新初三002方程复习方程.doc

一元一次方程、二元一次方程组、分式方程复习
第一部分 一元一次方程
◆知识讲解
1．等式和它的性质
等式：表示相等关系的式子，叫做等式．
等式的性质：①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式；②等式两边都乘以(或除以）同一个数（除数不为零)所得的结果仍是等式．
2．方程
方程：含有未知数的等式叫做方程．
一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程．ax+b=0(a≠0）是一元一次方程的标准形式．
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解也叫方程的根．
解方程:求方程解的过程叫做解方程．
3．解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
4．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系;
（3）根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；
（4)解这个方程，求出未知数的值；
（5）检验方程的解是不是符合应用题题意的解；
（6）写出答案(包括单位名称)．
◆例题解析
例1、关于x的一元一次方程(k2－1）xk－1+（k－1）x－8=0的解为_____．

例2、解下列方程：
（1） －=1； (2） ［（x－）－8]=x．

例3、一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元;若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产配奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制,酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，为保证产品的质量,这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案,才能使工厂获利最大,最大利润是多少？

◆强化训练
一、填空题
1．若x2－3x=1是关于x的一元一次方程，则a=_____．
2．街房三角形花园的周长是30cm,一边长为（x+2y）m,另一边长为(y－2）m，则第三边长为______．
3．若式子12－3（9－y）与式子5（y－4）的值相等，则y=______．
4．代数式+x与x+2的值互为相反数，则所列方程为______，x=_____．
5．若x=5为方程的解，则m=_____．
6．若 [（x－1)－6]+2=0，则x=_____．
7．如果x=2是方程x+a=－1的根，则a的值是_____．
8．当a____,b____时，方程ax+1=x－b有唯一解,当a_____,b_____时，方程ax+1=x－b有无解，当a_____，b_____时,方程ax+1=x－b，有无穷多解．
9．某企业原有管理人员与营销人员人数之比为3:2,总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调_____人参加营销工作,就能使营销人员人数是管理人员人数的2倍．
10．某商店一套夏装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，则该服装的标价为_______元．
二、选择题
11．在方程x－2=,0.3y=1，x2－5x+6=0，x=0.6x－y=9，=x中,是一元一次方程的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．已知是方程x－ay=2的一个解,那么a的值是（ )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
13．小李在解方程5a－x=13（x为未知数)时，误将－x看作+x，得方程的解为x=－2，则原方程的解为（ ）
A．x=－3 B．x=0 C．x=2 D．x=1
14．某校七年级学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车．设有x辆汽车，则下列方程正确的是（ ）
A．60x=（45x+15）+1 B．60(x－1）=45x－15
C．60(x－1）=45x+15 D．=+1
15．在一次美化校园活动中，先安排32人去拨草，18人去植树，后又增派22人去支援他们,结果拔草的人数是植树人数的2倍．问支援拔草和支援植树的分别有多少人？解题时，若设支援拔草有x人，则下列方程中正确的是（ ）
A．32+x=2×18 B．32+x=2（40－x)
C．54－x=2（18+x） D．54－x=2×18
16．一列火车长为150m,以15m/s的速度通过600m的隧道，从火车进入隧道口算起,到这列火车完全通过隧道所需时间是( ）
A．60s B．50s C．40s D．30s
17．足球比赛的计分规则为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．1个队打了14场比赛，负5场共得19分，那么这个队胜了（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
18．某商品进货价便宜8％,而售价保持不变，那么它的利润（按进货价而定）可由目前的x％增加到（x+10）％，则x%是（ )
A．12％ B．15% C．30% D．50%
三、解答题
19．解下列方程：
（1）=0； （2） [1－2x+（3x－5）]=x．

20．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合作20天才能完成．
(1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合作完成这项工程所需的天数．
21．京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京，天津间单程直达运行时间为0。5h．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6min，由天津返回北京的行驶时间与预计的时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40km，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是多少？

22．生态公园计划在园内的坡地上造一片有A,B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000棵，种植A，B两种树苗的相关信息如表所示：

单价/(元/棵）
成活率
劳务费/（元/棵)
A
15
95％
3
B
20
99%
4
设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元,解答下列问题：
(1）写出y（元）与x(棵）之间的函数关系式；
（2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元？

23．某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．
（1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全家购物满100元返购物券30元(不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买省钱？

第二部分 二元一次方程组
◆知识讲解
1．二元一次方程组的有关概念
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此,任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合,叫做这个二元一次方程的解集．
二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
2．二元一次方程组的解法
(1)、代入消元法 （2)、加减消元法
3．二元一次方程组的应用
对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：
（1)选定几个未知数；
（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组;
（3）解方程组，得到方程组的解；
（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．
◆例题解析
例1、已知是方程组的解,求（m+n）的值．

例2、“5．12”汶川大地震后,灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产,工厂决定转产,计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线,一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．
（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?
（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长,你会怎样体现你的社会责任感？

例3、某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃"和徽章两种奥运商品,根据下图提供的信息,求一盒“福娃"玩具和一枚徽章的价格各是多少元?

例4 、为满足用水量不断增长的需求,昆明市最近新建甲,乙，丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3,其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3．
（1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?
（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石，运输公司派出A型，B型两种载重汽车，A型汽车6辆,B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆,B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完,那么每辆A型汽车，每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）

◆强化训练
一、填空题
1．若2xm+n－1－3ym－n－3+5=0是关于x，y的二元一次方程，则m=_____，n=_____．
2．在式子3m+5n－k中，当m=－2，n=1时,它的值为1；当m=2,n=－3时,它的值是_____．
3．若方程组的解是，则a+b=_______．
4．已知方程组的解x，y,其和x+y=1，则k_____．
5．已知x，y，t满足方程组，则x和y之间应满足的关系式是_______．
6．（2008,宜宾）若方程组的解是，那么│a－b│=_____．
7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．
8．为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点,每天8：00至21：00用电每千瓦时0。55元（“峰电”价），21：00至次日8:00用电每千瓦时0。30元(“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，五月份用电量为300kW·h，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”________kW·h．
二、选择题
9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知是方程组的解，则a+b的值等于（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．0
11．已知│2x－y－3│+（2x+y+11)2=0，则（ )
A． B． C． D．
12．在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是,那么a，b，c的值是（ )
A．不能确定 B．a=4,b=5，c=－2
C．a,b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7,c=2
13．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是( ）

A．20g B．25g C．15g D．30g
14．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货,则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
15．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，这时男女同学之比为5:3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（ ）
A．39名 B．43名 C．47名 D．55名
16．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元,捐款情况如下表：
捐款/元
1
2
3
4
人数
6

7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．
若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意,可得方程组．（ ）
A． B． C． D．
17．甲，乙两人分别从两地同时出发,若相向而行，则ah相遇；若同向而行，则bh甲追 上乙，那么甲的速度是乙的速度为（ )
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
18．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺,而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，信封个数分别为( ）
A．150,100 B．125，75 C．120,70 D．100，150
三、解答题
19．解下列方程组：
（1） （2）

20．为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃"．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒,如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

21．为支持四川抗震救灾,重庆市A,B，C三地现在分别有赈灾物资00t，100t,80t,需要全部运往四川重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况,这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t．
(1）求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60t，A地运往D县的赈灾物资为xt(x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t．则A，B两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案：
(3)已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如表所示：

A地
B地
C地
运往D县的费用/（元/t）
220
200
200
运往E县的费用/（元/t）
250
220
210
为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

22．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次）,共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．
购苹果数
不超过30kg
30kg以下但
不超过50kg
50kg
以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克?

第三部分 分式方程
◆知识讲解
解分式方程
分式方程
概念
基本方法
步骤
注意的问题
分式方程的应用
分式方程
整式方程
整式方程的解
分式方程的解
数学化
转化
检验
实
际
问
题
一、知识网络

二、知识要点回顾
1、分式方程的概念
分式方程是分母中含有未知数的方程。
①分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据，如和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程(一元一次方程)。
②判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母.如方程（a是常数，且a≠0，x是未知数)就不是分式方程。
2、分式方程的解的意义
使分式方程左右两边相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。
注意:①由于分式方程都可以化为一元一次的整式方程,故它的解至多一个，也可能无解；②可用代入法检验一个数是否是分式方程的解，或进一步确定待定常数。
3、如何解分式方程？
(1)解分式方程的基本思想———“转化”思想,即把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。
(2）解分式方程的步骤：
分式方程是转化为一元一次方程来求解,它是通过去分母实现转化的。主要步骤：去分母，去括号，移项,合并同类项，系数化为1，检验。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。
4、去分母的技巧
去分母是解分式方程的第一步,也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母；当各分式的分母中有二次式时,要先进行因式分解，再确定最简公分母,然后再去分母。
5、“增根”是怎样产生的?
解分式方程时，由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母(含未知数的整式),得到了一个整式方程，从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了.对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义.所以分式方程不允许末知数取那些使分母的值为零的值.即分式方程本身隐含着分母不为零这一条件,当我们通过去分母把分式方程转化为一元一次方程时,这种限制被取消了，于是就可能出现使原分式方程的分母为零的根，即“增根”.因此，在解分式方程时必须验根。
6、验根的方法：
因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的。验根的方法有两种:一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验,这种方法道理简单,而且可以检查解方程时有无计算错误;另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，如果使最简公分母为零，那么这个解就是原方程的增根，故必须舍去。这种方法比较简便,但不能检查解方程过程中出现的计算错误。
7、注意的问题：
①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.
②用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项。
③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程的必要步骤.
8、列分式方程解应用题的方法步骤:
（1）、审：弄清题中涉及哪些量？已知量和未知量各有几个？量与量之间的基本关系是什么？
(2）、设：设恰当的未知数；设未知数，找出尽可能多的相等关系，用含有未知数的代数式表示其他未知量。注意,所设未知量的单位要明确。
(3)、列:抓住题中含有相等关系的语句，将此语句抽象为含有未知数的等式，这就是方程．
（4）、解：求出所列方程的解；
（5)、验:用分式方程解决实际问题时,必须进行检验.这里的检验应包括两层含义，第一,检验得到的根是不是分式方程的增根;第二,检验得到的根是否符合实际问题的题意。
（6）、答:写出答案。
三、思想方法:
类比和转化的思想。
四、常见误区提示
（一）忽视检验
例1 解方程
例2 解方程
例3 解方程
例4 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
例5 若关于x的方程－1=0有增根，则a的值为 .
例6、解方程
例7　解方程
【例1】解下列分式方程：
1、; 2、

3、
【例3】解方程：
一、填空题：
1、若关于的方程有增根，则的值为 。
2、用换元法解方程，如果设，则原方程可变形为整式方程 。
3、分式方程有增根,则＝ .
4、若,则＝ 或 .
5、方程的解是x= ．
6、已知与的和等于，则 ， 。
二、选择题:
1、方程有（ ）
A、一解 B、两解 C、无解 D、无穷多个解
2、方程的根是( ）
A、－2 B、 C、－2, D、－2,1
3、用换元法解方程时,下列换元方法中最适宜的是设（ )
A、 B、 C、 D、
4、用换元法解方程，通常会设（ ）
A、 B、 C、 D、
5、解方程会出现的增根是（ ）
A． B. C。 或 D。
6、如果分式与的值相等,则的值是（ ）
A．9 　B．7 C．5 D．3
7、如果，则下列各式不成立的是（ )
A． B． C． D．
8、若分式的值为0，则x的值为（ ）
A。 1 B。 -1 C. ±1 D。2

三、解下列方程：
1、； 2、；

3、 ； 4、

四、用换元法解下列方程
1、； 2、;

3、 ； 4、

五、已知，求的值。

六、应用题
例1、在2008年春运期间,我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电。该地供电局组织电工进行抢修。供电局距离抢修工地15千米。抢修车装载着所需材料先从供电局出发,15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1。5倍，求这两种车的速度。

例2、某中学库存960套旧桌凳,修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套;学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．
(1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．
（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：
① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案既省时又省钱?试比较说明．

练习
1、（2012湖北黄冈,21,6分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有A、B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20天完成，求A、B两车间每天分别能加工多少件？

2、(2010云南昆明,23，7分)去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水,为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1。8倍，结果提前20天完成修水渠任务。问原计划每天修水渠多少米？

3、(2012南通如东一模,22,8分)为了迎接市中学生田径运动会,计划由八年级(1）班的是三个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务,改由老外两个小组完成制作彩旗的任务.这样,这两个小组的每名同学就要比原计划多做4面彩旗。如果每个小组的人数相等，那么每个小组有多少名同学?

4、（2012扬州广陵模拟,24,10分）去年冬天,我国云南部分地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务,部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒,每天比原计划多打三口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？

5、（2012扬州树人学校二模，24，10分)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：信息一:按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元。
根据以上信息,求原来报名参加的学生有多少？

6、 (2011扬州模拟）学校广场有一段25米长的旧围栏AB.现打算利用该围栏的一部分作为一边，围造一片面积为100平方米的长方形草坪CDEF，CD小于DE，CF靠在AB上。已知整修旧围栏的价格是每米1。75元，围造新围栏的价格是每米4.5元。设利用旧围栏CF的长度为x米,修建新围栏所需的总费用为y元。
（1）、求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
（2)、若修建费用为150元，则应利用旧围栏多少米?
（3）、如计划修建费用为只有120元，则能否完成该草坪围栏的修建任务？说明理由。