第四章圆与方程知识点归纳.doc

高中数学必修2
第四章 圆与方程知识点

4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外 （2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；
（3）当时，圆与圆相交；
（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标
2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点到点之间的距离公式

一、知识概述
1、圆的标准方程
　　圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2．
　　由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．
2、圆的一般方程
　　对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
　　(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆．此时方程就叫做圆的一般方程．
　　(2)当D2＋E2－4F=0时，方程表示一个点．
　　(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
　　即圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）．
　　圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．
3、方程的大致步骤是：
　　(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；
　　(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
　　(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程．
例4、已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中k－1．
(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明：曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．
² 判断直线l与圆C位置关系的两种方法：
　　①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直线l与圆C相离．
　　②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系．如果d<r，直线与圆相交；如果d=r，直线l与圆相切；如果d>r，直线l与圆C相离．
² 圆与圆的位置关系
设圆C1的半径为R，圆C2的半径是r，圆心距为d，则
①当d>R＋r时，两圆相离；②当d=R＋r时，两圆外切；
③当|R－r|<d<R＋r时，两圆相交；④当d=|R－r|时，两圆内切；⑤当d<|R－r|时，两圆内含．
² 空间直角坐标系
空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．常用对称点坐标：
点P（x，y，z）关于x轴对称：点P1（x，－y，－z）；
点P（x，y，z）关于y轴对称：点P2（－x，y，－z）；
点P（x，y，z）关于z轴对称：点P3（－x，－y，z）；
点P（x，y，z）关于平面xOy对称：点P4（x，y，－z）；
点P（x，y，z）关于平面yOz对称：点P5（－x，y，z）；
点P（x，y，z）关于平面xOz对称：点P6（x，－y，z）；
点P（x，y，z）关于原点成中心对称：点P7（－x，－y，－z）.
² 空间两点间的距离公式
　　空间点、间的距离是．

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