复合函数单调性求法与含参数问题.doc

复合函数单调性的求法与含参数问题
若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
例１、（1）设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)
（二）求复合函数相关定义域
一、已知的定义域，求复合函数的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。
例1 已知的定义域为，求定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

即或
故的定义域为
【评注】所谓定义域是指函数中自变量的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中看成一个整体，即由可得，解出的范围即可。
练习：设，则的定义域为 （B）
A. B.
C. D.
二、已知复合函数的定义域，求的定义域
方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例2 若函数的定义域为，求函数的定义域
解 ， ，
故函数的定义域为
【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即，先解出的定义域，即为的定义域。
三、已知复合函数的定义域，求的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
例3 已知的定义域为，求的定义域。
解 由的定义域为得，故
即得定义域为，从而得到，所以
故得函数的定义域为
四、已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4 已知函数定义域为是，且
求函数的定义域
解 ，
，又
要使函数的定义域为非空集合，必须且只需，即，这时函数的定义域为
（三）复合函数的单调性
有以下结论：
u=g(x)
增函数
增函数
减函数
减函数
y=f(u)
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数
判断复合函数的单调性的步骤如下：
(1)求复合函数定义域；
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；
(3)判断每个常见函数的单调性；
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
(5)求出复合函数的单调性。
　 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+∞)
解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，
∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，
∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，
令g(x)= 2-ax，由{ ，解得a<2，∴1<a<2，故选(B).
二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：
例2函数y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？
解：令y= log0.5u，u= x2+4x+4，由x2+4x+4>0知函数的定义域为x≠0，
因y= log0.5u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u= x2+4x+4在x∈(-∞，-2)上是减函数，
在(-2，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，
函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x∈(-∞，-2)上是增函数.
例3.讨论函数y=0.8x -4x+3的单调性。
解：函数定义域为R。
令u=x2-4x+3，y=0.8u。
指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，
u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )
(A).[，π] (B).[0，] (C).[-π，0] (D). [，]
解：令y=sinu，u=x+，∵y=sinu在u ∈[2kπ- ，2kπ+ ](k∈Z)上单调递增，
在u ∈[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)上单调递增，而u=x+在R上是增函数，
根据函数单调性的复合规律，由2kπ- ≤x+≤2kπ+ 得
2kπ- ≤x≤2kπ+，当k=0时，- ≤x≤，而[0，]∈[- ，]
例5.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。
解：显然函数定义域为(0，+∞)。
令 u=log2x，y=u2+u
∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，
y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数(注意(-∞，]及[，+∞)是u的取值范围)
因为u≤log2x≤，0＜x≤，(u≥ log2x≥ x≥)
所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。
（四）利用复合函数求参数取值范围
例1.已知函数f(x)=(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是_______。
分析如下：
令u=x2-ax+3a，y=u． 因为y=u在(0，+∞)上是减函数
∴ f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数
u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。
对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。 

-4＜a≤4
例2.若f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。
令u=-ax+3＞0，y=logau，由于a作对数的底数，所以a＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0得x＜。
在[0，1]上，且u是减函数。 ∴ f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数。
 y=logau是增函数，且[0，1](-∞，]
  1＜a＜3 ． 所以a的取值范围是(1，3)。
1.求下列复合函数的单调区间.
（1）y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)
（2）y=(x2－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间(2，+∞)是单调减区间.)
（3）y=,(答：［2，是单调增区间，］［，3］是单调减区间.)
（4）y=;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)
（5）y=;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)
2．关于x的函数在［1，+∞上为减函数，则实数a的取值范围是 ( D ）A．（－∞,0）B．(－1,0) C．(0,2 D．(－∞,－1)
4 / 4