
0.00618
C．
0.0618
D．
0.618
7.（2014•毕节地区，第3题3分）下列运算正确的是（ ）

A．
π﹣3.14=0
B．
+=
C．
a•a=2a
D．
a3÷a=a2
8．（2014·台湾，第11题3分）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与11﹣2最接近？(　　)

A．A B．B C．C D．D
9. （2014•湖北宜昌,第14题3分）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（　　）

A．
m+n＜0
B．
﹣m＜﹣n
C．
|m|﹣|n|＞0
D．
2+m＜2+n
10. （2014•山东潍坊，第3题3分）下列实数中是无理数的是( )
A． 　　　 B.2－2 　　　c. 　　　 D.sin450
11．（2014•四川凉山州，第1题，4分）在实数，，0，，，﹣1.414，有理数有（ ）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
12. （2014•扬州，第6题，3分）如图，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（　　）

A．
0.1
B．
0.2
C．
0.3
D．
0.4
13．（2014•滨州，第1题3分）估计在（ ）

A．
0～1之间
B．
1～2之间
C．
2～3之间
D．
3～4之间
14.（2014•菏泽，第3题3分）下列计算中，正确的是（ ）

A．
a3•a2=a6
B．
（π﹣3.14）0=1
C．
（）﹣1=﹣3
D．
=±3
15. （ 2014•安徽省,第11题5分）据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为　2.5×107　．
16. （ 2014•福建泉州，第8题4分）2014年6月，阿里巴巴注资1200000000元入股广州恒大，将数据1200000000用科学记数法表示为　1.2×109　．
17. （ 2014•福建泉州，第16题）已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n=　7　．
18. （ 2014•珠海，第6题4分）比较大小：﹣2　＞　﹣3．
题型2实数的计算
19.（2014•毕节地区，第21题8分）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣﹣2|+（﹣1.414）0﹣3tan30°﹣．
1
20. （ 2014•安徽省,第15题5分）计算：﹣|﹣3|﹣（﹣π）0+2013．
2014．
21. （ 2014•福建泉州，第18题9分）计算：（2﹣1）0+|﹣6|﹣8×4﹣1+．
9　
22. （ 2014•广西贺州，第19题（1）4分）（1）计算：（﹣2）0+（﹣1）2014+﹣sin45°；
2
23．（2014•广西玉林市、防城港市，第19题6分）计算：（﹣2）2﹣•+（sin60°﹣π）0．
3　
题型3规律归纳与新定义
25．（2014•新疆，第15题5分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3． []=1，按此规定，[﹣1]=　 2 　．
26．（2014•四川内江，第8题，3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　）

A．
14
B．
16
C．
8+5
D．
14+
C
27.（2014•山东临沂,第19题3分）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B=　{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}　．
28．（2014•甘肃白银、临夏,第18题4分）观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=　 552 　．
　29．（2014•甘肃兰州,第20题4分）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 ．
（二）整式与因式分解
题型1整式与因式分解概念
1. （ 2014•安徽省,第4题4分）下列四个多项式中，能因式分解的是（　　）
　 A． a2+1 B． a2﹣6a+9 C． x2+5y D． x2﹣5y
2. （ 2014•安徽省,第7题4分）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（　　）
　 A．﹣6 B． 6 C．﹣2或6 D．﹣2或30
3. （ 2014•福建泉州，第2题3分）下列运算正确的是（　　）

A．
a3+a3=a6
B．
2（a+1）=2a+1
C．
（ab）2=a2b2
D．
a6÷a3=a2
4. （ 2014•福建泉州，第6题3分）分解因式x2y﹣y3结果正确的是（　　）

A．
y（x+y）2
B．
y（x﹣y）2
C．
y（x2﹣y2）
D．
y（x+y）（x﹣y）
5. （ 2014•珠海，第3题3分）下列计算中，正确的是（　　）

A．
2a+3b=5ab
B．
（3a3）2=6a6
C．
a6+a2=a3
D．
﹣3a+2a=﹣a
6.（2014•毕节地区，第4题3分）下列因式分解正确的是（ ）
　 A． 2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1） B． x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C． x2+1=（x+1）2 D． x2﹣x+2=x（x﹣1）+2
7.（2014•呼和浩特，第5题3分）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是（　　）元．

A．
a
B．
0.99a
C．
1.21a
D．
0.81a
8．（2014•滨州，第2题3分）一个代数式的值不能等于零，那么它是（ ）

A．
a2
B．
a0
C．

D．
|a|
9．（ 2014•广西玉林市、防城港市，第4题3分）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（　　）

A．
x2+y2
B．
x2﹣y
C．
x2+x+1
D．
x2﹣2x+1
10. （2014•海南,第9题3分）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）

A．
a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21
B．
a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）

C．
（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21
D．
a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25
11. （2014•湖南衡阳,第8题3分）下列因式分解中，正确的个数为（　　）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
　 A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
题型2因式分解
12.（2014•武汉，第12题3分）分解因式：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1） ．
13.（2014•邵阳，第12题3分）将多项式m2n﹣2mn+n因式分解的结果是 n（m﹣1）2 ．
14. 分解因式：a3﹣4a2+4a=　a（a﹣2）2　．
15. （2014•宁夏，第3题3分）分解因式：x2y﹣y=　y（x+1）（x﹣1）　．
16．(2014•陕西,第12题3分)因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=　（x﹣y）（m+n）　．
17．（2014•四川广安,第12题3分）分解因式：my2﹣9m=　m（y+3）（y﹣3）　．
18．（2014•浙江绍兴,第11题5分）分解因式：a2﹣a=　a（a﹣1）　．
19．（2014•黑龙江哈尔滨,第13题）把多项式3m2﹣6mn+3n2分解因式的结果是　3（m﹣n）2　．
20. （2014•湖北黄石,第12题3分）分解因式：4x2﹣9=　（2x﹣3）（2x+3）　．
21．（2014•莱芜，第13题4分）分解因式：a3﹣4ab2=　a（a+2b）（a﹣2b）　．
题型3整式运算
22. （2014•湖南衡阳,第21题6分）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，b=﹣2．
﹣1．
23. 2014衡阳，第21题6分）
先化简，再求值：，其中、。
-1
24.（2014•襄阳，第18题5分）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
=7+4．
25. （2014·浙江金华，第18题6分）先化简，再求值：，其中.
7
26.（2014•孝感，第15题3分）若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为　1　．
题型4代数式应用，规律归纳　
27．（2014•济宁，第11题3分）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是　　米．
28. （ 2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4×　4　2=　17　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，
29. 当 x，y 为何值时，多项式 x2 + y2 - 4x + 6y + 28 有最小值？求出这个最小值 .（京版七下114页拓展2题）
30. （2014•乐山，第15题3分）如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2=　﹣9　．

31总复习147页习题1

（三）分式
题型1分式有意义或值为零
1. （ 2014•广西贺州，第2题3分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．
x≠1
B．
x=1
C．
x≠﹣1
D．
x=﹣1
2．（2014•温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）

A．
x≠2
B．
x≠﹣1
C．
x=2
D．
x=﹣1
3.（2014•毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（ ）

A．
0
B．
1
C．
﹣1
D．
±1
4 （2014•无锡，第3题3分）分式可变形为（　　）

A．

B．
﹣
C．

D．
﹣
5．（2014•广州,第13题3分）代数式有意义时，应满足的条件为______．

6. （2014•泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于﹣3　．
题型2分式运算
7（ 2014•广东，第18题6分）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．

8. （ 2014•珠海，第13题6分）化简：（a2+3a）÷．=a．
9. （ 2014•广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=+1，b=﹣1．=2
10. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．
11．(2014年四川资阳，第17题7分)先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中，a满足a﹣2=0．
=3．
12.（2014•毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．﹣．
13. （2014•四川巴中，第23题5分）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．

（四）二次根式
1.（2014•武汉，第2题3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．
x＞0
B．
x＞3
C．
x≥3
D．
x≤3
2. （ 2014•安徽省,第6题4分）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（　　）
　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
3.（2014•济宁，第7题3分）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（　　）

A．
①②
B．
②③
C．
①③
D．
①②③
4. （2014•四川巴中，第4题3分）要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）
　A．m＞﹣1 B． m≥﹣1 C． m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
5. （2014•山东潍坊，第5题3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A.x≥一1 B．x≥一1且x≠3 C．x>－l D．x>－1且x≠3
6. 1．(2014•年山东东营,第1题3分)的平方根是（　　）
　 A．±3 B． 3 C． ±9 D． 9

12