圆的一般方程.doc

(完整word)圆的一般方程
　圆的一般方程
［学习目标]　1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.2。会在不同条件下求圆的一般方程。

知识点一　圆的一般方程的定义
1。当D2＋E2－4F〉0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为,半径为.
2。当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点。
3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
思考　若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0,表示圆，需满足什么条件？
答　①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.
知识点二　由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M（x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0).则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F〈0

题型一　圆的一般方程的定义
例1　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆,若能表示圆，求出圆心和半径长.
解　方法一　由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
故D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20（m－2)2。
因此，当m＝2时，它表示一个点;
当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为（2m，－m），半径长r＝＝|m－2|。
方法二　原方程可化为(x－2m）2＋(y＋m)2＝5(m－2）2。
因此，当m＝2时,它表示一个点；
当m≠2时,原方程表示圆。
此时,圆的圆心为(2m,－m），半径长r＝|m－2|。

跟踪训练1　如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.
答案　
解析　由题意可知(－2）2＋12－4k〉0，
即k〈。
题型二　求圆的一般方程
例2　已知△ABC的三个顶点为A（1,4），B(－2，3),C（4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
解　方法一　设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即（x－1)2＋(y＋1)2＝25。
∴圆心坐标为（1，－1），外接圆半径为5。
方法二　设△ABC的外接圆方程为
(x－a)2＋（y－b）2＝r2，∵A、B、C在圆上，
∴
解得即外接圆的圆心为(1，－1）,半径为5，
∴圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
方法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3,
∴kAB·kAC＝－1,∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.
∴圆心是线段BC的中点，
坐标为（1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1）2＋（y＋1）2＝25.
展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.

跟踪训练2　已知一个圆过P(4，2)，Q（－1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。
解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由已知|y1－y2｜＝4,其中y1,y2是方程y2＋Ey＋F＝0的两根，
∴（y1－y2）2＝(y1＋y2）2－4y1y2＝E2－4F＝48。①
将P，Q两点的坐标分别代入圆的方程，得
解①②③联立成的方程组,得或
∴圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－x－y＋＝0。
题型三　求动点的轨迹方程
例3　已知直角△ABC的斜边为AB,且A(－1，0），B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解　方法一　设顶点C（x，y），因为AC⊥BC，且A,B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1。
又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1,化简，得x2＋y2－2x－3＝0。
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3,且x≠－1)。
方法二　同方法一，得x≠3，且x≠－1。
由勾股定理，得｜AC|2＋｜BC｜2＝|AB|2，
即（x＋1)2＋y2＋（x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0。
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1）。
方法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1,0）.
由直角三角形的性质，知｜CD|＝｜AB|＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1,0)为圆心,以2为半径长的圆(因为A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）。
设C（x，y)，则直角顶点的轨迹方程为（x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1）。

跟踪训练3　求到点O（0，0）的距离是到点A(3,0)的距离的的点的轨迹方程。
解　设M(x，y）到O（0,0)的距离是到A(3,0)的距离的。
则＝。∴＝。
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0。即所求轨迹方程为(x＋1）2＋y2＝4.

代入法求圆的方程

例4　已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1，0）为定圆上的一个点，点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
分析　由于点M依赖于动点C,且动点C在圆上，故只要找到点M与点C的坐标关系,再利用点C的坐标满足圆的方程，即可求得点M的轨迹方程。
解　设点M（x,y）,点C（x0，y0)，
因为M是动弦AC的中点，所以由中点坐标公式可得即①
因为点C与点A不重合，所以x0≠1，即x≠1.
又因为点C(x0，y0）在圆（x＋1)2＋y2＝4上，
所以(x0＋1)2＋y＝4(x0≠1),②
将①代入②，得(2x－1＋1)2＋（2y)2＝4(x≠1），
即x2＋y2＝1(x≠1）。
因此,动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠1）.
解后反思　对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.

忽略有关圆的范围求最值致误

例5　已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，点P（x，y）在圆上运动，求2x2＋y2的最值。
分析　由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0，求得x的范围。而点P（x，y)在圆上，则可将2x2＋y2转化为关于x的二次函数,就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题。
解　由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0.
所以0≤x≤2.
又因为2x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
所以0≤2x2＋y2≤8。
所以当x＝0，y＝0时,2x2＋y2有最小值0,
当x＝2，y＝0时，2x2＋y2有最大值8。
故2x2＋y2有最小值0，最大值8。

1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A。（2,3） B。(－2,3） C.(－2，－3） D.（2,－3）
2。方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆,则实数k的取值范围为（　　)
A。k≤ B.k＝ C。k≥ D。k<
3.M（3，0）是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是(　　）
A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为（　　)
A.2 B. C。1 D。
5.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.

一、选择题
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为(　　）
A.（4，－6)，16 B.(2，－3)，4
C.（－2，3)，4 D.（2，－3）,16
2。圆C:x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是（　　)
A。(x＋1）2＋(y－2)2＝5 B.（x＋4)2＋（y－1）2＝5
C。(x＋2）2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
3.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为(　　)
A。x2＋y2－2x＋4y＝0 B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0 D.x2＋y2－2x－4y＝0
4。已知两点A(－2，0），B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是（　　）
A.3－ B.3＋ C.3－ D。
5。圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a,b∈R）对称，则ab的取值范围是（　　）
A. B。 C。 D.
6.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋（b－2)2的最小值为(　　)
A。 B.5 C.2 D。10
7.已知M(－2,0），N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是(　　）
A.x2＋y2＝4(x≠±2) B。x2＋y2＝4
C.x2＋y2＝2（x≠±2） D.x2＋y2＝2

二、填空题
8。已知点A(1，2）在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则m的取值范围是________。
9.已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6。若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,－1）,则圆心M的轨迹方程是________.
10.点P（x0，y0）是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP（O为原点）的中点,则动点M的轨迹方程是________.
11.光线从点A(1，1）出发,经y轴反射到圆C：(x－5)2＋（y－7）2＝4的最短路程等于______.

三、解答题
12.已知一圆过P（4，－2)、Q(－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.

13。已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆.
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程;
（3）若点P（3，4t2）恒在所给圆内，求t的取值范围.

当堂检测答案
1。答案　D
解析　－＝2，－＝－3,∴圆心坐标是(2，－3)。
2。答案　D
解析　方程表示圆⇔1＋1－4k〉0⇔k<.
3。答案　B
解析　过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线。易得圆的圆心为（4,1)，则所求直线的方程为＝,即x－y－3＝0.
4。答案　D
解析　易得圆的圆心为（1，－2），它到直线x－y＝1的距离为＝.
5。答案　
解析　因(x＋1)2＋（y－2）2＝5－m，
∴r＝＝，∴m＝。

课时精练答案
一、选择题
1。答案　C
解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为（－2,3），半径长为4.
2。答案　C
解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2）2＋(y＋1）2＝5，
∴圆心C（2，－1)，设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0),
则解得故C′(－2，3)
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为（x＋2）2＋（y－3)2＝5.
3.答案　C
解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为（－x－y＋1）＋a(1＋x）＝0，
由得C(－1,2）。
∴圆的方程为(x＋1)2＋（y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0。
4.答案　A
解析　直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，
所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC＝×｜AB｜×＝×2×＝3－。
5.答案　A
解析　圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R)对称,则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a（1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤,ab的取值范围是，故选A。
6.答案　B
解析　直线l过圆心C（－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1,所以(a－2)2＋(b－2)2＝（a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2）2＋(b－2)2的最小值为5。
7。答案　A
解析　设P(x，y），则PM⊥PN.
又kPM＝＝（x≠－2），
kPN＝＝（x≠2），
∵kPM·kPN＝－1，∴·＝－1，
即x2－4＋y2＝0,即x2＋y2＝4（x≠±2）。
当x＝2时,不能构成以MN为斜边的直角三角形,
因此不成立。同理当x＝－2时也不成立。
故点P的轨迹方程是x2＋y2＝4（x≠±2).

二、填空题
8.答案　m＜－13
解析　因为A(1,2）在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.
又由4＋9－4m＞0，得m＜.
综上,m＜－13。
9.答案　（x－1)2＋(y＋1）2＝9
解析　设圆心为M(x,y）。由｜AB|＝6，知圆M的半径长r＝3，则|MC|＝3,即＝3，所以(x－1)2＋（y＋1)2＝9。
10。答案　x2＋y2＝4
解析　设M（x，y),则即
又P（x0，y0)在圆上，
∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4。
11.答案　6－2
解析　∵A（1，1）关于y轴对称点为A′（－1，1），
∴所求的最短路程为|A′C｜－2，
|A′C|＝＝6.
∴所求的最短路程为6－2.
三、解答题
12.解　方法一　设圆的方程为:
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,①
将P、Q的坐标分别代入①，得

令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2｜＝4,其中y1,y2是方程④的两根.
∴（y1－y2）2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0。

方法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0。①
∵所求圆的圆心C在直线①上，
故设其坐标为（a，a－1)，
又圆C的半径r＝｜CP|＝ .②
由已知圆C截y轴所得的线段长为4,而圆C到y轴的距离为|a|。
r2＝a2＋2，代入②并将两端平方，
得a2－6a＋5＝0,
解得a1＝1,a2＝5。
∴r1＝，r2＝.
故所求圆的方程为：（x－1）2＋y2＝13或（x－5）2＋（y－4)2＝37.
13.解　（1)已知方程可化为（x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3）2＋（1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1〉0,
由二次函数的图象解得－〈t〈1.
(2)由（1）知r＝＝ ，
∴当t＝∈(－，1)时，rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是（x－）2＋(y＋)2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2）2－2（t＋3）×3＋2(1－4t2）·(4t2)＋16t4＋9<0时，
点P恒在圆内，∴8t2－6t〈0，∴0〈t〈.