人教版数学必修二第四章-圆与方程-知识点总结教学内容.doc

人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结

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第四章　圆与方程
4．1　圆的方程
4．1.1　圆的标准方程

1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16
D．(x＋3)2＋(y－1)2＝16
2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(　　)
A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2
C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2
3．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．
4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．
5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．
6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1

7．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．

8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．|a|＜1
B．a＜
C．|a|＜
D．|a|＜
9．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．

10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为 2 ，求a的值．

4.1.2　圆的一般方程

1．圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．
2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　)
A．k>1　　　　 B．k<1　　　
C．k≥1　　　 D．k≤1
4．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是(　　)
A．3x＋2y＋1＝0
B．3x＋2y＝0
C．3x－2y＝0
D．3x－2y＋1＝0
5．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．
6．点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－1<a<1
B．0<a<1
C．－1<a<
D．－<a<1
7．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；
(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.

8．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有(　　)
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条
9．已知点A在直线2x－3y＋5＝0上移动，点P为连接M(4，－3)和点A的线段的中点，求P的轨迹方程．

10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程．

4．2　直线、圆的位置关系
4．2.1　直线与圆的位置关系

1．直线y＝x＋3与圆x2＋y2＝4的位置关系为(　　)
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
2．下列说法中正确的是(　　)
A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B．与半径垂直的直线与圆相切
C．过半径外端的直线与圆相切
D．过圆心且与切线垂直的直线过切点
3．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为(　　)
A. B. C. D．2
4．(2013年陕西)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
5．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　)
A.x＋y＝5 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y＝5 D．2x＋y＋5＝0
6．(2013年浙江)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
7．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．

8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2 C. D．3
9．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 时，求直线l的方程．

4.2.2　圆与圆的位置关系

1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切　
C．相交 D．内切
2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为(　　)
A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y＝0 D．2x＋y＝0
3．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条　
C．3条 D．4条
5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m＋c的值是(　　)
A．－1 B．2
C．3　 D．0
6．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)
A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 ，求实数a的值．

8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.
9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，
求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；
(2)公共弦长．

10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．

4.2.3　直线与圆的方程的应用

1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线x－y＝0对称
D．关于直线x＋y＝0对称
2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为(　　)
A．0或2 B．2
C. D．无解
3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为(　　)
A．y＝x
B．y＝－x
C．y＝x
D．y＝－x
4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为(　　)
A．1 B．0
C．2 D．2 －3
6．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是(　　)
A．a＝－3 B．a＝3
C．a＝2 D．a＝－2
7．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条

8．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为____________．
9．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值为(　　)
A. B. C. D.

10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)．
(1)若点P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
(3)若实数m，n满足m2＋n2－4m－14n＋45＝0，求k＝的最大值和最小值．

4.3　空间直角坐标系
4．3.1　空间直角坐标系

1．点P(－1,0,1)位于(　　)
A．y轴上 B．z轴上
C．xOz平面内 D．yOz平面内
2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是(　　)
A．(－2,1，－4)
B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4)
D．(2,1，－4)
3．点P(－4,1,3)在平面yOz上的投影坐标是(　　)
A．(4,1,0)
B．(0,1,3)
C．(0,3,0)
D．都不对
4．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ垂足为Q，则Q的坐标为(　　)
A．(0，，0)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A．y轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．第一象限内
6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是(　　)
A．z轴上的两个点　　
B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线
C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面
D．以上答案都有可能

7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为(　　)
A．(3，－1,5)
B．(3,7,4)
C．(0，－8,1)
D．(7,3,1)

8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.
9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．

10．如图K4­3­1，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．

图K4­3­1

4．3.2　空间两点间的距离公式

1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为(　　)
A. B．6
C. D．2
2．坐标原点到下列各点的距离最大的是(　　)
A．(1,1,1) B．(2,2,2)
C．(2，－3,5) D．(3,3,4)
3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为(　　)
A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)
C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)
4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝(　　)
A．10 B.
C．2 D．40
5．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝(　　)
A. B.
C. D.
6．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．
7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝，求点A的坐标．

8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．
9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．

10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．

第四章　圆与方程
4．1　圆的方程
4．1.1　圆的标准方程
1．C　2.D
3．(－2,2)　|m|　4.±5　5.(x＋2)2＋(y－1)2＝2
6．A　解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
7．解：方法一：设圆心P(a，b)，
则
解得
圆的半径r＝＝＝5.
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.
方法二：线段AB的中点P′，
即P′.直线AB的斜率k＝＝－.
∴弦AB的垂直平分线的方程为y－＝7，
即7x－y－10＝0.
解方程组得即圆心P(1，－3)．
圆的半径r＝＝5.
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.
8．D
9.＋5
10．解：∵弦AB的长为2 ，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴＝1，∴a＝0.
4．1.2　圆的一般方程
1．(3,0)　2.4
3．B　4.A
5．2 π
6．A
7．解：(1)2＋y2＝，圆心，半径r＝.
(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|.
(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝.
8．C　解析：圆的标准方程是：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r＝13.过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．
9．解：设点P的坐标为(x，y)，A的坐标为(x0，y0)．
∵点A在直线2x－3y＋5＝0上，∴有2x0－3y0＋5＝0.
又∵P为MA的中点，∴有
∴
代入直线的方程，得2(2x－4)－3(2y＋3)＋5＝0，
化简，得2x－3y－6＝0即为所求．
10．解：(1)由圆的一般方程，得
[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，
解得－<t<1.
(2)圆心为，
即(t＋3,4t2－1)，
半径r＝
＝.
(3)r＝＝，
所以当t＝时，rmax＝，
故圆的标准方程为2＋2＝.
4．2　直线、圆的位置关系
4．2.1　直线与圆的位置关系
1．D　2.D　3.D
4．B　解析：点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，有>1，圆心到直线ax＋by＝1的距离为d＝<1＝r，所以直线与圆O相交．
5．C　解析：因为点(2,1)在圆x2＋y2＝5上，所以切线方程为2x＋y＝5.
6．4 　解析：圆(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，弦长等于2＝4 .
7．解：设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为AB，其中点为C，则△OCB为直角三角形．
因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为＝|BC|＝4，
所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3.
由点到直线的距离公式得＝3.解得k＝±.
8．C
9．(1)证明：由(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8，
得mx＋2x＋2my＋y＝7m＋8，
即m(x＋2y－7)＋(2x＋y－8)＝0.
由解得
∴无论m为何值，直线l恒过定点(3,2)．
(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，
∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，
∴最短的弦的斜率为1，
故最短弦的方程为x－y－1＝0.∴m＝－1.
10．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.
解得a＝－.故当a＝－时，直线l与圆C相切．
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得解得a＝－7或a＝－1.
∴直线l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
4．2.2　圆与圆的位置关系
1．B　2.D　3.A
4．C　解析：圆化为标准方程，得(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心O1(2，－1)，r1＝2，O2(－2,2)，r2＝3.∵|O1O2|＝5＝r1＋r2，∴两圆外切．∴公切线有3条．
5．D　6.A
7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y＝.利用圆心(0,0)到直线的距离d＝，得＝＝1，解得a＝1或a＝－1(舍)．
8．5－2
9．解：(1)将两圆方程C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0相减，得2x＋y－5＝0.
∴公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.
(2)圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 ，圆心到直线2x＋y－5＝0的距离为2 ，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 .
10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆系，
解方程组得
故对任意实数a，该圆恒过定点(4，－2)．
(2)解：圆的方程可化为
(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a－2)2.
①若两圆外切，则2＋＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍)；
②若两圆内切，则|－2|＝，
解得a＝1－，或a＝1＋(舍)．
综上所述，a＝1±.
4．2.3　直线与圆的方程的应用
1．D　解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线x＋y＝0上，故关于直线x＋y＝0对称．
2．B　解析：圆心(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝＝，m＝2.
3．C
4．C　解析：由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则>1，即a2＋b2<1，
∴P在圆内．
5．C　6.A
7．A　解析：过原点的直线也满足条件．
8．x＋y－4＝0
9．D　解析：方法一：∵实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，
∵记P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝3上的点，
是直线OP的斜率，记为k.∴直线OP：y＝kx，代入圆的方程，消去y，得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.直线OP与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k2)≥0，
∴－≤k≤.
方法二：同方法一，直线OP与圆有公共点的条件是≤，∴－≤k≤.
10．解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0.
解得a＝4，∴P(4,5)．
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2)∵圆心坐标C为(2,7)，半径为2 ，
∴|QC|＝＝4 .
∴|MQ|max＝4 ＋2 ＝6 ，
|MQ|min＝4 －2 ＝2 .
(3)设点(－2,3)的直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，方程m2＋n2－4m－14n＋45＝0，
即(m－2)2＋(n－7)2＝8表示圆．
易知直线l与圆方程相切时，k有最值，
∴＝2 .∴k＝2±.
∴k＝的最大值为2＋，最小值为2－.
4．3　空间直角坐标系
4．3.1　空间直角坐标系
1．C　解析：点P的y轴坐标为0，则点P在平面xOz上．
2．B　解析：点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)．
3．B　4.B　5.B　6.C　7.B
8．7　8　3　　9.5
10．解：由图知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，
故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH∥底面ABCD，
从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b.
由H为DP的中点，得H(0,0，b)．
E在底面ABCD上的投影为AD的中点，
∴E(a,0，b)．同理G(0，a，b)．
F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，
故F与E的横坐标相同，都是a，点F与G的纵坐标也同为a，
又F的竖坐标为b，故F(a，a，b)．
4．3.2　空间两点间的距离公式
1．B　2.C　3.A　4.A　5.C
6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球
7．解：由题意设A(0，y,0)，则＝，得y＝0或y＝2，
故点A的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．
8．直角　解析：因为|AB|2＝9，|BC|2＝9＋36＝45，|AC|2＝36，所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，所以△ABC为直角三角形．
9.　解析：|AB|
＝
＝，
故当x＝时，|AB|取得最小值．
10．解：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得
＝.
显然，此式对任意y∈R恒成立．
∴y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，
∴只要满足|MA|＝|AB|，就可以使得△MAB是等边三角形．
∵|MA|＝，
|AB|＝＝，
∴＝，解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．

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