待定系数法求二次函数解析式—知识讲解(提高).doc

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】
知识点一、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.

图1
【答案与解析】
设所求抛物线的解析式为（）.
由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.
解之，得
抛物线的解析式为

该抛物线的顶点坐标为.
【点评】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.
2. 一条抛物线经过点与.求这条抛物线的解析式.
【答案与解析】
抛物线经过点（）和，
这条抛物线的对称轴是直线.
设所求抛物线的解析式为.
将点代入，得，解得.
这条抛物线的解析式为，即.
【点评】解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用.
3. 已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.
【答案与解析】
因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，
所以两交点的横坐标分别为： ，， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：
解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，
所以抛物线的函数关系式为；
解法：设抛物线的函数关系式为两点式：(a≠0)，
把（－1，4）代入得，
所以抛物线的函数关系式为：；
【点评】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.
举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】
【变式】已知一抛物线与x轴的交点是，B（1，0），且经过点C（2，8）.
（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.
【答案】（1）；
（2）.
类型二、用待定系数法解题
4. 如图所示，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

【答案与解析】
(1)把A(2，0)，B(0，-6)代入
得 解得
∴ 这个二次函数的解析式为．
(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线，
∴ 点C的坐标为(4，0)，
∴ AC＝OC-OA＝4-2＝2．
∴ ．
【点评】求△ABC的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B两点坐标分别代入解析式求出b，c的值．(2)先求出点C的坐标再求出△ABC的面积．
举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】
【变式】已知二次函数图象的顶点是，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.
【答案】（1）；
（2）证明：若点在此二次函数的图象上，则．
得．
△=，该方程无实根．
所以原结论成立．
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