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《圆的一般方程》教学设计与反思

一、 教材分析：
《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。
二、 学情分析：
对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
三、 教学目标：
（一）知识与技能：
1．理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；
2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；
3．逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程．
（二）过程与方法：
1.从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；
2.随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；
3．通过一题多解，培养学生发散思维；
4．在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神．
（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣．
四、 教学重点：
1.圆的一般方程的形式；
2.在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.
五、 教学难点：
用配方法求圆心坐标和半径.
六、 教学过程：
教学环节
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、复习回顾：
1．圆的标准方程
2．写出圆心为（2，-1），半径为3的圆的标准方程

二．探索研究：
1.问题引入：
方程(x-2)2+(y+1)2=9为几元几次方程？
（展开整理）

2．将圆的标准方程展开整理： (x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
令D=-2a，E=-2b，F= a2+b2-r2，则
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注意：
①圆的方程是二元二次方程；
②x2、y2的系数相等；
③不含xy项。
3. 用配方法将圆的一般方程化为标准方程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0

④D、E、F满足
3. 圆的标准方程和一般方程可以相互转化：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
常数D、E、F与a、b、r之间的关系：

r2=a2+b2-F

三．合作交流：
问题一：将下列圆的标准方程化为一般方程：
（1） (x-3)2+(y+4)2=4；____
（2） (x-2)2+y2=9； ____
（3） x2+(y-1)2=3； ____
（4） x2+y2=5； ____
问题二：下列二元二次方程是否表示圆？
（1）2x2+y2-2x+3y-6=0;_____
（2）x2+2xy+y2-3x+5y-1=0; ____
（3）x2+y2-2x+4y+5=0; _____
（4）3x2+3y2-6x+12y=0; _____
问题三：
（1）圆的方程一定是二元二次方程吗？
（2）二元二次方程一定表示圆吗？
问题四：已知圆的一般方程，如何求圆心坐标和半径？

四．知识应用：
1.例题讲解：
例4．求下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)x2+y2-6y=0; (2)2x2+2y2+8x-10y=0.
解：(1) 解法一
设圆心的坐标为（a，b），半径为r，
由圆的一般方程得 ：
D=0，E=-6，F=0
而
r2=a2+b2-F
=32
所以，圆心坐标为（0，3），半径为3

(2) 解法二 （配方法）
2x2+2y2+8x-10y= x2+y2+4x-5y=0
(x2+4x)+(y2-5y)=0
(x2+4x+22)+[y2-5y+]-22-=0(x+2)2+(y-)2=
从而得出圆心坐标为（-2，），半径为
2.课堂练习：
（1）圆x2+y2-3x=0的圆心坐标是______，半径_____；
（2）圆x2+y2+4x-6y=0的圆心坐标是______，半径_____；
（3）圆2x2+2y2+2x-2y-5=0的圆心坐标是______，半径_____；
（4）圆x2+y2-6x+2y=0的周长是_____，面积是______.

五．课堂小结：
1． 圆的一般方程；
2. 圆的一般方程与标准方程的互化.

六． 课后作业：
1.课本P107 习题8-7 A组 1（4）（要求分别用两种方法解答）；
2.另外：考三职生的同学附加B组1（1）（4） （要求写出详细的解题过程）.
教师提问

提出问题，引导学生展开整理

引导学生对圆的标准方程展开整理，归纳得出圆的一般方程的形式

提出问题：圆的一般方程满足的特征有哪些？

复习配方法，引导学生用配方法将圆的一般方程化为标准方程.

师生共同归纳圆的标准方程和一般方程可以相互转化.

多媒体呈现问题，根据学生的回答情况分析讲评

第（1）小题用常数D、E、F与a、b、r之间的关系：

r2=a2+b2-F 来解；第（2）小题用配方法来解.

出示练习题，讲评学生的解题过程.

提问小结.

出示作业.
学生回答

学生展开整理，猜想结论：圆的方程是二元二次方程

学生展开整理，展示整理结果

学生观察讨论，归纳得出圆的一般方程满足的特征①②③.

学生回忆配方法，讨论得出圆的一般方程满足的特征④.

师生共同归纳圆的标准方程和一般方程可以相互转化.

学生分组讨论，每组委派一名代表回答

学生讨论，分别选用另一种方法来解答，选两名学生板演.

学生解答，订正.

学生一起归纳小结.
复习旧知，为本课学习做准备.

由具体的圆的标准方程展开整理，让学生从感性上认识圆的一般方程的形式，再进行一般情况下的探索研究，随着研究的不断推进，引导学生逐步发现圆的一般方程的特点，体现了从具体到一般的思维过程，培养学生观察归纳的能力.

从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力.

采用问题串呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神．

通过一题多解，培养学生发散思维.

巩固所学知识，在练习中添加圆周长和面积的计算，紧密联系实际，体现数学的实用性，旨在激发学习兴趣。

知识再现，强化记忆.

作业布置中体现分层教学.
七．板书设计：
§8.7.2圆的一般方程
圆的一般方程及特征

例4
屏幕

七、 课后反思：
1.针对教材内容和学生学情，采用发现式教学法，由具体的圆的标准方程展开整理，让学生从感性上认识圆的一般方程的形式，再进行一般情况下的探索研究，随着研究的不断推进，引导学生逐步发现圆的一般方程的特点，教学气氛活跃，学生积极参与，培养了学生观察、归纳的能力，也激发了学习兴趣。
2.设计合作交流环节，采用问题串呈现的方式，鼓励学生讨论，自主学习，学生学习积极性高，使学生充分理解圆的一般方程，进一步体会圆的标准方程和一般方程间的转化思路，为下面例题的解答扫平了道路，使得例题迎刃而解，教学达到了预期的效果。
3.在练习的设计中，有意添加圆周长和面积的计算，紧密联系实际，体现数学的实用性，旨在激发学习兴趣。但由于在时间安排上，后面稍微有点紧，练习（4）的处理有点仓促，本想再多联系实际，但由于时间关系只能作罢，为此深感遗憾。
4.课堂小结中强调圆的一般方程形式和圆的两种方程之间的转化思路，进行知识再现。作业布置中体现分层教学理念，对于要进一步升学的学生附加B组相关题，强化知识点，为后续的学习做铺垫。
通过这次课的教学，我深深地体会到要上好一节课不是一件容易的事，备课的思路和理念直接引领着老师的教学活动，要能做到，首先要能想到，因此勤思考、多探究是一名老师必备的素养，今后在我的教师生涯中，我会尽最大的努力去学习，提升自己的文化素养和专业素质。