圆的一般方程练习题.doc

课时作业23　圆的一般方程

(限时：10分钟)
1．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A．－2或2　　B.或
C．2或0 D．－2或0
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离＝，解得a＝0或2.
答案：C
2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：圆心为，则有a<0，b>0.直线x＋ay＋b＝0变为y＝－x－.由于斜率－>0，在y轴上截距－>0，故直线不经过第四象限．
答案：D
3．直线y＝2x＋b恰好平分圆x2＋y2＋2x－4y＝0，则b的值为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．1
解析：由题意可知，直线y＝2x＋b过圆心(－1,2)，
∴2＝2×(－1)＋b，b＝4.
答案：C
4．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.
答案：x－y－3＝0　x＋y－3＝0
5．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为，
由题意得
即解得
所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0.

(限时：30分钟)
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(2，－3)；16　　　　　　　B．(－2,3)；4
C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4
解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4.
答案：B
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(　　)
A.<m<1 B．m>1
C．m< D．m<1
解析：由42＋(－2)2－4×5m>0解得m<1.
答案：D
3．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别是2和3的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3y＝0
B．x2＋y2＋2x－3y＝0
C．x2＋y2－2x＋3y＝0
D．x2＋y2＋2x＋3y＝0
解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A，B两点坐标代入四个选项，只有A完全符合，故选A.
解法二(待定系数法)：设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
故方程为x2＋y2－2x－3y＝0.
解法三(几何法)：
由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，
由弦AB所对的圆心角为90°，知线段AB为圆的直径，即所求的圆是以AB中点为圆心，|AB|＝为半径的圆，其方程为(x－1)2＋2＝2，化为一般式得x2＋y2－2x－3y＝0.
答案：A
4．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点(　　)
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．与圆的位置关系不确定
解析：圆的标准方程是(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即>，所以原点在圆外．
答案：B
5．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
解析：设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.
答案：B
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________
解析：由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.
答案：－2
7．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是________．
解析：
关键是搞清式子的意义．实数x，y满足方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，所以(x，y)为方程所表示的曲线上的动点，＝，表示动点(x，y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示以C(－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值．|CO|＝＝，|MO|＝＋3.
答案：＋3
8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．
解析：设M的坐标为(x，y)，
由题意可知圆心A为(2，－1)，P(2x－2,2y＋1)在圆上，
故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
9．设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径；
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．
解析：(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.
∴圆心坐标为C(2,0)，半径为r＝3.
(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP⊥AB，∴kCP·k＝－1.
∴kCP＝＝1，
∴k＝－1.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，
即x＋y－4＝0.
10．已知定点O(0,0)，A(3,0)，动点P到定点O的距离与到定点A的距离的比值是，求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．
解析：设动点P的坐标为(x，y)，
则由|PO|＝|PA|，
得λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2，
整理得：(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0.
∵λ>0，
∴当λ＝1时，方程可化为2x－3＝0，
故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，方程可化为2＋y2＝2，
即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆．