复合函数单调性求法与含参数问题.doc

复合函数单调性的求法与含参数问题若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。 例、（1）设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 求fg(x)（或gf(x)）。（2）已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)（二）求复合函数相关定义域一、已知的定义域，求复合函数的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。例1 已知的定义域为，求定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 即或故的定义域为【评注】所谓定义域是指函数中自变量的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中看成一个整体，即由可得，解出的范围即可。练习：设，则的定义域为 （B） A. B. C. D. 二、已知复合函数的定义域，求的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。例2 若函数的定义域为，求函数的定义域解 ， ，故函数的定义域为【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即，先解出的定义域，即为的定义域。 三、已知复合函数的定义域，求的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 例3 已知的定义域为，求的定义域。 解 由的定义域为得，故即得定义域为，从而得到，所以故得函数的定义域为 四、已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例4 已知函数定义域为是，且求函数的定义域 解 ，又 要使函数的定义域为非空集合，必须且只需，即，这时函数的定义域为（三）复合函数的单调性有以下结论：u=g(x)增函数增函数减函数减函数y=f(u)增函数减函数增函数减函数y=fg(x)增函数减函数减函数增函数 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+)解：设y= logau，u=2-ax，a是底数，所以a0， 函数y=loga u在u0,1上是减函数，而u=2-ax在区间x0,1上是减函数， y= logau是u(0, +)上的增函数，故a1，还要使2-ax0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由 ，解得a2，1a0知函数的定义域为x0，因y= log0.5u在u(0,+)上是减函数，而u= x2+4x+4在x(-，-2)上是减函数，在(-2，+ )上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x(-，-2)上是增函数.例3.讨论函数y=0.8x -4x+3的单调性。 解：函数定义域为R。 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指数函数y=0.8u在(-，+)上是减函数， u=x2-4x+3在(-，2上是减函数，在2，+)上是增函数， 函数y=0.8x2-4x+3在(-，2上是增函数，在2，+)上是减函数。 这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )(A).， (B).0， (C).-，0 (D). ， 解：令y=sinu，u=x+，y=sinu在u 2k- ，2k+ (kZ)上单调递增，在u 2k+ ，2k+ (kZ)上单调递增，而u=x+在R上是增函数，根据函数单调性的复合规律，由2k- x+2k+ 得2k- x2k+，当k=0时，- x，而0，- ，例5.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。 解：显然函数定义域为(0，+)。 令 u=log2x，y=u2+u u=log2x在(0，+)上是增函数， y=u2+u在(-，上是减函数，在，+)上是增函数(注意(-，及，+)是u的取值范围)因为ulog2x，0x，(u log2x x) 所以y=(log2x)2+log2x在(0，上是减函数，在，+)上是增函数。（四）利用复合函数求参数取值范围例1.已知函数f(x)=(x2-ax+3a)在区间2，+)上是减函数，则实数a的取值范围是_。 分析如下： 令u=x2-ax+3a，y=u 因为y=u在(0，+)上是减函数 f(x)=(x2-ax+3a)在2，+)上是减函数 u=x2-ax+3a在2，+)上是增函数，且对任意x2，+)，都有u0。对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)0。 -4a4 例2.若f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数，则a的取值范围是_。 令u=-ax+30，y=logau，由于a作对数的底数，所以a0且a1，由u=-ax+30得x。在0，1上，且u是减函数。 f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数。 y=logau是增函数，且0，1(-， 1a3 所以a的取值范围是(1，3)。1.求下列复合函数的单调区间.（1）y=log3(x22x);(答：(，0)是单调减区间，(2，+)是单调增区间.)（2）y=(x23x+2)；(答：(，1)是单调增区间(2，+)是单调减区间.)（3）y=,(答：2，是单调增区间，3是单调减区间.)（4）y=;(答：(，0)，(0，+)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)（5）y=;(答(，0)为单调增区间，(0，+)为单调减区间)2关于x的函数在1，+上为减函数，则实数a的取值范围是 ( D ）A（,0）B(1,0) C(0,2 D(,1) 4 / 4