解析几何常用知识点总结.doc

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（一）直线
1.
2.直线的方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）一般式 (其中A、B不同时为0).
特别的：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或；已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或.知直线过点，常设其方程为或
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点；
直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；
直线两截距绝对值相等 直线的斜率为或直线过原点.
(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3、几个距离公式
（1）两点间距离公式：
(2)到直线的距离为
特别地，当直线L: 时，点P ()到L的距离；
当直线L: 时，点P ()到L的距离.
(3).两平行线间的距离公式：设
4.两直线的位置关系：；
；重合
5.三角形的重心坐标公式 ：△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

（二）圆
1. 圆的三种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、)
注意：
（1）.圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。
（2）.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）求圆心到直线的距离与圆的半径比较；（2）直线方程与圆的方程联立，看判别式。
2.点P()和圆的位置关系：
（1）当时，点P在圆外;
(2)当时，点P在圆上；
(3)当时，点P在圆内.
3.直线和圆的位置关系：
直线与圆相交>0 d<r(d为圆心到直线的距离)
直线与圆相切=0 d=r
直线与圆相离<0 d>r.
4.圆与圆的位置关系：设圆的半径为，圆的半径为，两圆的圆心距为d,
当时，两圆相离；当时，两圆外切；
当时，两圆相交；当=d时，两圆内切;
当<d时，两圆外离；当>d时，两圆内含。
注意：
（1）若两圆相交时，把两圆的方程作差消去和就得到两圆的公共弦所在直线的方程。
（2）圆的弦长公式（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）
（3）求圆外一点P到圆O上任一点距离的最小值为，最大值为（其中r为圆的半径）
（三）圆锥曲线
1、椭圆：
（1）定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
（2）椭圆的标准方程和几何性质

标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形

性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
注意：
(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值，且最大距离为，最小距离为。
(2)过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通经.
(3)求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个齐次方程，在结合就可求出e（）.
2、双曲线
（1）.双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
（2）. 双曲线的标准方程和几何性质：
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图　形

范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)

注意：(1)直线和双曲线交于一点时，不一定相切，例如，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
(2)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即就是双曲线的两条渐近线方程.
(3)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不纯在的情况.
3、抛物线
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
（2）抛物线的标准方程和几何性质：
图形

标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下

注意：(1)过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
(2)焦半径公式：
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则．
(3)焦点弦问题：
设AB是过抛物线焦点的弦.
则；；
4. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）