圆的一般方程.doc

(完整word)圆的一般方程圆的一般方程学习目标1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.2。会在不同条件下求圆的一般方程。知识点一圆的一般方程的定义1。当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程，其圆心为,半径为.2。当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示点。3.当D2E24F0).则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xyDx0Ey0F0点M在圆上xyDx0Ey0F0点M在圆内xyDx0Ey0F0题型一圆的一般方程的定义例1判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆,若能表示圆，求出圆心和半径长.解方法一由方程x2y24mx2my20m200，知D4m，E2m，F20m20，故D2E24F16m24m280m8020（m2)2。因此，当m2时，它表示一个点;当m2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为（2m，m），半径长r|m2|。方法二原方程可化为(x2m）2(ym)25(m2）2。因此，当m2时,它表示一个点；当m2时,原方程表示圆。此时,圆的圆心为(2m,m），半径长r|m2|。跟踪训练1如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的范围是_.答案解析由题意可知(2）2124k0，即k。题型二求圆的一般方程例2已知ABC的三个顶点为A（1,4），B(2，3),C（4，5)，求ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解方法一设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，A，B，C在圆上，ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即（x1)2(y1)225。圆心坐标为（1，1），外接圆半径为5。方法二设ABC的外接圆方程为(xa)2（yb）2r2，A、B、C在圆上，解得即外接圆的圆心为(1，1）,半径为5，圆的标准方程为（x1）2（y1）225，展开易得其一般方程为x2y22x2y230.方法三kAB，kAC3,kABkAC1,ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形.圆心是线段BC的中点，坐标为（1，1)，r|BC|5.外接圆方程为(x1）2（y1）225.展开得一般方程为x2y22x2y230.跟踪训练2已知一个圆过P(4，2)，Q（1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。解设圆的方程为x2y2DxEyF0。令x0，得y2EyF0.由已知|y1y24,其中y1,y2是方程y2EyF0的两根，（y1y2）2(y1y2）24y1y2E24F48。将P，Q两点的坐标分别代入圆的方程，得解联立成的方程组,得或圆的方程为x2y22x120或x2y2xy0。题型三求动点的轨迹方程例3已知直角ABC的斜边为AB,且A(1，0），B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.解方法一设顶点C（x，y），因为ACBC，且A,B，C三点不共线，所以x3，且x1。又因为kAC，kBC，且kACkBC1，所以1,化简，得x2y22x30。所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3,且x1)。方法二同方法一，得x3，且x1。由勾股定理，得AC|2BC2|AB|2，即（x1)2y2（x3)2y216，化简得x2y22x30。所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1）。方法三设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1,0）.由直角三角形的性质，知CD|AB|2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1,0)为圆心,以2为半径长的圆(因为A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）。设C（x，y)，则直角顶点的轨迹方程为（x1)2y24(x3，且x1）。跟踪训练3求到点O（0，0）的距离是到点A(3,0)的距离的的点的轨迹方程。解设M(x，y）到O（0,0)的距离是到A(3,0)的距离的。则。化简，得x2y22x30。即所求轨迹方程为(x1）2y24.代入法求圆的方程例4已知定圆的方程为(x1)2y24，点A(1，0）为定圆上的一个点，点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.分析由于点M依赖于动点C,且动点C在圆上，故只要找到点M与点C的坐标关系,再利用点C的坐标满足圆的方程，即可求得点M的轨迹方程。解设点M（x,y）,点C（x0，y0)，因为M是动弦AC的中点，所以由中点坐标公式可得即因为点C与点A不重合，所以x01，即x1.又因为点C(x0，y0）在圆（x1)2y24上，所以(x01)2y4(x01),将代入，得(2x11)2（2y)24(x1），即x2y21(x1）。因此,动点M的轨迹方程为x2y21(x1）.解后反思对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.忽略有关圆的范围求最值致误例5已知圆的方程为x2y22x0，点P（x，y）在圆上运动，求2x2y2的最值。分析由x2y22x0，得y2x22x0，求得x的范围。而点P（x，y)在圆上，则可将2x2y2转化为关于x的二次函数,就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题。解由x2y22x0，得y2x22x0.所以0x2.又因为2x2y22x2x22xx22x(x1)21，所以02x2y28。所以当x0，y0时,2x2y2有最小值0,当x2，y0时，2x2y2有最大值8。故2x2y2有最小值0，最大值8。1.圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A。（2,3） B。(2,3） C.(2，3） D.（2,3）2。方程x2y2xyk0表示一个圆,则实数k的取值范围为（)A。k B.k C。k D。k3.M（3，0）是圆x2y28x2y100内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是(）A.xy30 B.xy30C.2xy60 D.2xy604.圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为（)A.2 B. C。1 D。5.圆x2y22x4ym0的直径为3，则m的值为_.一、选择题1.圆x2y24x6y30的圆心和半径长分别为(）A.（4，6)，16 B.(2，3)，4C.（2，3)，4 D.（2，3）,162。圆C:x2y24x2y0关于直线yx1对称的圆的方程是（)A。(x1）2(y2)25 B.（x4)2（y1）25C。(x2）2(y3)25 D.(x2)2(y3)253.当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A。x2y22x4y0 B.x2y22x4y0C.x2y22x4y0 D.x2y22x4y04。已知两点A(2，0），B(0，2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC的面积最小值是（）A.3 B.3 C.3 D。5。圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a,bR）对称，则ab的取值范围是（）A. B。 C。 D.6.若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2（b2)2的最小值为()A。 B.5 C.2 D。107.已知M(2,0），N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是(）A.x2y24(x2) B。x2y24C.x2y22（x2） D.x2y22二、填空题8。已知点A(1，2）在圆x2y22x3ym0内，则m的取值范围是_。9.已知A，B是圆O：x2y216上的两点，且|AB|6。若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,1）,则圆心M的轨迹方程是_.10.点P（x0，y0）是圆x2y216上的动点，点M是OP（O为原点）的中点,则动点M的轨迹方程是_.11.光线从点A(1，1）出发,经y轴反射到圆C：(x5)2（y7）24的最短路程等于_.三、解答题12.已知一圆过P（4，2)、Q(1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.13。已知方程x2y22（t3）x2（14t2）y16t490(tR)表示的图形是圆.（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程;（3）若点P（3，4t2）恒在所给圆内，求t的取值范围.当堂检测答案1。答案D解析2，3,圆心坐标是(2，3)。2。答案D解析方程表示圆114k0k.3。答案B解析过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线。易得圆的圆心为（4,1)，则所求直线的方程为,即xy30.4。答案D解析易得圆的圆心为（1，2），它到直线xy1的距离为.5。答案解析因(x1)2（y2）25m，r，m。课时精练答案一、选择题1。答案C解析由x2y24x6y30，得(x2)2(y3)216，故圆心为（2,3），半径长为4.2。答案C解析把圆C的方程化为标准方程为(x2）2(y1）25，圆心C（2，1)，设圆心C关于直线yx1的对称点为C(x0，y0),则解得故C(2，3)圆C关于直线yx1对称的圆的方程为（x2）2（y3)25.3.答案C解析直线(a1)xya10可化为（xy1）a(1x）0，由得C(1,2）。圆的方程为(x1)2（y2)25，即x2y22x4y0。4.答案A解析直线AB的方程为xy20，圆心到直线AB的距离为d，所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为1，SABCAB23。5.答案A解析圆x2y22x4y10关于直线2axby20（a，bR)对称,则圆心在直线上，求得ab1，aba（1a)a2a2,ab的取值范围是，故选A。6.答案B解析直线l过圆心C（2，1)，则2ab10，则b2a1,所以(a2)2(b2)2（a2)2(2a12)25a255，所以(a2）2(b2)2的最小值为5。7。答案A解析设P(x，y），则PMPN.又kPM（x2），kPN（x2），kPMkPN1，1，即x24y20,即x2y24（x2）。当x2时,不能构成以MN为斜边的直角三角形,因此不成立。同理当x2时也不成立。故点P的轨迹方程是x2y24（x2).二、填空题8.答案m13解析因为A(1,2）在圆x2y22x3ym0内，所以1426m0，解得m13.又由494m0，得m.综上,m13。9.答案（x1)2(y1）29解析设圆心为M(x,y）。由AB|6，知圆M的半径长r3，则|MC|3,即3，所以(x1)2（y1)29。10。答案x2y24解析设M（x，y),则即又P（x0，y0)在圆上，4x24y216，即x2y24。11.答案62解析A（1，1）关于y轴对称点为A（1，1），所求的最短路程为|AC2，|AC|6.所求的最短路程为62.三、解答题12.解方法一设圆的方程为:x2y2DxEyF0,将P、Q的坐标分别代入，得令x0，由得y2EyF0，由已知|y1y24,其中y1,y2是方程的两根.（y1y2）2(y1y2)24y1y2E24F48.解联立成的方程组，得或故所求方程为：x2y22x120或x2y210x8y40。方法二求得PQ的中垂线方程为xy10。所求圆的圆心C在直线上，故设其坐标为（a，a1)，又圆C的半径rCP| .由已知圆C截y轴所得的线段长为4,而圆C到y轴的距离为|a|。r2a22，代入并将两端平方，得a26a50,解得a11,a25。r1，r2.故所求圆的方程为：（x1）2y213或（x5）2（y4)237.13.解（1)已知方程可化为（xt3)2(y14t2)2(t3）2（14t2)216t49，r27t26t10,由二次函数的图象解得t1.(2)由（1）知r ，当t(，1)时，rmax，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是（x）2(y)2.(3)当且仅当32(4t2）22（t3）32(14t2）(4t2)16t490时，点P恒在圆内，8t26t0，0t.