函数极限模拟题与解析.docx

函数与极限习题与解析
（同济大学第六版高等数学）
一、填空题
1、设 ，其定义域为 。
2、设 ，其定义域为 。
3、设 ，其定义域为 。
4、设的定义域是[0，1]，则的定义域为 。
5、设的定义域是[0，2] ，则的定义域为 。
6、 ，则k= 。
7、函数有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当时 ， ，且处连续 ，则 。
9、 。
10、函数在处连续是在连续的 条件。
11、 。
12、 ，则k= 。
13、函数的间断点是 。
14、当时，是比 的无穷小。
15、当时，无穷小与x相比较是 无穷小。
16、函数在x=0处是第 类间断点。
17、设 ，则x=1为y的 间断点。
18、已知，则当a为 时，函数在处连续。
19、设若存在 ，则a= 。
20、曲线水平渐近线方程是 。
21、的连续区间为 。
22、设 在连续 ，则常数
a= 。
二、计算题
1、求下列函数定义域
（1） ； （2） ；
（3） ；
2、函数和是否相同？为什么？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
3、判定函数的奇偶性
（1） ； （2） ；
（3） ；
4、求由所给函数构成的复合函数
（1） ；
（2） ；
（3） ；
5、计算下列极限
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ；
6、计算下列极限
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
7、比较无穷小的阶
（1） ；
（2） ；
8、利用等价无穷小性质求极限
（1） ； （2） ；
9、讨论函数的连续性

10、利用函数的连续性求极限
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；
（6） ；
11、设函数
应当怎样选择a ，使得内的连续函数。
12、证明方程至少有一个根介于1和2之间。
（B）
1、设的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域
（1） （2）
2、设
求
3、利用极限准则证明：
（1） （2） ；
（3）数列的极限存在 ；
4、试比较当时 ，无穷小与的阶。
5、求极限
（1） ； （2） ；
（3） ；
（4） ；
6、设 要使内连续，
应当怎样选择数a ？
7、设 求的间断点，并说明间断点类型。
（C）
1、已知 ，且 ，求并写出它的定义域。
2、求下列极限：
（1）、 ；（2）、 ；
（3）、求 ；（4）、已知 ，求常数 。
（5）、设在闭区间上连续 ，且 ，
证明：在开区间内至少存在一点 ，使 。
第一章 函数与极限
习 题 解 析
（A）
一、填空题
（1） （2） （3）[2 ，4]
（4） （5）
（6）-3 （7） （8）2 （9）1
（10）充分 （11） （12） （13）x=1 , x=2 （14）高阶
（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2
（20）y=-2 （21） （22）1
二、计算题
1、（1）
（2） （3）
2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同
3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数
4、（1） （2） （3）
5、（1）[ 2 ] （2） （3）-9 （4）0 （5）2 （6）
（7）0 （8） （9）
6、（1）w （2） （3）1 （4） （5） （6）
7、（1） （2）是同阶无穷小
8、（1） （2）
9、不连续
10、（1）0 （2）1 （3）0 （4） （5）0 （6）-2
11、a=1
（B）
1、（1）提示：由 解得：
（2）提示：由解得：
2、提示：分成和两段求。 ， ，
,
4、（1）提示： （2）提示：
（3）提示：用数学归纳法证明：
5、提示： 令（同阶）
6、（1）提示：乘以 ； （2）提示：除以 ；
（3）提示：用等阶无穷小代换 ；
（4）提示：
（）
7、提示： （）
8、是第二类间断点 ，是第一类间断点
（C）
1、解：因为 ，故 ，再由 ，
得： ，即 。所以：， 。
2、解：原式==
==0
3、解：因为当时 ， ，
则===
4、解：因为：9====
所以 ，
5、证明：令 ，在上连续 ，且
， 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开区间内至少存在一点 ，使 ，即 。

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